高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的运算 空间向量的运算与性质、角和距离错例分析素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
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文档简介

空间向量的运算与性质、角和距离错例分析学习立体几何要求有较强的空间想象能力和逻辑思维能力，因此在解答立体几何问题中常常会暴露的诸多薄弱环节，突出表现为对空间概念的理解模糊，对图形的想象不透彻以及受思维定势的影响等，从而导致计算、论证等方面的错误.本文就空间向量的运算与性质、角和距离的常见错误加以剖析.一忽视平行向量的方向而致错例1设(2，3，6)，求与平行的单位向量的坐标.错解：因|7，故所求单位向量为(2，3，6)=(，).剖析：上述解法忽视了与平行的平面向量的方向，或者是混淆了“的单位向量”与“与平行的单位向量”这两个不同的概念，因为与平行的单位向量与同向或反向.正解：因|7，故所求单位向量为(2，3，6).二对距离的概念理解不清而致错例2在空间到ABC三个顶点距离相等的点的集合为_.错解：与ABC三个顶点距离相等的点的集合为与平面ABC平行的平面.剖析：上述解法因为对距离的定义理解不透彻，将点到平面的距离误认为点到点的距离，实质上在上面所确定的平面内任取一点，到A、B、C三点的距离均不等.正解：过ABC的外心作一条直线l垂直于面ABC，则l上的点到ABC的顶点的距离都相等，故应为一条直线.三混淆两异面直线所成的角与两向量夹角之间的关系而致错例4如图在ABCD中，ABAC1，ACD90，将它们沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D之间的距离.错解：ACD90，BAC90，0，0，AB与CD成60角，60，2()232cos32cos602，|BD|.剖析：此解法错误的原因在于没搞清两异面直线所成的角与两向量夹角之间的关.两向量夹角等于两异面直线所成的角或其补角.此解法误认为60只有一种情况，漏掉了120的情况.正解：ACD90，BAC90，0，0，AB与CD成60角，60或120，则当60时，|BD|；当120时，|BD|2.四作图受定势思维的影响而致错例2二面角a-l-b的一个平面内b有一条直线AB，它与棱l的夹角为45，与平面a所成的角为30，求这个二面角的大小.错解：如图，在直线AB上任取一点C，过C作COa于O，连结AO，则CAO为AB与平面a所成的角，过C作CDl于D，连结OD，由三垂线定的逆定理可得：CDl，所以CDO为所求二面角的平面角.由题意可知CAD45，CAO30，在RtACD中，设ADa，则CDa，CAa，在RtAOC中，可得：COa，在RtCOD中，sinCDO，因为0CAO90，所以CAO45，因此二面角a-l-b的大小为45.剖析：上面在作图时受到了定势思维的影响，即认为点C的射影落在半平面a内.但在本题中点C在平面a上的射影O不一定在二面角a-l-b的半平面a内，还可能在半平面所在平面的另一半平面内，如图所示.正解：如果点C在平面a上的射影O在二面角a-l-b的半平面a内，由上可得：二面角a-l-b的大小为45；如果点C在平面a上的射影O不在二面角a-l-b的半平面a内，在半平面所在平面的另一半平面内
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