数学建模题目

1、山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200=x=4000,1200=y=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。36003200280024002000160012001480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 9801500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 15501500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 10701500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 10101390 1500 1500 1400 900 1100 1060 9501320 1450 1420 1400 1300 700 900 8501130 1250 1280 1230 1040 900 500 700Y/x1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 方法一：利用插值的方法，绘制山区的地貌图和等高线，采用了5种插值方法，分别是最邻近插值、线性插值、三次样条插值、立方插值、分段线性插值，得到如图1-5所示的图像：图1 最邻近插值地貌图（左），等高线（右）图2 线性插值地貌图（左），等高线（右）图3 三次样条插值地貌图（左），等高线（右）图4 立方插值地貌图（左），等高线（右）图5 分段线性插值地貌图（左），等高线（右）比较由以上五种插值方法得到的地貌图和等高线图，可以看出，由于两个高度之间直线为最短距离，因此利用最邻近插值得到的地貌图和等高线为直线，描述的山地地貌为陡崖 ，对于一般山区的地貌是不符合的；分段线性插值得到的图像随着分段数目的增多，而更加平缓，棱角更加不明显；利用线性插值、三次样条插值和立方插值所得到的图像，较为平滑，更加适合描述该区山地的地貌。图像绘制程序：x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;15001200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;15001200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;15001550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;14801500 1550 1510 1430 1300 1200 980;figure(1);meshz(x,y,z)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(网格面)xi=1200:40:4000;yi=1200:40:3600;figure(2)z1i=interp2(x,y,z,xi,yi,nearest);%最邻近插值% subplot(1,2,1),surfc(xi,yi,z1i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)title(最邻近插值)% subplot(1,2,2),contour(xi,yi,z1i,10,r);figure(3)z2i=interp2(x,y,z,xi,yi);% subplot(1,2,1),surfc(xi,yi,z2i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%分段线性插值title(分段线性插值)% subplot(1,2,2),contour(xi,yi,z2i,10,r);figure(4)z3i=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);surfc(xi,yi,z3i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%立方插值title(立方插值)figure(5)z4i=interp2(x,y,z,xi,yi,spline);surfc(xi,yi,z4i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%三次样条插值%title(三次样条插值)figure(6)z5i=interp2(x,y,z,xi,yi,linear);surfc(xi,yi,z4i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%线性插值title(线性插值)figure(7)subplot(3,2,1),contour(xi,yi,z1i,10,r);subplot(3,2,2),contour(xi,yi,z2i,10,r);subplot(3,2,3),contour(xi,yi,z3i,10,r);subplot(3,2,4),contour(xi,yi,z4i,10,r);subplot(3,2,5),contour(xi,yi,z5i,10,r);%comparefigure(8)contour(xi,yi,z1i,10,r)title(最邻近插值)figure(9)contour(xi,yi,z2i,10,r)title(分段线性插值) figure(10)contour(xi,yi,z3i,10,r)title(立方插值)figure(11)contour(xi,yi,z4i,10,r)title(三次样条插值)figure(12)contour(xi,yi,z5i,10,r)title(线性插值) 方法二：针对绘制等高线和地貌图的问题，使用 Matlab中的contourf命令绘制等高线，surf命令绘制带阴影的三维曲面图，得到地貌图，如图 6所示的地貌图和平面等高线： 图 6 山区地貌图（左），等高线图（右）（1）等高线绘制程序：clc;clf;clear; x=1200:400:4000; y=1200:400:3600; z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;15001200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;15001200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;15001550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;14801500 1550 1510 1430 1300 1200 980; hold on c=contourf(x,y,z,10);clabel(c)（2）地貌图绘制程序：clc;clf; x=1200:400:4000; y=1200:400:3600; z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;15001200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;15001200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;15001550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;14801500 1550 1510 1430 1300 1200 980; figure surf(x,y,z),view(50,30),hold on2、假定某地某天的气温变化记录数据见下表，误差不超过0.5，试找出其这一天的气温变化规律。时刻/h012345678910111213温度/1514141414151618202223252831时刻/h1415161718192021222324温度/3231292725242220180716对的温度进行分析，采用多项式拟合的数学方法，建立温度和时刻的模型，利用Matlab编写程序求得多项式方程为： 拟合所得图像如图7所示：图7 温度-时间拟合曲线由图像可以看出，在内，温度变化较平缓，在左右；在温度处于上升阶段，在出现最高温度；从处于下降阶段，其中在时出现了低温7 。程序：x=0:1:24;y=1514141414151618202223252831 32 31292725242220180716;plot(x,y,r*)hold ona=polyfit(x,y,5);z=a(1)*x.5+a(2)*x.4+a(3)*x.3+a(4)*x.2+a(5)*x+a(6);plot(x,z)grid;hold off3、财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造回归预测模型，并利用1982-1990的数据验证模型。