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基本不等式,问题引入,1、两个正数a，b的等差中项是_;两个正数a，b的等比中项是_;,2、对两个正数a,b，又叫做正数a与b的_.,算术平均数,3、对两个正数a,b，又叫做正数a与b的_.,几何平均数,那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？,3.4.1基本不等式的证明,试自己列举一些正数a,b,分别计算它们的算术平均数与几何平均数并比大小，总结规律并猜想：,猜想：对任意两个正数a、b,此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。,证法1：,当且仅当,即,时，取“,”。,证法2：,要证,，,只要证,只要证,只要证,因为最后一个不等式成立，所以,成立，,时，取,”。,当且仅当,证法3：,对于正数,有,，,3.4.1基本不等式的证明,结论：对任意两个正数a、b,即两个正数的算术平均数不大于它们的几何平均数，当且仅当它们相等时取等号.,当且仅当a=b时取等号“=”.,思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？,探究：,A,B,C,D,E,1、如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD=,半径=,、你能用这个图形得出基本不等式几何解释吗?,a,b,半弦不大于半径,数学应用：,例1、设a,b为正数，证明下列不等式：,证明：（1）,为正数，,也为正数，,由基本不等式得,原不等式成立。,（2）,均为正数，,由基本不等式得,原不等式成立。,证：,以上三式相加：,当且仅当a=b=c时等号成立,例3：,证明:,当且仅当a=b=c时等号成立,变式、已知a、b、c都是正数，a+b+c=1,求证：（1a）（1b）（1c）8abc。,思考题：求证:,证明：,当且仅当,即a=5时,等号成立.,变式：已知函数,求此函数的最小值并求出此时的x的取值。,2.给出下列结论：（1）若,则,（2）若,则,（3）若,，则,（4）若,其中正确的有,巩固练习：,1.课本,（3）,（4）,回顾小结：,1.基本不等式其应用条件；,2.不等式证明的三种常用
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