(行列式)线性代数及其应用.ppt

第1章行列式,行列式是线性代数的一个重要组成部分.它不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技术等领域有着极其广泛的应用.本章以三阶行列式为基础，建立了n阶行列式的概念，讨论了n阶行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克拉默法则.,第1章行列式,n阶行列式行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则行列式的一个简单应用Mathematica软件应用,第1.1节n阶行列式的定义,本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义,返回,1.二阶与三阶行列式,(1)二阶行列式,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：,上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：,称其为二阶行列式.,据此，解中的分子可分别记为：,例1解二元线性方程组,解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,类似地，在利用加减消元法求解三元线性方程组,的过程中，如果引进记号,称为三阶行列式.,则当方程组的系数行列式,时，方程组有惟一解,其中Dj(j=1,2,3)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,b3所构成的3级行列式,即,上述引进的三阶行列式可由主对角线法则得到，即,(2)三阶行列式,称为三阶行列式.,三元素乘积取“+”号；三元素乘积取“-”号。,主对角线法,例2计算三阶行列式,解:由主对角线法，有,例3解线性方程组,解：系数行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,2.排列及其逆序数,(1)排列,由自然数1,2,n,组成的一个有序数组i1i2in称为一个n级排列.,如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：,123132213231312321,（总数为n!个）,注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)构成逆序.,(2)排列的逆序数,定义：在一个n级排列i1i2in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为(i1i2in).,排列逆序数的求法:考察排列i1i2in中每个数的前面有几个数比它大,它的逆序就是几,所有数的逆序的和就是排列的逆序数.,=3=2,例4(2413)(312),例5(n(n-1)321)(135(2n-1)(2n)(2n-2)42),=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2,=2+4+(2n-2)=n(n-1),奇偶排列:若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.,3.n阶行列式定义,分析：,(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为,(ii)符号为,“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）,(iii)项数为3！=6,推广之，有如下n阶行列式定义,定义：n阶行列式,是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积,并冠以符号的项的和.,(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n！个排列求和.,例7计算4阶行列式,解,由行列式定义,和式中仅当,例8计算n阶行列式,解,由行列式定义,和式中仅当,例9证明上三角行列式,证：由定义,和式中,只有当,所以,上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.,由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明,定理:n阶行列式D=det(aij)的项可以写为,其中i1i2in和j1j2jn都是n级排列.,或,另一定义形式,另一定义形式,推论:n阶行列式D=det(aij)的值为,内容回顾,n阶行列式定义：,上三角行列式的值,第1.2节n阶行列式的性质,对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易,但对一般的、高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的.因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.,如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若,转置行列式定义：,性质1行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT）,解,例1计算行列式,性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.,推论若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即,推论(1)D中一行(列)所有元素为零，则D=0；(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.,性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即,性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即,例2计算行列式,解,解,解,例3计算n阶行列式,解(2),解(3),解(1),解(1),注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有,返回,解(2),注意到行列式各行元素之和等于,有,返回,解(3),返回,箭形行列式,例4证明,证,证,第1.3节行列式按行（列）展开,1.行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,例1求出行列式,解,行列式按一行（列）展开定理,n阶行列式,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,推论n阶行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,例2计算行列式,解,法1,法2,选取“0”多的行或列,例3计算行列式,解,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,例4计算n阶行列式,解,解,例5证明范得蒙行列式（Vandermonde),证,用数学归纳法,假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形.,例6已知4阶行列式,解,法1,法2,利用行列式的按列展开定理，简化计算.,第1.4节克拉默法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克拉默法则）如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：方程组（1）有解；解惟一且可由式(2)给出.,推论1如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0；,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.,可以证明,