DVD在线租赁(2005年数学建模D题)ppt课件

DVD在线租赁,2005年数学建模D题,1,考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？,问题重述,2,选择关键信息，理清思路,信息：每个会员每月至多租2次每次租赁可租3张（寄回可再租）；60会员每月租2次，40会员每月租1次,4.1问题1模型,调查1000名会员，有以下观看意愿的统计：,至少要准备多少张DVD（上述5种），才能使：10万会员中，至少50能看到想看的DVD？（一个月内）10万会员中，至少95能看到DVD？（三个月内）,3,分析：要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要尽可能少买些DVD。显然，这是个优化问题。就DVD1来说，1000名被调查者里面有200人想看，意味着10万名会员里面有人想看，如果每张DVD每个月只出租一次，则则DVD1就准备张。但是这样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。所以有二次出租。如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。有必要转变考虑角度。尝试从简单的角度考虑。,4,从最保守的估计看：如果一个会员一个月租2次的话，可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15天；租一次的会员DVD在手上停留30天。则我们在月初第一次发出DVD后，月中利用返还的DVD再出租一次。,4.1.1.1简单模型的建立,决策变量,表示需要准备DVD1的张数。,目标函数找到最小的,5,为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比,符号假设：为希望看到DVD1的会员人数比；为网站总人数；（这里）,约束条件一个月内租到DVD的人占想看的人50以上。（第一次出租张，月中有？张还回来，再次租出去。）,6,整理得,模型I,解得，即最少需要数量：。,利用模型I，可以逐个算出5种DVD所需的张数。（结果、程序略）,7,4.1.1.2模型的进一步思考,前面假设还DVD的周期是15天，但这不见得符合实际情况，会有短时间就归还的情况。这里重新假设租赁2次的会员返还周期为T，于是一个月就有次租赁机会。,前一次的60,表示取上整,8,约束条件(不变)一个月内租到DVD的人占想看的人50以上。,这里,9,于是得到,模型,10,4.1.2考虑连续三个月的返还,11,约束条件（注意条件的差别）三个月内租到DVD的人占总人数的95以上。,这里,12,于是有模型如下：,模型,13,4.2问题2模型,表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。,注：D001D020表示20种DVD,C0001C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。,14,决策变量,要确定把哪张DVD租给哪个会员，即分配方案，对于每种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引入表示第j种DVD是否租给第i个会员。,15,分析：如果会员预定的3张DVD不全有，是否就不租？为使全体的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此，每次租赁可以少于或等于3张。会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0最小，但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理，使其能显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。,16,目标函数总体满意度最高（租到的会员对DVD的偏爱系数和最大）,约束条件每人至多租3张DVD；每种DVD租出去的量小于或等于存量；,为j种DVD的存量,17,因此，建立模型,模型,18,4.3问题3模型,继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？,问题实质：确定DVD购买量，一个月内95以上会员看到想看的；对DVD分配，满意度最大。,19,4.3.1购买量的确定,分析：这一步骤其实又回到了前面的第一个问题。回顾前面的方法，我们需要一个DVD的观看意愿统计。现在手上有的资料是客户预订单，已经体现出观看意愿。作出处理：如果某DVD在某位会员的满意度是前三名的，就视为愿意观看。(这里可以手算，也可以用软件辅助。),20,愿意观看第j种DVD的人数,21,目标函数设第j种DVD购买量为，目标使其最小,约束条件租到DVD的人占愿意观看的95以上,22,从而,模型,23,4.3.2最优分配方案的确定,分析：分配不需要考虑95以上的观看率，已经在本节的第1小问解决，只需要考虑满意程度。这里与第2个问题类似，但是区别在于问题2要求一次性的分配，满意度最大；这里是在一个月内分配，于是存在DVD租赁周期的问题。不妨假设出分配周期，则可以每次分配都按照第2问的结论模型处理。,24,4.3.2.1一个月内分配2次,模型的要求：事先知道分配的人数,方法二：第一次对100名会员分配。月中返还60后，在订单表上修改：已