微分方程ppt课件

微分方程与动力系统（常微分方程续）,1,1.简单的例子和定义,2.合理的物种总量模型,3.常值收割与分岔,4.周期收割与周期解,5.计算庞加莱映射,第一章一阶方程,2,1.简单的例子和定义,对于，其中x=x(t)是实变量t的实值未知函数，a是一个参数；设k为任一给定的实数，则函数x(t)=k就是上式的一个解，且这个方程没有其他解；验证：设为u(t)方程任一解，计算u(t)的导数为0，从而u(t)为一常数，设为k，于是u(t)=k通解：微分方程所有解的全体。,3,初值问题：（满足初始条件）x=ax,x(0)=，即=0,平衡解（平衡点）：注意到在上式中，在k=0是有一个特殊的解，即常数解x(t)0。像这样的解，称为方程的平衡解或平衡点。,4,在方程x=ax中，a看做参数，当a变化时，方程也变化，其解随之改变。1）若a0，当k0时，；当kN时，则有x0的解都趋于x(t)1，与假设吻合，当x(0)1时，0时，0,斜率为正，解增加。当x0时，0,而=-a0，当x通过0时，斜率将单调增加，于是在x=0的下方取负值，而x=1的上方，斜率取正值。因而，解要远离x=0，为源点。同理，0，故x=0为源点，而g(1)=-21/4时事，对所有的x，总有fh(x)1/4，该物种就要灭绝。必须说明的是，上面的物种总量模型虽然简单，但它预测收割率微小变化所导致的物种灾难性变化已经在现实中被多次观察到。,20,例我们考虑微分方程族（这里a为参数）x=ga(x)=x-ax=x(x-a),解：该方程的平衡点为x=0和x=a。计算可得从而当a0时，0是汇点。同样，从而当a0时，0是源点。在a=0时出现了分岔，因为此时，方程只有一个平衡点。进一步，当a增加通过0时，在x=0处的平衡点从源点变为汇点；与此同时，x=a处的平衡点从汇点变为源点。,21,练习,下列微分方程组都依赖于参数a，画出其分岔图的简图。1.x=x-ax2.x=x-ax,22,1.4周期收割与周期解,对于x=f(t,x)=ax(1-x)-h(1-sin(2t)，其中a和h都是正参数。（这里收割率是周期变化的）在t=1/4+n（n代表年份，为整数）时达到最大值-2h半年后，即t=3/4+n时，达到最小值0.,23,分析：,（1）f(1+t,x)=f(t,x)右端对时间t是以1为周期的，假设知道0t1的解，则通过周期可得到所有时刻的解。设x1(t)是定义在0t1上的一个解，满足x1(0)=x0，而x2(t)为满足x2(0)=x1(1)的一个解，则可通过x1(t+1)=x2(t)将解x1(t)延伸。由于1(t+1)=2(t)=f(t,x2(t)=f(t+1,x1(t+1)，因而延伸后的函数仍是一个解。,24,（2）假设满足x(0)=x0的解在t=1时的取值x(1)对于任意初值x0，都对应于满足x(0)=x0的解x(t)的一个值x(1)，这样可定义一个函数P(x0)=x(1)。将函数自身复合，得P(P(x0)=x(2)。为以x0为初值的解在t=2处的取值。同理得出时刻n的值。上述定义的函数P称为该微分方程的庞加莱映射。有了这样的函数，我们就可以从连续动力系统（微分方程）的领域转化到较易理解的离散动力系统的领域（迭代函数）。,25,假如：P(x0)=x0，即x0为函数P的不动点。对每一整数n，都有x(n)=x0，进一步，对于满足0t1的任何t，也有x(t)=x(t+1)。从而x(t+n)=x(t)，这说明了满足x(0)=x0的解关于t是一个以1为周期的周期函数。这样的解称为微分方程的周期解。不幸的是，计算微分方程的庞加莱映射通常是一件不可能的事。所幸对于具有周期分割的合理方程，我们可以做到。,26,1.5计算庞加莱映射,术语：为了强调对初值x0的依赖关系，相应的解记为(t,x0)。:RRR称为该微分方程诱导的流。如果将变量x0固定，则函数t(t,x0)正是该微分方程对应于初值x0的解的另一种表述方式，可记为t(x0),27,对于x=ax。它的流为(t,x0)=x0对于合理方程（无收割的情形)，流为,28,29,于是庞加莱映射的图像是向下凹的，这个图像至多可穿过对角线y=x两次，即x至多只有两个值满足P（x）=x，从而庞加莱映射至多只有两个不动点。这些不动点对应于原微分方程的周期解，且满足对任意t，x(t+1)=x(t)，即当初值xx(t+1)=x(t)只为不动点之一时，流(t,x0)关于t是以1为周期的周期函数。,30,习题,1.找出x=ax+3的通解，其中a为参数。该方程有哪些平衡点？对a的哪些取值，平衡点是汇点？又对哪些取值，平衡点是源点？2.找出下列方程的平衡点，确定源点和汇点，同时做出相线的简图。1）x=x-3x2）x=|1-x|3）x=cosx4）3.下列微分方程组都依赖于参数a、h，画出其分岔图的简图。1）x=x-ax2）x=x-ax3）x=x(1-x)-h,31,4.考虑非自治微分方程（1）找出该方程满足x(0)=4的一个解，描述这个解的定性行为。（2）找出该方程满足x(0)=3的一个解，描述这个解的定性行为。（3）描述这个方程任一解在t时的定性行为。5.设x0为一阶自治微分方程x=f(x)的平衡点（1）假设f(x0)=0,x0附近的解的行为如何，给出几个例子。（2）如果f(x0)=0,而f(x0)0呢？,32,6.考虑一阶非自治方程x=P(t)x，其中P(t)是以T为周期的可微函数证明：该方程的所有解都是以T为周期的当且仅当7.考虑x=x-1-cost，讨论该方程周期解的存在性。,33,第二章平面线性系统,微分方程系统：一个微分方程组系统是指如下的互相关联的n个微分方程（这里fj是n+1个变量x1，x2，xn和t的实值函数，没有特别说明fj的各阶偏导都存在且连续。）,34,如果所有的fj都不依赖于t，上述方程组系统就称为自治的，此时系统变成X=F（X）。在以后的大部分讨论中，我们将主要关心自治系统。,35,同一阶微分方程一样，满足F（X0）=0的向量X0称为系统的一个平衡点，而该平衡点则对应于系统的一个常数解X（t）X0,例：考虑如下的常系数二阶方程x+ax+bx=0如果令y=x，则可将上述方程改写为以下的一阶方程组x=yy=-bx-ay任何二阶方程都可以通过这种方式改写成一个一阶方程组，因而我们主要讨论方程组。,36,回顾一些知识,方程组有唯一解的充要条件是A的行列