陕西省榆林市2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

2020学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理科）选择题（本大题共12小题，共60分）1.1.复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解：复数=,复数对应的点的坐标是（）复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A考点：复数的实部和虚部点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中2.2.已知，是复数，以下四个结论正确的是若，则，若丨，则，若，则若，则向量与重合A. 仅正确 B. 仅正确 C. 正确 D. 仅正确【答案】A【解析】【分析】举例说明错误；由|z1|+|z2|=0，得|z1|=|z2|=0，从而得到z1=0，z2=0，说明正确【详解】若z1+z2=0，则z1=0，z2=0，错误，如z1=1，z2=1；若|z1|+|z2|=0，则|z1|=|z2|=0，z1=0，z2=0，故正确；若z1+=0，则z1=0，错误，如z1=i，；若|z1|=|z2|，则向量与重合错误，如z1=1+i，z2=1i，满足|z1|=|z2|，但向量与不重合正确的结论是故选：A【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念，属于基础题3.3.曲线在点处的切线斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由，得到，把x=0代入得：，则曲线在点A（0，1）处的切线斜率为1故选A考点：1直线的斜率；2导数的几何意义视频4.4.定义一种运算“”：对于自然数n满足以下运算性质：，则等于A. n B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定义中的运算法则，对（n+1）*1=n*1+1反复利用，即逐步改变“n”的值，直到得出运算结果【详解】1*1=1，（n+1）*1=n*1+1，（n+1）*1=n*1+1=（n1）*1+1+1=（n2）*1+3=n（n1）*1+n=1+n，n*1=n故选：A【点睛】本题题型是给出新的运算利用运算性质进行求值，主要抓住运算的本质，改变式子中字母的值再反复运算性质求出值，考查了观察能力和分析、解决问题的能力5.5.用反证法证明命题：“，可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除C. 不都能被5整除 D.不能被5整除【答案】B【解析】命题：“，可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除的否定是 都不能被5整除,故反证法假设的内容应为 都不能被5整除,故选A.6.6.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若不互为共轭复数，则；如，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.7.7.用数学归纳法证明等式 时，第一步验证时，左边应取的项是( )A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4【答案】D【解析】试题分析：因为1+3=4，所以左边应取的项是1+2+3+4.考点：本小题主要考查数学归纳法的应用.点评：应用数学归纳法时，一定要严格遵守步骤，验证第一步时要仔细.8.8.由曲线yx2，y围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由曲线和曲线可得交点坐标为，则曲线和曲线围成的封闭图形的面积为，故选B.9.9.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 （ )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选D考点：1、导数的几何意义；2、直线的倾斜角10.10.已知，且，则为虚数单位的最小值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值【详解】|z|=1且zC，作图如图：|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，|z22i|的最小值为：|OP|1=21故选：A【点睛】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题11.11.函数在内有极小值，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：该题考查的是有关函数极值的问题，该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根，之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即可.详解：，函数在内有极小值，等价于方程在区间上有较大根，即，解得，故选A,点睛：解决该题的关键是要明确函数的极值点的位置，以及极值点存在的条件，还有极值点的求解方法，除此之外，还需要明确极大值与极小值的区别所在.12.12.用数学归纳法证明不等式的过程中,由到时,不等式的左边()A. 增加了一项B. 增加了两项+C. 增加了两项+,又减少了一项D. 增加了一项,又减少了一项【答案】C【解析】当时,不等式左边为+,故增加了两项+,减少了一项,故选C.填空题（本大题共4小题，共20分）13.13.已知i为虚数单位，则_【答案】2【解析】.14.14.函数在时有极值为10，则的值为_【答案】【解析】【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 ，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可【详解】对函数f（x）求导得 f（x）=3x2+2ax+b，又在x=1时f（x）有极值10，解得 或 ，验证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故 a+b的值7故答案为：7【点睛】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力15.15.已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数_【答案】【解析】【分析】由已知中的不等式，归纳推理得：x+n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值【详解】由已知中：x（0，+）时，x+2，x+=+3，x+=+4归纳推理得：x+n+1，若x+5，则n+1=5，即n=4，此时a=nn=44，故答案为44【点睛】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16.16._【答案】【解析】【分析】由定积分的几何意义求得dx，直接求定积分得到sinxdx，则答案可求【详解】求dxsinxdx由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于sinxdx=dxsinxdx=故答案为：【点睛】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题解答题（本大题共6小题，共70分）17.17.已知，复数实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由虚部为0求得使z为实数的m值，再由实部为0且虚部不为0求得使z为纯虚数的m值；（2）由实部与虚部均小于0求解【详解】解：当，即时，复数为实数；当，即时，复数是纯虚数；由题意，解得当时，复数z对应的点在第三象限【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题18.18.数列的前n项和记为，已知，2，证明：数列是等比数列；【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：由，得SnSn1Sn， 2分Sn1Sn，2， 4分数列为等比数列. 6分由知公比为2， 8分， 10分Sn14an. 12分考点：等比数列及求和点评：要证明一数列是等比数列需用定义，如要证明是等比数列只需证明是常数，另本题中用到了关系式19.19.已知a，其中e是自然对数的底数，求证：提示：可考虑用分析法找思路【答案】见解析【解析】【分析】要证：baab只要证：alnbblna只要证构造函数f（x）=，利用函数的单调性即可证明【详解】证明：，要证：只要证：，只要证，设，当时，函数在上是单调递减当时，有，即，【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题20.20.求由抛物线与它在点和点的切线所围成的区域的面积【答案】【解析】试题分析：求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积试题解析：，所以过点A（0，3）和点B(3，0)的切线方程分别是 ， 2分两条切线的交点是（）， 3分围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部分，分别计算再相加，得：即所求区域的面积是。考点：定积分在求面积中的应用21.21.设函数在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又（1）求的解析式；（2）若在区间 上恒有成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：解：（1）1分由已知，即3分解得4分7分（2）令，即 或又在区间上恒成立，14分考点：二次函数解析式，二次不等式点评：解决的关键是通过导数的值来求解解析式，以积极通过不等式的求解得到参数的范围，属于中档题。22.22.已知函数若，求函数的单调区间；若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）f（1）=5，0a3=5，解得a利用导数研究函数的单调性即可得出（2）由f（x）=alnxax3，可得f（x）=a由题意可得：f（2）=a=tan45=1，解得a=2可得f（x）=+2g（x）=x3+x2=x3+x22x，g（x）=3x3+（m+4）x2g（0）=2函数g（x）=x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，可得，由题意可知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立利用单调性即可得出【详解】（1）f（1）=5，0a3=5，解得a=2f（x）=2lnx2x3f（x）=2=，（x0）函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）（2）f（x）=alnxax3，f（x）=a由题意可得：f（2）=a=tan45=1，解得a=2f（x）=2lnx+2x3f（x）=+2g（x）=x3+x2f（x）+=x3+x2=x3+x22x，g（x）=3x3+（m+4）x2g（0）=2函数g（x）=x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，由题意可知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立3t2+（m+4）t20，则（m+4）3t对任意的t1，2成立又3t在