高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条件、必要条件素材1 新人教B版选修1-1（通用）

1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂导学三点剖析一、充分条件与必要条件的判断【例1】在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由.(1)A：|p|2，pR.B：方程x2+px+p+3=0有实根；(2)A：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切.B：c2=(a2+b2)r2.解析：(1)当|p|2时，例如p=3，则方程x2+3x+6=0无实根，而方程x2+px+p+3=0有实根，必有p-2或p6，可推出|p|2，故A是B的必要不充分条件.(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，所以c2=(a2+b2)r2；反过来，若c2=(a2+b2)r2，则=r成立，说明x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，故A是B的充分必要条件.温馨提示对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断.二、探究充分条件与必要条件【例2】 设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0且c0B.b0且c0C.b0且c=0D.b0且c=0解析：f(x)=故函数f(x)的图象如右图.由图知，f(x)图象关于x=1对称，且f(x)0,若方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个解，则方程t2+bt+c=0有两个不等实根，且一根为正，一根为0.否则，若方程有两相等实根，则方程至多有4个解，若方程有两个不等正实根，则方程有8个解.f(x)=0满足方程，则c=0,又另一个f(x)0,b=-f(x)0.故b0且c=0,选C.答案：C温馨提示充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义三、充要条件的证明【例3】 证明：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0.证明：充分性a-b+c=0a(-1)2+b(-1)+c=0x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充分条件.必要性x=-1是方程ax2+bx+c=0的根a(-1)2+b(-1)+c=0即a-b+c=0a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的必要条件.综合关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.温馨提示p是q的充要条件，充分性是指pq，必要性是指qp.而p的充要条件是q，充分性则是指qp，必要性则是指pq.各个击破类题演练在ABC中，命题p：，命题q：ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：由已知和正弦定理，得令则解得k=1.sinA=sinB=sinC,A=B=C.pq，p是q的充分条件，若ABC为等边三角形，则a=b=c,A=B=C,qp，q是q的必要条件.p为q的充分必要条件.答案：C变式提升命题甲：“a,b,c成等差数列”是命题乙=2的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=b=c=0，则a,b,c也成等差数列，但推不出=2反过来由=2a+c=2b，即a,b,c成等差数列，故选A.类题演练2对任意实数a,b,c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件“ab”是“a2b2”的充分条件“a5”是“a3”的必要条件其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：中，当c=0时，ac=bc/a=b.故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故错误.中，“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故错误.正确.答案：B变式提升2已知条件p：x+y-2，条件q：x,y不都是-1，则p是q的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析：p：x+y-2,q：x-1或y-1.p：x+y=-2，q：x=-1且y=-1.qp，但p/q.p是q的充分且不必要条件，选A.类题演练3证明一元二次方程ax2+bx+c=0有