高中数学 第三章 导数应用 3.2 导数在实际问题中的应用教材基础素材 北师大版选修2-2（通用）

2 导数在实际问题中的应用导数概念具有很强的实际背景,而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数知识来解决的问题,可以说,导数的知识构成一种思路.在生产建设和科学技术中,要求“用料最省”“体积最大”“效率最高”等问题时,往往可以归纳为求函数的最大值和最小值的问题.这就是导数知识应用的一个方面.高手支招1细品教材一、实际问题中导数的意义1.导数在实际生活中的应用(1)与几何有关的最值问题;(2)与物理学有关的最值问题;(3)与利润及其成本有关的最值问题;(4)效率最值问题.2.解决问题的思路(1)审题:理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.状元笔记解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问【示例】在某种工业品的生产过程中,每日次品数y是每日产量x的函数:y=,x100,该工厂售出一件正品可获利A元,但生产一题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去.件次品就损失元,为了获得最大利润,日产量应为多少?思路分析:最大利润等于正品获利减去次品损失,根据已知条件列出利润关于日产量的函数关系式,利用导数求出最值.解:在每天生产的x件产品中,x-y(x)是正品数,y(x)是次品数,每日获利总数为T(x)=A(x-y)- Ay,要使T(x)取最大值,则T(x)=A(1-y).令T(x)=0,得y=,又y=,x100,由y=x89.4,因此产品个数应是89或90件.又由于T(89)79.11A,T(90)79.09A,所以每日生产89件将获得最大利润.二、函数最大、最小值问题状元笔记极大、极小值与最大、最小值的区别：函数极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的,函数最大值、最小值是比较整个定义区间上的函数值得到的.1.在闭区间a,b上可导的函数f(x),在a,b上必有最大值和最小值;但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值.【示例】下列结论正确的是（ ）A.在区间a,b上,函数的极大值就是最大值B.在区间a,b上,函数的极小值就是最大值C.在区间a,b上,函数的最大值、最小值在x=a和x=b时达到D.一般地,在a,b上可导的函数f(x)在a,b上必有最大值和最小值思路分析:利用函数极值与最值的定义可直接判断.答案:D2.设f(x)在其定义域a,b上可导,求f(x)的最值步骤如下:(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;(2)求出f(x)在区间端点的值f(a),f(b);(3)将f(x)的极值与端点处函数值f(a),f(b)进行对比,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【示例】 求下列函数的最值:(1)f(x)=3x-x3(-x3);(2)f(x)=6-12x+x3,x,1.思路分析:函数f(x)在给定区间上可导,必有最大值和最小值,因此,在求闭区间a,b上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后与端点处函数值比较即可.解:(1)f(x)=3-3x2,令f(x)=0,得x=1,f(1)=2,f(-1)=-2.又f(-3)=0,f(3)=-18,f(x)max=2,f(x)min=-18.(2)f(x)=-12+3x2=0,x=2.当x(-2,2)时,f(x)0,f(x)为减函数.当x,1时,f(x)为减函数.f(x)min=f(1)=-5,