高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 空间距离问题的求解方法素材 北师大版选修2-1（通用）

空间距离问题的类型及解法空间距离问题是高考的热点之一，本文对空间距离及其求解方法归纳总结如下，供参考.一、 两点之间的距离设空间有两点、的距离为.方法1：解三角形法：在中，由勾股定理、正、余弦定理或三角形的面积等求出线段的长度.方法2：向量法：（1）将用已知向量表示，于是，（2）求出、的坐标及，于是，二、 点到直线的距离方法1过作，然后通过解三角形求出线段的长度，如图（1）.方法2过作，过作，则，解三角形求出如图（2）.方法3过作平面，使，设，然后求出，如图（3）.方法4向量法：若是直线的一个法向量，是直线外一点，是直线上一点，则点到直线的距离为，如图（4）.方法5最值法：设为直线上的动点，是直线外一点，求出的最小值.三、 点到平面的距离方法1：如图（1）过点作，则点到平面的距离为方法2过作平面，设，在平面内，过作，则，则点到平面的距离为方法3向量法：若是平面的一个法向量，是平面外一点，是平面内一点，则点到平面的距离为方法4等体积法：通过同一个几何体体积相等求距离，用的较多的是三棱锥等积法，即四、线线距离1平行线的距离2异面直线的距离方法1作出异面直线、的公垂线，然后求出公垂线段的长度.特别地，若直线，在平面内，过点作，则即为所求.方法2向量法：设是异面直线、的公垂线段，与平行的向量为，、分别是与上的任意一点，则与的距离为五、线面距离若直线平面，则上任一点到平面的距离都相等，于是，将求线面距离转化为求点到平面的距离.六、面面距离若平面平面，则上任一点到平面的距离都相等，于是，将求面面距离转化为求点到平面的距离.七、球面距离利用弧长公式求出经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.例1在空间四边形中，与成角，、分别是、的中点，求线段的长度.解1：取中点，连结、分别是、的中点，是两条异面直线与所成的角或所成角的补角.与所成的角为，或由（1）若，则为正三角形，故（2）若，则为腰长为的等腰三角形，故综上可得线段的长度为，或.解2：，两式相加，得到，所以，且，或于是当时，；当时，综上可得线段的长度为，或.例2一只小船以分的速度，由南向北等速驶过湖面，在离湖面20高处的桥上一辆汽车由西向东以分的速度等速前进. 如图，现在小船在水面点南处，汽车在桥点以西处，求小船与汽车间的最短距离（可以不考虑汽车和小船本身的大小，线段分别垂直于小船和汽车的路线）.解：如下图设经过时间汽车在点，船在点， 且异面直线与所成的角为，于是，当时，即例3（1）正方体的棱长为1，点是的中点，是上一点，则、两点间的距离为（2）在长方体中，则点到的距离为解：（1）如图，建立坐标系则、，故（2）如图，建立坐标系设在上的正射影为，则、设，则，由，且，得 所以故例4已知是边长为4的正方形，、分别是、的中点，垂直于所在的平面，且，求点到平面的距离.解1：如图，连结、分别交于、因为，是正方形，、分别是、的中点，所以，且为的中点.不在平面上，否则，平面与平面重合，从而点在平面上，与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知平面，所以，和平面的距离就是点到平面的距离.，.平面，平面平面平面，且平面平面作于点，则平面 所以，的长就是点到平面的距离.正方形的边长为4，且，在直角中，由于和有一个锐角是公共的，故即点到平面的距离为解2：如图，建立空间直角坐标系易得向量，设平面的法向量为，由所以，点到平面的距离为例5如图，正方形、的边长都是1，而且平面与平面相互垂直，点在上移动，点在上移动，若（）求的长；（）当为何值时，的长最小？（）当的长最小时，求平面与平面所成的二面角的大小.解：（）作交于点，连结，则平面，故，由已知，（）由（）知当时，的长的最小值为（）当最小时，取的中点，则为平面与平面所成的二面角的平面角. 且，即例6已知平面平面，是空间一点，且到平面、的距离分别为1、2，则点到的距离为解：如图，则，所以平面，且平面，连结，则，于是，即点到的距离为注意：一般地，若二面角的大小为，且，则点到的距离为例7在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且（）求直线与平面所成的角；（）设点在平面上的射影为，求证：；（）求点到平面的距离.解：（）平面，与平面所成的角是如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为，、，所以，直线与平面所成的角的大小为或略解：为平面的一个法向量，且为与面所成角的余角， 所以，直线与平面所成的角的大小为（）连结，由（）有、，平面的斜线在这个平面内的射影是，或证：设，由，知，而故（）设平面的一个法向量为 则即故故到平面的距离等于在方向上的射影向量的长度，即例8在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.解：（1）取中点，连结、.，且.平面平面，平面平面，平面，如图，建立直角坐标系，则，（2）由（1）得，设为平面的一个法向量，则 取，则，得又为平面的一个法向量，于是，二面角的大小为（3）由（1）、（2），为平面的一个法向量，点到平面的距离例9在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心（）求与平面所成的角的大小；（）求平面与平面所成角的大小；（）求点到平面的距离.解：如图，建立直角坐标系，设，则，. 由（）由，且为平面的一个法向量及，由故与平面所成的角是.（）设平面的一个法向量为，由，取，则，得由所以，平面与平面所成的角为.（）设平面的法向量为，仿上可求得，又，设点到平面的距离为，则例10在长方体中， 求与之间的距离及夹角.解：建立直角坐标系（左手系）如图，则，