小学奥数资料：操作与策略教师版

第十四讲：操作与策略教学目标1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案3. 让孩子掌握各种趣题的不同思考方式知识点拨实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。例题精讲模块一、制胜策略【例 1】 (圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21问：尤拉最初所想的是哪一个数？【解析】 解法一：(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉面临的是一个三位数，其值在210至219之间在这些数中，只有两个数是7的倍数：和这就意味着在乘以7之前，尤拉的数是30或31因而在第一次删去末位数之前，尤拉所面临的数为300到319之间的一个三位数在这些数中只有一个数是13的倍数：，所以尤拉最初所想出的数是24解法二：(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”如果开始所想的数是25，那么运算过程如下：253253222422.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是24【巩固】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，只有0号是黑盒，其余的都是白盒开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果号白盒中恰有个球，可将这个球取出，并给0号、1号、，号盒中各放1个如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球【解析】 使用倒推法最终各盒中依次有球(10，0，0，0，)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1号盒中最终至少有1个球所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，)依次倒推，为：(10，0，0，0，)(9，1，0，0，)(8，0，2，0，0，)(7，1，2，0，0，)(6，0，1，3，0，)(5，1，1，3，0，)(4，0，0，2，4，)(3，1，0，2，4，)(2，0，2，2，4，)(1，1，2，2，4，)(0，0，1，1，3，5)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推所以，4号盒中原有3个球【例 2】 圆周上放有枚棋子，如图所示，点的那枚棋子紧邻点的棋子小洪首先拿走点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过当将要第10次越过处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子若是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？【解析】 设圆周上余枚棋子，从第9次越过处拿走2枚棋子到第10次将要越过处棋子时，小洪拿了枚棋子，所以在第9次将要越过处棋子时，圆周上有枚棋子依次类推，在第8次将要越过处棋子时，圆周上有枚棋子，在第1次将要越过处棋子时，圆周上有枚棋子，在第1次将要越过处棋子之间，小洪拿走了枚棋子，所以是14的倍数，是2和7的公倍数，所以必须是奇数；又，所以必须是7的倍数当，25，27，29时，不是7的倍数，当时，是7的倍数所以，圆周上还有23枚棋子【例 3】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)【解析】 由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子仍为偶数因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子【例 4】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【解析】 101枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等因此应该首先拿掉一个，把剩下的100枚硬币在天平两边各放50个如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是伪币只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币还在这100个硬币中可以拿出其中比较轻的50个这时同样还是把他们分成两个25枚，分到天平两边称重如果两边重量相等，说明这50个硬币都是真的伪币在比较重的那50个中，因此伪币就应该比真币重如果两边重量不相等，说明伪币就在这50个比较轻的硬币中，显然伪币就应该比真币轻同样道理，也可以把比较重的那50个硬币分成两个25进行称重，同样也可以得出结论【巩固】 9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【解析】 第一次在左右两托盘各放置3个：(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的一个是假的；(二)如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的那个是假的这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻，重，平)，所以分成3堆是很常见的分法【例 5】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：1大瓶往中瓶中倒满水2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记5小瓶中水倒回大瓶6中瓶中100克水倒入小瓶，标记所以最少要倒6次水本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的【例 6】 (第七届“华杯赛”决赛)对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？【分析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，即3，8，经6次操作变为1的有8个，即11，24，10，28，13，30，64，31.于是，经1、2、次操作变为1的数的个数依次为1，1，2，3，5，8， 这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即211，321，532，853，如果这个规律正确，那么8后面的数依次是8513，13821，211334，即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过次操作变为1的数的个数为,则1，1，2，【巩固】 对于任意一个自然数，当为奇数时，加上；当为偶数时，除以，这算一次操作现在对连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现？为什么？【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到，但也不能肯定得不到当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现因为这一过程很长，所以这不是好方法我们可以从另一个方面来考虑，因为和都是的倍数，而不是的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是的倍数不是的倍数，所以不可能出现【巩固】 小牛对小猴说：“对一个自然数进行系列变换：当是奇数时，则加上2007；当是偶数时，则除以2现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008”小猴说：“你骗人！不可能出现2008”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？【解析】 试着按照规则进行变换，得到的结果依次如下：2004，1002，501，2508，1254，627，2634，1317，3324，1662，831，2838，从中发现不了什么规律，所以应该从另外的角度进行分析观察可知2004和2007都是3的倍数，那么不论变换多少次，得到的数也还是3的倍数而2008不是3的倍数，所以不可能出现2008【例 7】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，2，0，5，5，0，5继续依次操作下去问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？