广东工业大学-袁兵-第13章结构弹性稳定(精)

第13章结构弹性稳定，13-1概括，13-2静力法确定临界载荷，13-3弹性支撑杆稳定，13-4能量法确定临界载荷，13-5截面支撑杆稳定，13-6剪切力对临界载荷的影响，13-7复合支撑杆稳定，13-8弹性介质支撑杆稳定，13-9圆环和拱稳定， 13-10细梁稳定，13-11矩阵位移法计算刚架稳定，13-1概况，结构失稳现象分为第一类，图a显示理想的中心受压直杆。 当f -数达到某个特定值时，会在干扰杆上产生微小的弯曲。因而当消除干扰时，杆将停留在弯曲位置，并且不能如图b所示返回至原始直线位置。 此时，压杆本来只有轴向力的直线平衡形式，具有新的同时受压和弯曲的弯曲平衡形式。 这种现象是压杆失去了第一类的稳定性。分支点失稳，13-1的概要，图a所示的受到平均分布压力的圆环，在压力达到阈值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。图b显示的是承受平均分布载荷的抛物线拱，图c显示的是刚架，载荷达到阈值之前处于压迫状态，出现了载荷达到阈值时同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。 另外，图c所示的工字梁在载荷达到阈值之前仅在板面内弯曲，在载荷达到阈值时发生倾斜弯曲和扭曲。 13-1概括，第一类失去稳定性的特征：结构平衡形式和内力与变形状态发生质突变，原平衡形式不稳定，同时出现了新的质量不同的平衡形式。 用图a所示的塑性材料制成的偏心受压直杆，从一开始就处于同时受压和弯曲的状态。 当f达到阈值Fcr时，负载未增加或减小，且挠曲继续增加，如图b中所示，第二类稳定性丢失。 极值点失稳、工程结构实际上是第二类稳定问题。 可以将此简化为稳定的问题来处理。 13-1概述，确定临界载荷的方法静力法-应用静力平衡条件求解的能量法-应用表示为能量的平衡条件。 结构稳定的自由度：确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数的数量。 此外，由图a所示的抗旋转弹簧支撑的刚性杆在弯曲时的用于确定变形状态的独立参数是1并且只有一个自由度。 图b中示出的结构需要两个独立的参数并且具有两个自由度。 而且，图c所示的弹性杆需要无限的独立参数而具有无限的自由度。 用13-2静力法确定临界载荷，根据静力法结构失稳时的平衡二重性，应用静力平衡条件，求出结构能以新形式保持平衡的载荷，其最小值为临界载荷。 另外，在图a所示的单自由度结构中，即使在杆从垂直位置移位的情况下，杆也处于平衡状态。 另外，MA=0，满足当时的公式，与原来的平衡形式相对应，位移较小，因此有稳定方程式和特征方程式，在新的平衡形式中，用13-2静力法确定临界负荷，从稳定方程式中求解，结构处于偶然平衡状态，处于图c中的AB段。 如果采用正确的方程式，只求临界负荷的话，可以用近似方程式求解。 当时，与f的数值还是一一对应的图c的AC段。 n个自由度的构造针对新的平衡形式列举了n个平衡方程式，确立了n个独立参数的齐次方程式、系数行列式D=0的条件、稳定方程式，n个根中的最小值为临界载荷，13-2用静力法确定临界载荷，例13-1求出了图a所示构造的临界载荷。 两抗移动弹性支撑台的刚度均为k。 解：构造有两个自由度，压曲时a、b点的位移如图b所示。 另外，位移为微小，如果MB=0、MC=0、即y1、y2全部不为零，则当然可以用静力法确定展开、解、临界负荷、13-2的临界负荷，可以从(a )式求出y1、y2的确定解，但可以求出两者的比。 对应的位移图如图c所示。 对应的位移图在图d中示出。 实际结构首先必须以图d的形式压曲，图c仅在理论上存在。在已经采用13-2静态方法确定临界载荷且图a中所示的一端被枢轴支撑在另一端的等截面中心受压弹性直杆已经采用新的曲线平衡形式时，可以通过代入解获得任何截面的弯矩，代替指令，代替微分方程的解，并且方程(b )针对a、b和FS/F获得任何截面的弯矩新的平衡形式中三者不完全为零，方程(b )的系数矩阵必须为零。 稳定方程用13-2静力法确定临界载荷，展开，超过方程解法求解。 和，交点的横轴是方程式的根。 最小根nl在3/24.7左侧附近，求得正确的解。 临界载荷值的计算是，持有13-3弹性支撑台的杆稳定，图a所示的刚架，AB杆上端铰链下端不能移动，但是可旋转，其旋转受BC杆的弹性限制，如图b所示，可以用抗旋转弹簧表示。 扭簧刚性k1:在梁BC的b端产生单位旋转角所需的力矩。 