高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 用反证法解题的几种类型素材 新人教A版选修2-2（通用）

用反证法解题的几种类型在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。1“至多、至少”型命题通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。例6、设，求证：,中至少有一个等于。证明：假设,中没有一个等于，则，, 。因而，即 (*)因为，所以,代入(*)式，有。这和已知相矛盾，故中至少有一个等于。2唯一型命题 以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论。 例7、求证：两条直线相交只有一个交点。证明：假设两条直线l,l相交有两个交点（设为A、B两点），则过A、B两点有两条不同直线l, l，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。3无限型命题待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的反面事项是有限的、肯定的，这时宜用反证法。例8、证明方程的正根是无理数。证明：当时，函数单调上升；又当时，；当时，。所以方程的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数(是互质的自然数),则()+=10，即，由于是自然数，所以为整数，则是整数。又因为互质，所以只有公因数，上式说明只能是10的因数，但是p取1，2，5，10的既约分数时，都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。4肯定型命题以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。例9、已知均为正整数，且满足,又为质数，求证：与c两数必为一奇一偶。证明：假设和c同为奇数或同为偶数，由,得,根据奇偶数性质知和同为偶数，则必为偶数，也为偶数，但是质数，所以=2，即有,所以或，可得或，这与、均为正整数相矛盾，所以与必为一奇一偶。5否定型命题 通过否定结论给出命题，将原来的否定命题转化为肯定命题，再利用该肯定命题找出矛盾。例10、设、为不相等的实数，求证：个二次方程,不可能有等根.证明：设个二次方程都有等根，则显然应有, , ,将该式相加，得,即,由此可推得，这和已知矛盾，所以个二次方程不可能都有等根。6不等型命题根据不等命题的否定得到另一个不等命题，再利用已知条件找出矛盾，使命题获证。例11、在中，,求证：。证明：假设,由已知条件得,即,因为sin0,故2sincos，又A，所以。则sin，所以cos1。这与cos1矛盾，故假设不成立，所以A。7其它类型命题除了以上几种常见题型宜用反证法，还有以下几种情形的命题可用反证法：基本定理、公理以及一些定理的逆定理；条件较少，且又无公理、定理可用；直接证法较难，命题结论的反面更易于反驳。总之，当从已知条件出发要证出结论较困难时，而此时结论的反面又比结论本身更明确、更具体、更简单、更易判断时就可考虑用反证法。在学习和解决实际问题的过程中须注意命题的结论中如有“能”、“有”、“一定”等肯定性词语时，或有“不能”、“不是”、“不存在”、“不可得”等否定语句时，或命题结论中有“至多”、“至少”、“无穷”等