高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行 不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
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不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点.一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-是各棱长均相等的正三棱柱，D是侧棱的中点.求证：平面AB1D平面ABB1A1 .分析:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。解法一取AB1的中点M，AB中点N，连结DM，MN，CNMN BBCD 且MN =BB=CD DMCN且 DM=CN由已知可得 CNAA,且CNAB CN面AB BA, DM 面AB BA,且 DM面ABD,面ABD面AB BA回顾面面垂直的判定定理“l , l ”中，首先，L应是内垂直于交线的直线。将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。于是有下面的证法二。证法二 =(+)=(+)=-a+0+a+0 (a为棱长)同样 =+=0-a+0+a=0DM相交直线AB. AA, DM平面AB BA 且 DM平面ABD平面ABD平面AB BA.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面ABD与面ABC的法向量数量积为0.证法三以AB的中点O为原点，射线OB，OC，OM（M是AB1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A（-1，0，0），B（1，0，0）D（0, ,1）, B(1,0,2) 设平面ABD的法向量为=（x,y,z）由=（x,y,z）（1，1）=x+y+z=0和=（x,y,z）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取=（-1,0,1）.而平面AB BA的法向量为=（0, ,0）=（-1,0,1）（0, ,0）=0+0+0=0 平面ABD平面AB BA.回顾:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。（3）有些法向量是已知的，不必要用待定法去求。二.利用空间向量处理平行关系问题例2如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C面ODC1.分析:证明平行问题必定要用到共线向量定理或共面向量定理.所以在证明过程中就要观察如何选取两个不共线向量来和已知向量形成共面向量定理或观察如何选取一个向量来和已知向量形成共线向量定理.证明：设，则 .回顾:在上面的证明过程中,用到了共面向量定理来证明直线与平面平行.共面向量定理成立不成立
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