辽宁省六校协作体2020学年高二数学下学期期中试题 文

辽宁省六校协作体辽宁省六校协作体 20202020 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题 文文 本试卷共 23 题，时间：120 分钟，共 150 分，共 4 页 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合 |12Pxx，02| 2 xxxQ，则QP （ ） A 0,2 B(0,2 C(1,2D1,2 2已知i是虚数单位，则满足|12 |zii 的复数z在复平面上对应点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 （C）第三象限 D第四象限 3等差数列 n a的前n项和为 n S，若 5 32S ，则 3 a （ ） A 5 32 B2 C4 2 D 32 5 4直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭 1 4 圆的离心率为（ ） A 4 1 B C D 1 2 2 3 3 4 5函数f(x)= 1 5 sin(x+ 3 )+cos(x 6 )的最大值为（ ） A 6 5 B1C 3 5 D 1 5 6已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm）可得这个几何体的体积是（ ） A. 4 3 3 cm B. 8 3 3 cm C. 3 3 cm D. 4 3 cm 7若x，y满足约束条件 022 02 01 yx yx yx ，则2zxy的最大值为（ ） A.3B.1 C2D 3 2 8将长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体BCDA，则四面 体BCDA外接球的表面积为 （ ） 1 1 2 2 22 主 主 主 主 主 主 主 主 主 A.3 B5 C10 D20 9执行右图中的程序框图，输出的T （ ） A.5 B20 C30 D 42 10.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股方圆图” ，用数形结合的方法给出了勾股定 理的详细证明.如图所示的“勾股方圆图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼 成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6 ，现在向该正方形 区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ） A. 2 3 1 B. 2 3 C. 4 3-4 D. 4 3 11已知函数 1 2 22,1 ( ) log (1),1 x x f x xx ，且( )3f a ，则(6)fa （ ） A. 3 4 B 5 4 C 7 4 D 1 4 12在ABC，90C ，24ABBC，,M N是边AB上的两个动点，且1MN ，则 CM CN 的取值范围为( ) A. 5,9B. 11,9 4 C. 15 ,9 4 D. 11,5 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若双曲线E的标准方程是 2 2 1 4 x y ，则双曲线E的渐近线的方程是 . 14甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。 开始 是 否 输出T 结束 ST S =0，T =0，n =0 S= S+5 n= n+2 T= T+n 甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。 则做好事的是_.(填甲、乙、丙中的一个) 15各项均为正数的等比数列 n a中，若 2 1a ， 864 2aaa，则 6 a 16定义在) 1 , 1(上的函数xxxfsin2)(，如果0)1 ()1 ( 2 afaf， 则实数a的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分）在ABC中，已知内角, ,A B C对边分别是, ,a b c，且2 cos2cBab. （1）求C； （2）若6ab， ABC的面积为2 3，求c. 18 （12 分）某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班 为对比班，甲乙两班的人数均为 50 人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为 80,90)、90,100)、100,110)、110,120)、120,130)，由此得到两个班测试成绩的 频率分布直方图： （1）完成下面 22 列联表，你能有 97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的 差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由； 成绩小于 100 分成绩不小于 100 分 合计 甲班 _a _b 50 乙班24c 26d 50 A B C D 1 A 1 B 1 C 合计 _e _f 100 （2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是 105.8，请你估计乙班的平均 分，并计算两班平均分相差几分？ 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban )( 0 2 kKP 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k 2.0722.7063.841 5. 