如从图c显而易见，当图b所示的杆弯曲时，可以从MB=0而获得具有13-3个弹性支撑台的杆是稳定的，所述杆弯曲曲线的平衡微分方程式可以由指令求解，公式中的三个未知常数a、b，边界条件分别为、a、b均不为零的稳定方程式、k1预定nl最小正根fc k1=0时sinnl=0:两端铰链k1=时tannl=nl :一端被固定，13-3具有弹性支承台的杆稳定，稳定方程式为，一端具有弹性支承台的杆被固定，13-3具有弹性支承台的杆稳定，两端分别具有初级螺旋弹簧， 上端具有初级螺旋弹簧的杆如图c所示可以用静力推导出稳定方程，弹性支撑杆的稳定方程的一般形式可以从各种其他特殊情况下的稳定方程求出。 具有13-3弹性支撑台的杆稳定，例13-2求出图a所示的门形架的临界负荷。 解：这是对称刚架承受正对称载荷，其压曲形式为正对称的图b或反对称的图c。 13-3当持有弹性支撑台的杠杆稳定、正对称地压曲时，取半结构计算如图d所示。 柱是下端铰链上端弹性固定的杆，弹性固定的杆的耐旋转刚性，用试验算法求出最小正根为nl=3.83，求出稳定方程式，临界负荷为13-3具有弹性支撑台的杆稳定，相反在弯曲的情况下，取半结构计算如图e所示。 另外，立柱的上端弹性固定，上下两端向相反侧移动，具有无水平反作用力。 关于弹性固定端的抗旋刚度，通过求出稳定方程，试制算法将最小正根以nl=1.45，临界载荷以结构相反对称的形式压曲，临界载荷以13-4能量法确定临界载荷，电势的额定原理：对于弹性结构，在满足支撑条件和位移连续条件的所有虚位移中， 同时，满足平衡条件的位移(即真实位移)使结构的势能EP为额定值，即v-结构的应变能的v-外力势能。 另外，将外力电势定义为有限自由度结构所有可能的位移状态均可以仅由有限数量的独立参数a1，a2，an表示，并且EP仅仅是该有限数量的独立参数的函数。 另外，单自由度结构EP仅是参数a-1的一元函数，电势的变化在结构平衡时是任意的，因此，13-4应用能量法来确定临界载荷，并且多自由度结构电势的变化必须是EP=0和a1、a2、an的任意性，因此，a1、a2、 确定包括an的一组线性代数方程，以使得a1，a2，an不为零，方程的系数矩阵为零建立稳定方程临界载荷。 用13-4能量法确定临界负荷，例13-3图a所示的杆EI无限大，上端水平弹簧的刚性为k，尝试确定临界负荷。 解：单自由度结构压曲时发生的微小偏差如图b所示。 另外，关于弹簧的应变能，关于外力电势，关于结构电势，由于如果图b的结构能够维持平衡，则y10，所以临界载荷用13-4或能量法确定临界载荷，例如13-4用能量法求出图a所示的结构的临界载荷。 解：构造有2个自由度，压曲时发生图b所示的位移。结构平衡时，结构势y1、y2均不为零，13-4用能量法确定临界载荷，展开整理，显示最小值为临界载荷，弹性杆为无限自由度结构，压曲时发生弯矩变形， 应变能量：任何微段ds与其投影dx之间的差可以沿杆长度l对该方程进行积分，13-4用能量法确定临界载荷，并且外力电势可以认为是结构电势但挠曲线y是未知的无限独立参数。 EP是挠度曲线函数y的函数，是泛函，EP=0是求泛函极值的问题即变分问题。 瑞利-利兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。 的双曲馀弦值。 满足位移边界条件的已知函数，-任何参数和结构的所有变形状态都由a1、a2、an确定，并简化为n自由度。 用13-4能量法确定临界负荷，通常将某横向负荷的挠曲曲线作为压曲时的近似挠曲曲线，例13-5求出图a所示的两端铰链等截面杆的临界负荷。 解：挠曲曲线函数只有一个，简化为单自由度结构的计算。 (1)如果挠曲曲线为正弦曲线，则y满足位移边界条件，结构的电势为13-4，用能量法确定临界载荷，a0，因此得到，与精确解相同，可能有特殊情况。 (2)挠曲曲线为抛物线，满足-位移边界条件，-误差达到21.6%。 用13-4能量法决定临界负荷，(3)把图b所示的挠曲曲线作为近似曲线，误差只有1.3%。 采用13-4能量法确定临界负荷，例13-6求出图示的杆的临界负荷。 解：用两个自由度计算，查表取级数前两个，a1、a2均不为零，整理，比、精确解大3.6%。 用13-4能量法确定临界负荷，例13-7求出图a所示的截面垂直棒的自重引起的临界负荷。 解：操纵杆承受着平均布荷载。 