高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念教材基础素材 北师大版选修2-2（通用）

1 定积分的概念我们已经学会了正方形、三角形、梯形等图形面积的计算,这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段.但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,它们的面积怎么计算呢？高手支招1细品教材一、曲边梯形的面积1.曲边梯形:我们把直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如图所示:2.曲边梯形面积的算法(1)分割:将a,b等分成n个小区间:a,a+,a+,a+a+,b.第i个区间为a+,a+.(2)过剩估计值:对于曲边梯形,分别以这n个小区间中具有最大曲线值的端点所对应的曲线值和为边长作小矩形,这n个小矩形的面积记作S1,S2,Sn,这n个小矩形的面积之和记作S1=S1+S2+Sn=.S1大于曲边梯形的面积S,我们称S1为S的过剩估计值.如图所示:(3)不足估计值:对于曲边梯形,分别以这n个小区间中具有小曲线值的端点所对应的曲线值和为边长作小矩形,这n个小矩形的面积记作s1,s2,sn,这n个小矩形的面积之和记作s1=s1+s2+sn=.如图所示：s1小于曲边梯形的面积S,我们称s1为S的不足估计值.状元笔记 当f(x)为增函数时,用第i个小区间左端点对应的函数值与x相乘求出的为不足近似值用右端点对应的函数值与x相乘求出的为过剩近似值.(4)估计值误差:记过剩估计值S1和不足估计值s1之间的差为S,即S=S1-s1,无论用过剩估计值S1或者不足估计值s1代替曲边梯形的面积S,其估计值误差都不会大于S.将a,b分得越细,就会得到越精确的估计值,当分割的小区间的长度趋于0时,过剩估计值S1和不足估计值s1都会趋于曲边梯形的面积S.状元笔记 用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积:把区间a,b分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,在每个小曲边梯形上“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.拆分得越细,近似程度就会越好.二、非匀速运动物体经过的路程状元笔记 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和的方法,可以求出它在atb内位移s的过剩估计值和不足估计值及它们的差.三、定积分状元笔记 定积分是一种“和式”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间a,b上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.1.定积分的概念一般地,给定一个在a,b上的函数y=f(x),用分点a=x0x1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式=1f(i)x=1f(i),当n时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=1f(i).这里,叫做积分号,a与b分别叫做积分的下限和积分的上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.2.定积分的几何意义当函数f(x)在区间a,b上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图),定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和,在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号.3.定积分的性质定积分有如下性质:性质1:1dx=b-a;性质2:kf(x)dx=kf(x)dx;性质3:f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx;性质4:f(x)dx