024 6.6357.879 10.82 8 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 2B BB ABABC， 1 90B BC， D为AC的中点， 1 ABB D （1）求证：平面ABC 平面 11 ABB A； （2）求B到平面 1 AB D的距离 20 （12 分）抛物线C： 2 2(0)ypx p上的点(, ) 2 p Mp到其焦点F的距离是2. （1）求C的方程 （2）过点M作圆D： 22 ()1xay的两条切线，分别交C于,A B两点， 若直线AB的斜率是1，求实数a的值 21 （12 分）已知函数( ) x f xeax （1）当2a 时，求曲线( )f x在点(0,(0)f处的切线方程； （2）在（1）的条件下，求证：( )0f x ； （3）当1a 时，求函数( )f x在0, a上的最大值 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分） 在极坐标系中，点M坐标是) 2 , 3( ，曲线C的方程为) 4 sin(22 ；以极点为坐 标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1的直线l经过点M （1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程； （2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MBMA 的值 23选修 4-5：不等式选讲 （10 分） 设关于x的不等式|4|3|xxa （1）若5a ，求此不等式解集； （2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围 参考答案 CADBA BDBCA CB 13. 1 2 yx 14. 丙 15. 4 16. （21 17. 解：（1）由正弦定理得22sinCcosBsinAsinB，又sinAsin BC 22sinCcosBsin BCsinB，222sinCcosBsinBcosCcosBsinCsinB 20sinBcosCsinB， 1 2 cosC ，又0,C 2 3 C（6 分） （2）由面积公式可得 1 2 3 2 ABC SabsinC ，8ab ，（8 分） 222 2cababcosC 2 22 28aabbabab， 2 7c （12 分） 18. 解：（1） 12a，38b，36e，64f， （2 分） 25 . 6 64365050 )12263824(100 2 2 ， （4 分） 025 . 0 )420 . 5( 2 P， 有 97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关” （6 分） （2）乙班各段人数分别是： 80,90)90,100)100,110,)110,120)120,130) 42015101 （8 分） 估计乙班的平均分为： 8 . 101 50 112510115151052095485 （10 分） 两班平均分相差 4 分 （12 分） 19. 解：（1）取AB中点为O，连接OD， 1 OB 因为ABBB 11 ，所以ABOB 1 又DBAB 1 ， 111 BDBOB， 所以AB平面ODB1， 因为OD平面ODB1，所以ODAB ， 由已知， 1 BBBC ，又BCOD/， 所以 1 BBOD ，因为BBBAB 1 ，所以OD平面 11A ABB 又OD平面ABC，所以平面ABC平面 11A ABB；（6 分） （2）由（1）知， 1 3BO ， 1 2 2 ABC SAB BC ， 1 2B A ， 1 2 2ACBC， 1 7 AB C S， 因为 1 BO 平面ABC，所以 1 1 12 3 33 BABCABC VSBO ， 设B到平面 1 AB D的距离是d，则 11 7 3 BABCB AB C VVd ， 由 72 3 33 d ，得B到平面 1 AB D的距离 2 21 7 d （12 分） 20. 解：（1）C的准线是 2 p x ，根据抛物线定义有2 22 pp ，2p 故C的方程是 2 4yx（4 分） （2）设 2 1 1 (,) 4 y Ay， 2 2 2 (,) 4 y By，则 21 22 21 1 44 yy yy ，所以 12 4yy （6 分） 因为(1,2)M，所以MA斜率 1 12 11 24 2 1 4 y k yy ，同理MB斜率 1 2 4 2 k y ，所以 12 12 12 4(4) 0 (2)(2) yy kk yy （8 分） 可设经过点M的圆D切线方程是2(1)yk x，即20kxyk，则 2 |2| 1 1 kak k ，得 22 (2 )4(1)30aa kak，故 12 2 4(1) 2 a kk aa 因此 2 4(1) 0 2 a aa ，1a （12 分） 21. 解：（1）当2a 时，( )2 x f xex，( )2 x fxe 所以(0)1f， (0)1f ，切线方程为10 xy （3 分） （2）由（）知( )0fx ，则 0 ln2x 当(,ln2)x 时，0)( xf；当 (ln2,)x时，0)( xf所以( )f x在(,ln2)上单调递减，( )f x在(ln2,)上单 调递增当ln2x 时，函数最小值是(ln2)2(1 ln2)0f，因此( )0f x （6 分） （3）( ) x fxea ，令( )0fx ，则ln0 xa当1a 时，设( )lng aaa， 因为 11 ( )10 a g a aa ，所以( )lng aaa在(1,)上单调递增，且 (1)1 ln11g ，所以( )ln0g aaa在(1,)恒成立，即lnaa 当(0,ln )xa，( )0fx ，当(ln , )xa a，( )0fx ；所以( )f x在(0,ln )a上单调 递减，在(ln , )a a上单调递增所以( )f x在0, a上的最大值等于 (0),( )max ff a因为 (0)1f， 2 ( ) a f aea 设 2 ( )( )(0)1 a h af afea(1a )，所以( )2 a h aea由（2）知 ( )20 a h aea在(1,)恒成立，所以( )h a在(1,)上单调递增 又因为 12 (1)1120hee ，所以( )0h a 在(1,)恒成立，即( )(0)f af，因此 当1a 时，( )f x在0, a上的最大值为 2 ( ) a f aea （12 分） 22. 解：（1）点M的直角坐标是)3 , 0(，直线l倾斜角是 135， （1 分） 直线l参数方程是 135sin3 135cos ty tx ，即 ty tx 2 2 3 2 2 ， （3 分） ) 4 sin(22 即2(sincos )， 两边同乘以得 2 2( sincos )，曲线C的直角坐标方程 曲线C的直角坐标方程为022 22 yxyx；（5 分） （2） ty tx 2 2 3 2 2 代入022 22 yxyx，得0323 2 tt 06 ，直线l和曲线C相交于两点A、B，（7 分