图b、微段ds的角部为y(x )、微段以上的部分的垂直位移中，微段以上的部分载荷FS=q(l-x )作用于该位移，由此，外力电势在检针表中具有三角级数的前两个项目，13-4通过能量法决定临界载荷， 13-4用能量法确定临界载荷，a1、a2全部不为零，整理了方程式的最小根为临界载荷，这个问题的精确解决方法是： 13-5变截面推杆稳定，工程中变截面推杆的类型：阶梯杆，a2全部不为零，图a是杆弯曲时上下两个挠曲的y1、y2 两个部分的平衡微分方程通解是式中的五个未知常数。 边界条件、13-5变截面推杆的稳定可从边界条件(1)、(2)得到，将y2和y1代入边界条件(3)、(4)、(5)而得到联立方程式，稳定方程式可在展开整理并赋予I1/I2和l1/l2时求解，13-5变截面推杆的稳定可由工厂台承受F1， 在截面突变中受到F2作用时可以估计稳定方程，式中，给出I1/I2、l1/l2和F1/F2时可以求解. 图中所示的杆，稳定方程(c )的最小根可以获得临界载荷为13-5变截面杆的稳定，图a所示的杆的截面惯性矩函数变化，任一截面的惯性矩对应于i1-柱顶截面惯性矩、i2-柱底截面惯性矩以及m值不同形状的杆13-5截面杆稳定，如图c所示，直线外形由4个截面不变角度组成的组合杆，m=2。 另外，在图b、图c的两个情况下，图d所示的杆、m=2的时微分方程式代入or、变系数微分方程式、t=lnx、常系数方程式、命令、解代入13-5变截面杆的稳定性、t=lnx，边界条件根据条件(1):B=0、条件(2)得到稳定方程式，如果已知，则通过试算解k的最小根而得到临界载荷m=4的情况下的微分方程式分别表示、解、边界条件、导出稳定方程式表示指令，13-6剪力对临界载荷产生的影响，yM和yS表示受弯矩和剪力的影响而产生的挠曲，总挠曲度求出相对于x可得到二次微分系数的曲率的近似式，受弯矩产生的曲率为图a、图b、图c因此，挠曲线微分方程式可以对图a所示结构求出13-6剪切力对临界载荷的影响，挠曲线方程式可以求出指令、微分方程式的解、边界条件、导出稳定方程式可以得到最小正根、所得到的- Euler临界载荷、-修正系数、e-Euler临界应力、13-6剪切力对临界载荷的影响， 推杆由钢材制成，e可以写成比例界限、剪切弹性模量G=80GPa，在实体部件中剪切力的影响小，13-7组合杆的稳定，组合杆通常由几个连接件连接两个型钢构成，连接件的形式为接木式、接木式。 如图a、b所示。 中选择所需的墙类型。 如果连接杆的节距较大，则可以使用实体杆公式计算临界载荷。 亦即，式中的k/GA必须单独处理以反映耦合的影响。 -单位剪切力产生的剪切角。 (d )，13-7组合杆的稳定，1，装订杆式组合杆，装订杆通常采用单角钢，其截面小，其两端可视为铰链。 现在，如图所示，抽取分项之间进行分析。 根据变位、接木的横棒、接木的斜棒、棒的长度、棒的长度，13-7组合杆的稳定、ad-主要部件的截面积id-主要部件的截面对其自身的形心轴施加的惯性矩，从其形心轴到z轴的距离近似为b/2。 斜杆与横杆EA相同，=45时，斜杆的影响、横杆的影响、13-7复合杆的稳定、斜杆对临界负荷的影响比横杆大，如果省略横杆的影响，则aq-1根斜杆的截面积。 临界载荷成为欧拉问题的基本形式，r两主要部件的截面为截面形心轴z整体的旋转半径。 一般设定=3060、纵横比=l/r时，可换算纵横比。 -采用钢结构规格推荐的公式、13-7组合杆的稳定性、2、组合杆的组合杆的组合、组合杆的组合杆的组合时，组合杆与主要部件的连接可视为刚结。 主要部件的反弯曲点处于节点之间，剪切力平均分配给两个主要部件。 采取图a所示的部分分析。 当与图b所示的弯矩图相乘时，13-7的组合杆的稳定性、节距d增加，并且校正系数2减小。 通常情况下，接木板的刚性较大，若近似于EIb=，则复合构件整体的截面惯量、-复合构件整体的纵横比d-1条主要构件的一个节之间的长度的比率。 当使用1来代替13-7组合杆的稳定器，近似的0.83时，相应的长度系数可以决定换算的细长比，标准中的粘合板组合杆的细长比，如果该杆被13-8弹性介质稳定器支撑，并且该杆被弹性介质支撑的弯曲部弯曲，则弹性介质向其产生分布反作用力。 如图所示。 本文采用vinkley假设：分布反作用力的集中度q与挠曲y成比例，即k-bed系数、能量法、挠曲曲线、弹性介质的应变能、载荷势为13-8弹性介质的杆的稳定，所得到的a为零半频率m的确定条件必须为大于零的整数，否则，不能满足两端铰链的边界条件。 (2)使特征载荷f的值最小。 13-8弹性介质上杆的稳定，f与m的关系曲线如图所示为极值条件，f为极小，但m不一定是整数。 另外，取用式(f )计算的m值的附近整数mi和mi 1，代入式(e )求出f，将其中较小的一方作为临界负荷Fcr。 k/EI越