【解析】 观察操作次数： 开始 第一次 第二次 第三次 总 和： 7101316 易发现每操作一次总和增加3因此操作100次后产生的新数串所有数之和为【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，4218，2418，612，66，直到两数相同为止试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15这两个四位数是 与 【解析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律例如：136，631，1 36，279，9 84，3612，12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020【例 8】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、2009然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【解析】 从整体进行考虑所得的2009个和相加，便等于12009的所有数的总和的2倍，是个偶数2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数本题也可以考虑其中的奇数由于12009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数【巩固】 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 则这个整数的数字之和是（ ）。【解析】 这个2006位整数的前若干位如下：62810112358134711从第6位起，每10位数字循环出现一次，这10位数字之和为 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 + 3 + 4 + 7 = 35。（20065）10=2001，这个整数的数字之和是 6 + 2 + 8 + 1 + 0 + 35200 + 1 = 7018。【例 9】 有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴每次至少要取走一根火柴谁取得最后一根火柴谁胜如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？【解析】 采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜.【例 10】 黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，51甲、乙两人轮流划掉连续的3个数规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜问：甲有必胜的策略吗？【解析】 甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜.【例 11】 两个人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报15个数，谁先报到50谁获胜你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？【解析】 因为50（1+5）=82，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1+5=）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜模块二、优化调运及排线问题 【例 12】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？ 【解析】 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管那么从自来水厂到J村要铺设10根细管，自来水厂到I村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况因为粗管是细管价格的4倍，如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大，仅在3条或3条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到G村为止，再用三条细管连接H、I、J三个村，这样费用最低，总费用：(元)【例 13】 有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？【解析】 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管那么从县城到村要铺设10根细管，村到村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管因此，从县城到村铺1根粗管，村到村铺3根细管，村到村铺2根细管，村到村铺1根细管总费用为：(元)【例 14】 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？【解析】 方法一：由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安最佳的调运方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台总运费为(元)方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运杭州x台，调运西安 ()台，则洛阳应调运杭州()台，调运西安(台)，总运费 ，因为要使总运费最小，需要300x最大由于x是北京调运杭州的台数，且，所以当时，总运费(元)最小由可知，北京调运杭州7台，调运西安4台，洛阳调运杭州0台，调运西安5台【例 15】 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持外地4台现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？【解析】 方法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有3百元，但是上海到汉口比北京到汉口只节省()1百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省()3百元所以重庆所需台数应由上海尽量满足，即上海的4台全部调运重庆，北京再补给重庆4台，汉口的6台从北京调运总运费为：(百元)方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口x台，调运重庆()台，则上海应调运汉口()台，调运重庆(台)，总运费 ，因为要使总运费最小，需要2x最大由于x是北京调运汉口的台数，且，所以当时，总运费(百元)最小由可知，北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台【例 16】 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？【解析】 通过分析将题目给的图形先转化为下图，我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案观察上表各列两数之差，最大的是第三列，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓库供应丙20吨在剩下的两列中，第一列的差大于第二列的差，所以南仓库的货物尽可能的供应甲工厂，即南仓库供应甲25吨因为南仓库货物分配完，其余的甲需要的(吨)由北仓库供应，即北仓库供给丙后剩下的15吨货物3吨给甲(吨)给乙，相应的运费为：(元) 【例 17】 A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？【解析】 A，B粮店共有大米 (吨)，甲、乙、丙三个居民点需要大米(吨)，供应量与需求量不相等，但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案观察上表各列两数之差，最大的是第二列，因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨在剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙因为A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨，调运方案如右表，相应的运费为：(元)【例 18】 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近） 【解析】 在人员调运时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。五个基地人员总数为17+4+16+14+9=60（人）依题意，调整后每个基地应各有605=12（人）。因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求.此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。调动示意图如右图所示.这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦，图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量。