高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 向量概念的推广与应用素材 新人教A版选修2-1（通用）

向量概念的推广与应用学习了平面向量以后我们知道，在平面内建立了坐标系后，坐标平面内的任一向量，都可以用一个有序实数对（a1，a2）表示平面向量又称为二维向量在学习空间向量时，给定空间一个基底，任一空间向量可用一个三元有序实数组（a1，a2，a3）来表示空间向量又称为三维向量二维、三维向量都称为几何向量在实际问题中，往往会遇到一些量，需要更多的实数来表示比如：期末进行了五门考试，每个学生可用顺序排列的五科成绩来表示在汽车生产线上，对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、百公里油耗、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试，那么每辆新车质量可用六元有序实数组表示n元有序实数组（a1，a2，an）称为n维向量，它是几何向量的推广所有n维向量的全体构成的集合，叫做n维向量空间，它的一个元素可看成n维向量空间的一点对于n维向量，类似二维向量，可定义加法与乘法运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点的距离等设a=（a1，a2，an），b=(b1，b2，bn)，则a+b=（a1，a2，an）+(b1，b2，bn)=(a1+b1，a2+b2，an+bn)；a=（a1，a2，an）=（a1，a2，an），R；ab=（a1，a2，an）(b1，b2，bn)=a1b1，a2b2，anbn； n维向量空间中点A（a1，a2，an），B(b1，b2，bn)，的距离 利用向量的运算可解决许多实际问题为了研究某种商品的销售量是否随季节的变化而出现规律性的变化，采集了5年内这种商品每月销售量的数据每年此商品的销售量可用12个月的销售量所形成的12维向量表示不妨设5年的销售向量分别为a1=(a11，a12，a1,12)，a2=(a21，a22，a2,12)，a3=(a31，a32，a3,12)，a4=(a41，a42，a4,12)，a5=(a51，a52，a5,12)计算这5年的月平均销售向量：观察这个向量的12个分量，就可看出这5年月平均销售量是否与季节的变化有关上面是一个应用向量加法与数乘运算的例子，下面我们再来看用“距离”概念解决实际问题的例子某企业要为10000名职工制作工作服，每人测量身高、胸围、腰围三个指标每个人的身材用三维向量表示，并把它看作三维向量空间中的一个点现准备制作5种型号，需要测量每种型号的服装应制作多少套用数学语言来描述，就是如何将10000个点分成5类一种常用的分类方法是依据“距离”来分类5种标准型号为5个点，要用两点距离的计算公式，计算每个人的身材点与5个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归哪一类最后，计算出属于每一类的点数，就是这一类服装所需要的套数（实际计算中应将数据标准化）当今世界是计算机的世界，上述计算不再令人生畏，向计算机输入数据，能在很短时间内完成计算任务从以上两个例子可以看出，由有序实数组构成的向量，比几何向量的应用更加广泛在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量来表示，并可用向量理论研究这些量的性质四简单多面体与球9.9棱柱与棱锥1多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体自然界许多物体都呈多面体形状（图9-80）围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面