高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.8 点到平面的距离若干求解方法素材 湘教版选修2-1（通用）VIP

点到平面的距离若干求法1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。例 如图4所示，所示的正方体 棱长为，求点到平面的距离。(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交于点，再连结，过点作垂直于，垂足为，下面证明平面。图5平面又在正方形中，对角线，且平面, 平面由线面垂直的判定定理知道平面平面又由的作法知道，且有，平面，平面由线面垂直的判定定理知道平面根据点到平面距离定义，的长度即为点到平面的距离，下面求的长度。中，容易得到，从而为正三角形，。进而在中，。由得到从而到平面的距离为。3.2转化法求点到平面距离有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。转化法依据主要有以下两点：(1)若直线平面，则直线上所有点到平面的距离均相等。(2)若直线与平面交于点，则点、到平面的距离之比为。特别地，当为中点时，、到平面的距离相等。下面用转化法重解上面例题解法二(转化法)如图6所示，连结、，交于点，连结交于点，延长至点使得，连结。图6平面从而斜线在平面的射影为、为正方形对角线，由三垂线定理知道同理可以得到又，平面，平面平面平面，即点为在平面的射影，的长度为所求即，且四边形为平行四边形在由等比性质有而在正方体中对角线在本例中，未直接计算垂线段的长度，而是找出了其与正方体中对角线的数量关系，从而转化为求正方体对角线长度，而长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。3.3等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式求出点到平面的距离。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.解法三(等体积法):如图7所示，作垂直于平面于点，则长度为所求。对于四面体，易见底面的高为，底面的高为。对四面体的体积而言有：图7即有: 也即: 由，从而为正三角形，进而可求得又易计算得到的面积为所以从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。3.4利用二面角求点到平面距离如图8所示，为二面角的的棱，为二面角的一个平面角。下面考虑点到平面的距离。作，垂足为，下面证明平面。图8为二面角的一个平面角、又平面又平面又 ，平面，平面平面在中，有 这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。下面利用二面角法求解上面例子。解法四(二面角法):如图9所示，连结、，与相交于点，连结。与为正方形的对角线（即），为中点图9又中为二面角的平面角设到平面的距离为，是过点的关于平面的一条斜线，又上面得到的公式 有易见，平面，从而在中有从而点到平面的距离为3.5向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。证明:如图10所示，为平面外一点，为平面上任意一点，平面于点，为平面的单位法向量。图10即 这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。下面用向量法从新求解上面例子解法五(向量法) 如图11所示以点为原点，所在的正方向分别，轴的正方向建立空间直角坐标系。图11由所给条件知道坐标点、，从而有，。设平面的任意一个法向量为,则有， 即代入已知得到这是一个关于的不定方程，为了方便起见，不妨设，这样上式变为解该式得到这样就得到平面的一个法向量为，将其单位化得到平面的一个单位法向量为。设点到平面的距离为，结合式所给出的结论有即点到平面的距离为。从上面的解答过程可以看到，用向量法求解点到平面的距离比之前面提供的几种几何方法而言，这种方法不需要大量的几何证明，而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时，第一步建立空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤，如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形中关键点（所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点）在建立