【例 19】 下图是一个交通示意图，、是产地(用表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，、是销地(用表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物的运价，单位：百元(例如与两地，由到或由由到每吨货物运价元)将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？【解析】 为了运价最小，图中可以直接看出地的5吨货物，必然要运往，这个时候还差 (吨)一定需要从运4吨之后剩下吨之后分两种情况如果的4吨全部运往，之后把中的1吨运往，5吨运往总共需要运费为(百元)(元)；如果的4吨全部运往，之后中的1吨运往，5吨运往，总共需要运费为(百元)(元)【例 20】 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？【解析】 分析 不难想到有三种截法省料：截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料；截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺；截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺。由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1.考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根.于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料22550（尺）。【例 21】 山区有一个工厂它的十个车间分散在一条环行的铁道上四列货车在铁道上转圈运送货物。货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物各车间由于工作 量不同，所需装卸工人数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车问怎样安排跟车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？【解析】 如跟车人数为57，则各车间都不用安排人，但这样在需要人数少的车间，浪费人力,不行；为此找出各车间人数的平均数，后再调整。各车间人数的平均数为. 43.9.若跟车人数为43，则需人数多于43的车间需增加的人数分别为14，7，5，3，9，此时共需人数434+14+7+5+3+9=210。若 跟车人数为46，由于需人数多于46的有四个车间，货车上增多的人数与四个车间减少的人数一样。故跟车人数为46人，需人数多于46的四个车间人数各增加 所差数即可 464+4+2+6+11=207（人）【例 22】 现有段铁链，每段上有个封闭的铁环现在要打开一些铁环，把这个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈如果每打开一个铁环要分钟，焊接上一个铁环要分钟那么焊成这个圆圈，至少需要_分钟【解析】 把第一段的每个都打开之后用了(分钟)，下面用每个铁环把剩下的 段铁链之间的两个相连，只需要(分钟)所以至少需要分钟【例 23】 国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第10日发作有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？【解析】 将酒桶编号11000全部改为二进制 应该是00000000011111101000，让一号犯人喝末位数字是1的毒酒，二号犯人喝倒数第二位数字是1的毒酒十号犯人喝第一位编号是1的毒酒，这样的话如果某一号犯人死亡就说明相应的某一位数字是1，如果没有死亡那就说明相应位上的数字是零比如一号犯人死亡，二号九号犯人存活十号犯人死亡，那么毒酒的编号就是0111111110也就是第510桶有毒【巩固】 欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个自然数两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和那么，两人的卡片上所写的数中最大的数最小是 【解析】 为了让两人的卡片上所写的数中最大的数最小，首先应该让它们这16个不同的和最小，因为他们都是自然数，所以最小的十六个数应该是015，这恰好是二进制00001111，每人手里有四张牌，可以有四种不同的数字，那么可以这样，让每个人手中的牌控制二进制当中的两位，比如欢欢手里的牌是0000、1000、0100、1100这样的话他可以控制二进制的前两位，相应的迎迎手里的卡片应该是0000、0001、0010、0011，这样的话它们就能组成00001111所有的数，但是这样的话欢欢手里的牌控制的是最高的两位，这样的话他手里的牌就有点太大了，为了让最大的数最小应该让控制最高位的人同时控制最低位，这样的话，对欢欢手里的牌做调整，可以得到0000、1000、0001、1001，迎迎手里的牌是0000、0010、0100、0110，这样的话同样可以得到00001111，16各不同的数字，而且8张牌中最大的数字也只是1001也就是9【例 24】 一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输每个货站所需要的装卸工人数如下图为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是 人【解析】 如果每辆车配4人，此时共有装卸工人，如果每辆车配5人，此时共有装卸工人，如果每辆车配6人，此时共有装卸工人，如上我们发现人数是越来越多的，23小于24小于26，故最少23人【例 25】 一次，齐王与大将赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序一次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等田忌有 种方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛【解析】 第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛， 若三场全胜，则只有一种出场方法； 若胜两场，则又分为三种情况：二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种情况；二，四两场胜，此时有三种情况；三，四两场胜，此时有七种情况；所以一共有种方法课后练习练习1. (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换如对18和42可作这样的连续变换：18，4218,2418,612,66,6直到两数相同为止问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 【解析】 操作如下：1234，43211234，30871234，18531234，619615，619615，43，43，12，11，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数即1234与4321的最大公约数为1此法也称为辗转相减法求最大公约数练习2. (2002年小学生数学报邀请赛)一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键蓝键为“输入/删除”键(按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除)每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失现在先按蓝键输入21请你设计一个操作过程，要求：操作过程中只能按红键和黄键；按键次数不超过6次；最后输出的数是3【解析】 需按4次红键2次黄键，有如下操作方式：练习3. 在黑板上写上、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为是一个偶数，而每一次“操作”，将、两个数变成了，它们的和减少了，即减少了一个偶数那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数练习4. 1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动17个格规定将棋子移到最后一格者输甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？【解析】 一开始棋子已占一格，棋子的右面有空格1111-1=1110（个）只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜（1111-1）（1+7）=1386，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜练习5. 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？【解析】 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30，若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理如果车上不跟人，各车间所需人数和为：(人)，如果每列车上跟1人，共