关于圆中常用的辅助线作法

关于圆中常用的几种辅助线有关圆的中考，题目变化灵活，在历年各地中考题中均占有较大比例。在解答与圆有关的题目时，常常需要作辅助线，以便在已知和结论之间“牵线搭桥”，从而使分散条件集中化，隐含条件明显化，难点分散简易化，达到解决问题的目的。1、有弦时，可从圆心作与弦垂直的线段；或连结半径。图1OABCEDFM例1：(2006广东)如图1，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。解析：解法1，有弦，可从圆心作与弦垂直的线段，用垂径定理。OE=OF。过点O作OMAB于点M，则AM=BM，又AE=BF，故EM=FM，从而OM垂直平分EF，所以OE=OF。解法2，此题也可利用全等来证明。连结半径OA、OB，则OA=OB，故A=B，又AE=BF，所以AOEBOF(SAS)，由此OE=OF；本题源于课本，巧妙地加以变化，成了一道开放性试题，学生解题时因为有基础铺垫，既增加了自信，又可以提高数学素养。2、遇到直径时，可作直径所对的圆周角。例2：(2006烟台)如图2，从O外一点A作O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且O直径BD=6，连结CD、AO。求证：CDAO；图2OACBDE设CD=，AO=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。解析：有直径，可作直径所对的圆周角得直角。连结BC交AO于点E。AB、AC是O的切线，AB=AC，CAO=BAO，AOBC，BEO=90，BD是O的直径，BCD=90，BCD=BEO ，CDAO；CDAO，D=AOB，AB是O的切线，BD是直径，BCD=ABO=90BCDABO，BDAO=CDBO，6y=x3，y=，0x6。ADCBOxy图33、遇到90圆周角时，常连结两弦没有公共点的另一端点。例3：如图3，C经过原点O，并与两坐标轴交于点A、D，已知ABO=30，点D的坐标为(0，)，求点A与圆心C的坐标。解析：有90的圆周角，故连结直径AD，构造RtADO。连结AD，AOD=90，AD为C直径，又ADO=ABO =30，OA=ODtan30=1，点A坐标为(0，1)，又AD为C直径，且点D的坐标为(0，)，点C的坐标为(，)。AOCBE图44、当要判断过圆上一点的直线与圆是否相切时，一般方法是连结经过这点的半径，再证这条直线是否与所作半径垂直。例4：(2006福建南平)如图4，AB是O的弦，交OE于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，此时，直线BE与O有怎样的位置关系？请说明理由。解析：点B在圆上，故可连结半径OB，证EBO=90即可。BE与O相切。理由：连结OB，CE=BE，EBC=ECB=ACO，OCOA，ACO+A=90，EBC+A=90，OA=OB，OBA=A，EBC+OBA=90，即EBO=90，BE与O相切。EADBCO图55、在判断一条直线是否为圆的切线时，若直线与圆有无公共点不确定时，则过圆心作已知直线的垂线段，再看它是否等于圆的半径；例5：如图5，已知ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB切于点D，试猜想：AC与O的位置关系。解析：猜想AC与O相切。但切点不明，故过圆心O作AC的垂线段，再证它等于圆的半径。过点O作OEAC于点E，连结OD、OA，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO平分BAC，O与AB切于点D，ODAB，又OEAC，OE=OD，又OD为圆的半径，AC与O相切。6、当两圆相切时，常作公切线。CO1ADBO2图6例6：如图6，O1和O2外切于点A，BC和两圆都相切，点B、C为切点，问AB与AC有怎样的位置关系？解析：当两圆相切时，常作两圆的公切线。用切线长定理。ABAC。过点A作两圆的公切线AD交BC于点D，又BC和两圆都相切，BD=AD=CD，ABD=BAD，ACD=CAD，又ABD+BAD+ACD+CAD=180，BAD+CAD=90。即BAC=90，ABAC。A图7O1FEDCBO27、当两圆相交时，常作公共弦。例7：如图7，在ABC中，BAC的平分线与BC和ABC的外接圆O1分别交于点D、E，延长AC交过D、E、C三点的圆O2于点F，求证：EF2=EDEA。解析：欲证EF2=EDEA，需证EF、ED、EA所在的两个相似，观察图形，它们分别在AEF和FED中，故要连结FD，而连结公共弦CE可将两圆中的圆周角联系起来，从而证角相等。AD平分BAC，BAE=CAE，又BAE=BCE=DFE，CAE=DFE，又AEF=FED，AEFFED，EFED=EAEF，EF2=EDEA。辅助线的作法是多样的，关键是要结合题目已知条件和图形的特征，联想与之有关的知识点，巧妙构造图形，实现转化。所以，中考备考和复习，还是要注重基础知识的落实，关注基本技能和基本方法；注重数学知识之间的联系，提高解决问题的能力。课后提高：练1、已知ABC内接于O，过点A作直线EF。如练图1所示，AB为直径，要使得EF是O的切线，还需要添加的条件是(只需任写一种)。如练图1所示，AB为非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线。如练图1所示，若延长BC交EF于点E，CAE=B，则EF是O的切线吗？AEFCBO练图1EFAOBC练图1DEFAOBC练图1D提示：、如CAE=B或BAF=C或EFAB于点A。、由联想到，作直径AD，并连结CD，可得CAD+D=90，又D=B，CAE=B，CAD+CAE=90，即DAE=90，EF是O的切线。、EF是O的切线。过点A作直径AD，连结CD，AD为直径，ACD=90，CAD+D=90，CAE=B=D，CAD+CAE=90，即DAE=90，EFAD于点A，又AD为直径，EF是O的切线。练2、如练图2，已知：以RtABC的直角边AB为直径作O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE。O练图2CEBDA如图所示，观察猜想DE是O的切线吗？并证明你的结论；连结OE，当CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并说明理由。提示：观察猜想DE是O的切线。证明：如图，连结OD、DB。AB是O的直径，CDB=ADB=90，又BE=CE，DE=BE，又OD=OB，OE=OE，ODEOBE(SSS)。ODE=OBE=90，DE是O的切线。当CAB=45时，四边形AOED是平行四边形。理由：CE=BE，AO=BO，OEAC。又CAB=45，ABC=90，C=45，AB=BC，AD=DC。又CE=BE，DEAB。四边形AOED是平行四边形。练3、如练图3，直径为13的O1经过原点O，并且与轴、轴分别交于点A、B，线段OA、OB(OAOB)的长分别是方程2+kx+60=0的两个根。求线段OA、OB的长；练图3AOBO1CDExy已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求点C的坐标；提示：这是圆和代数知识相结合的典型题。根据一元二次方程的根与系数的关系求出k，再求得OA、OB的长。连结AB，OA、OB的长分别是方程2+kx+60=0的两个根。OA+OB=k，OAOB=60，OAOB，AB是O1直径，OA2+OB2=169，又OA2+OB2=(OA+OB)22OAOB，169=(k)2260，解得k=17或17，OA+OB0，k0，故k=17，于是方程为217x+60=0，解方程得OA=12，OB=5。由圆的知识求出几条线段的关系，从而求出点C的坐标。连结O1C交OA于点E，OC2=CDCB，即OCBC=CDCO，又OCB=DCO，OCDBCO，COD=CBO，弧AC=弧OC，O1COA且平分OA，OE=OA=6，O1E=OB=2.5，CE= O1C O1E=4，点C的坐标为(6，4)。E练图4O1DCFABO2P练4、如练图4，O1与O2相交于点A、B，过A的直线交O1于点C，交O2于点D，P为CD的中点，O1的弦BE过点P与O2交于点F。试判断线段CE与DF的关系，并证明你