高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 充要条件的理解及判定方法素材 北师大版选修2-1（通用）

充要条件的理解及判定方法充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系本文主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让我们能准确判定给定的两个命题的充要关系高考中“充要条件”常见题型解题方法如下：一利用双箭头的传递性判定例1已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件那么p是q成立的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解：用双箭头符号表示p、q、r、s的关系：pr，sr，qs，即pr，rs，sq，prsq，即pq，又rp，则qp，故p是q的充分非必要条件.故选A.点评：由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.本题关键是将所有充分（必要）条件转化为“=”和“”表示，画出它们的关系网络图，再找要求的两个条件之间的互推关系二利用集合之间的关系判定例2设集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：，NM“”是“”的必要而不充分条件. 故应选B点评：通过集合的包含或相等关系来确定充分、必要条件，利用集合之间的关系判定主要依据：(1)若AB，就是xA则xB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若AB，就是xA则xB，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；(3)若A=B，就是AB且AB，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件；(4)若AB，AB，则A是B的既不充分也不必要条件三利用命题的四种形式进行判定例3设A、B是两个命题，如果B是的必要条件，但不是的充分条件，那么A是的 条件解： A是的必要条件；又假如，则，这与B不是的充分条件矛盾，A不是的充分条件，故A是的必要不充分条件点评：利用命题的几种相互关系判定的依据是：(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.四直接用定义判定例4“若，R，则0”的一个充分不必要条件是：0；0或0；2；0且0解：由题意知“充分不必要条件”是指：选项=已知，但已知选项据此考察四个选项：0=，同号0；0或00；2=0，但02；0且00，但00且0故填点评：直接用定义判定的理论依据是：能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：(1)若pq，且qp，则p是q的充分且不必要条件，q是p的必要且不充分条件；(2)若qp，且pq，则p是q的必要且不充分条件，q是p的充分且不必要条件；(3)若pq，且qp(或pq)，则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件)；(4)若pq，且qp，则p是q的非充分非必要条件.例5若是常数，则“”且“”是“对任意，有”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：由“且”可推得“对任意，有”成立，而当时，仍有，即由“对任意，有”不能推出“且”故答案选A点评：此题考查了恒成立的条件，恒成立的条件是 或 可见，实际上解决有关“充要条件”的方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要