高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法素材3 新人教A版选修4-5（通用）

2.3 反证法与放缩法庖丁巧解牛知识巧学一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.记忆要诀用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较常见的结论词与反设词原结论词等于（=）大于()小于(2，则有a2-b，从而a38-12b+6b2-b3,a3+b36b2-12b+8=6(b-1)2+2.所以a3+b32，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b2成立.误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.例2 设二次函数f(x)=x2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行.证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于，则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2. 另一方面，由绝对值不等式的性质，有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. 两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况.例3 设0a,b,c1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.思路分析：题目中出现了“不可能同时大于”字样，而且三个式子的地位相同，结合0,(1-b)c,(1-c)a,则三式相乘：(1-a)b(1-b)c(1-c)a.又0a,b,c1,02时，求证：logn(n-1)logn(n+1)2，logn(n-1)0,logn(n+1)0.logn(n-1)logn(n+1)2=22时,logn(n-1)logn(n+1)1.方法归纳在用放缩法证明不等式AB时，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定AC与CB同时成立，那么AB显然正确.所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B;反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.例5 若n是正整数，求证2.思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明.证明：,k=2,3,4,n.巧解提示实际上，我们在证明2的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想.例6 设a、b、c是三角形的边长，求证3.思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的.证明：由不等式的对称性，不妨设abc，则b+c-ac+a-ba+b-c,且2c-a-b0，2a-b-c0.-3=-1+-1+-1=0,3.方法归纳本题中为什么要将b+c-a与a+b-c都放缩为c+a-b呢？这是因为2c-a-b0，2a-b-c0，而2b-a-c无法判断符号，因此无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度.问题探究交流讨论探究问题 有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？探究过程:学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.学生甲：那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以.学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材.探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.思想方法探究问题 反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这