年份国民收入（亿元）工业总产值(亿元)农业总产值（亿元）总人口（万人）就业人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入(亿元)195259834946157482207294418419535864554755879621364892161954707520491602662183297248195573755852961465223289825419568257155566282823018150268195783779857564653237111392861958102812355986599426600256357195911141681509672072617333844419601079187044466207258803805061961757115643465859255901382711962677964461672952511066230196377910465146917226640852661964943125058470499277361293231965115215816327253828670175393196613221911687745422980521246619671249164769776368308141563521968118715656807853431915127303196913722101688806713322520744719701638274776782992344323125641971178031567908522935620355638197218333365789871773585435465819731978368485589211366523746911974199336968919085937369393655197521214254932924213816846269219762052430995593717388344436571977218949259719497439377454723197824755590105896259398565509221979270260651150975424058156489019802791659211949870541896568826198129276862127310007273280496810 首先，以国民收入 、工业总产值 、农业总产值 、总人口 、就业人口 、固定资产投资 的数据为全部自变量，采用最小二乘法拟合一个多元回归模型，有这个回归模型的复判定系数，调整复判定系数。模型的剩余标准差为32.3848。 对模型进行 检验： 。 对各参数进行 检验的结果见表1:常量检验值1.18513.3824-0.4746-2.65780.3885-1.87161.6743表 1 6个自变量模型的检验结果由上述结果得到： 检验通过，复判定系数与调整复判定系数的差距不大；但在t 检验中有若干自变量对y 的解释作用不明显，在此采用逐步回归的方法对自变量集合进行调整。利用Matlab统计工具箱中用作逐步回归的命令stepwise，进行统计分析，得到如图所示的结果：图1 逐步回归分析结果由上图可以看出：红色表明从模型中移去的变量为、，移除这三个变量后，再利用最小二乘法拟合一个多元回归模型，有这个回归模型的复判定系数，调整复判定系数。模型的剩余标准差为32.3934。 对模型进行 检验： 两个回归模型相比较，得到：后者的复判定系数与调整复判定系数的差距更小，与实际更加符合，因此所做的调整是有意义的，对于预测更加有利。数据没有找全，没法预测检验。年份国民收入（亿元）工业总产值(亿元)农业总产值（亿元）总人口（万人）就业人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入(亿元)19825331238317771016541200121219835986264619781030081369136719847244310623161043571833164319859041386725641058512543200519861027444932789107507312121221987120515252323310930037922199198815037658738651110264754235719891700172784266112704441026651990187187717506211433345172937表 2 19821990年财政收入数据年份198219831984198519861987198819891990实际财政收入121213671643200521222199235726652937预测财政收入预测与实际之差平均值方差（1）多元回归模型建立的程序：clc,clear load data.txt %表中的数据按照原来的排列存放在纯文本文件data.txt中 n,m=size(data);m=m-1; x=ones(30,1),data(:,1:6); y=data(:,7); b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) %stats(4)返回的是残差的样本方差 r2=stats(1) %提出复判定系数 ad_r2=1-(1-r2)*(n- 1)/(n-m-1) %计算调整复判断系数 f=stats(2) %提出F统计量 tm=inv(x*x); %计算X*X的逆矩阵 tm=diag(tm); %提出逆矩阵的对角线元素 rmse=sqrt(stats(4) %计算剩余标准差（残差的样本标准差） t=b./sqrt(tm)/ rmse %求t统计量的值（2）逐步回归分析程序：clc,clear x0=195259834946157482207294418419535864554755879621364892161954707520491602662183297248195573755852961465223289825419568257155566282823018150268195783779857564653237111392861958102812355986599426600256357195911141681509672072617333844419601079187044466207258803805061961757115643465859255901382711962677964461672952511066230196377910465146917226640852661964943125058470499277361293231965115215816327253828670175393196613221911687745422980521246619671249164769776368308141563521968118715656807853431915127303196913722101688806713322520744719701638274776782992344323125641971178031567908522935620355638197218333365789871773585435465819731978368485589211366523746911974199336968919085937369393655197521214254932924213816846269219762052430995593717388344436571977218949259719497439377454723197824755590105896259398565509221979270260651150975424058156489019802791659211949870541896568826198129276862127310007273280496810; x=x0(:,2:7); y=x0(:,8); stepwise(x,y,1:6)4、某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库卷。当前银行存款及各期国库卷的利率见下表。假设国库卷每年至少发行一次，发行时间不定。 银行存款税后年利率(%)国库卷年利率(%)活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年及n=12年给出具体结果：（1）只存款不购国库卷；（2）可存款也可购国库卷；（3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他年度多20%以 代表第年第 种投资方式投资的金额数目（以万元计），其中 代表存款数目，代表国库券数目，代表第年末得到的本息和， 代表第年发的奖金额，由于每一年的奖金额大致相同，在此取，为常数。假设该校每年的1月1日发奖金，且存款等都是1月1日进行的。（1）只存款不购国库卷以奖金额最大为目标函数，其约束条件有： 起初各种投资方式之和为 ，即 每一年得到的本息和，全部用于再次投资和奖金，即 第年末仍保留原基金数额，即。所以可以得到目标规划为：当M=5000万元， 年时，用lingo数学软件编程计算得到如下结果：万元，具体每一年各种投资方式的投资金额如下表所示：1活期2半年期3一年期4二年期5三年期6五年期第0年00396.7621200.4946195.61404207.129第1年0000195.614098.47287第2年0000098.47287第3年0000098.47287第4年0000098.47287第5年000004581.974第6年000000第7年000000第8年000000第9年000000表 1 n=10时，存款方式及金额当时，万元，具体的投资方式及金额为：1活期2半年期3一年期4二年期5三年期6五年期第0年00474.56794150.110191.9997183.3225第1年0000191.9997183.3225第2年000004203.678第3年0000096.65341第4年0000096.65341第5年000096.65341第6年0000096.65341第7年000004580.154第8年000000第9年000000第10年000000第11年000000表2 n=12时，存款方式及金额（2）可存款也可购国库券根据基本原则, 由于国库券的利率更大，我们应优先考虑买国库券。与（1）类似，进行目标规划，建立数学模型，lingo求解。n=10时，万元，具体的投资金额为：01234567891活期00000000002半年期00000000003一年期277.01260000000004两年期00000000005三年期00000000006五年期00000000007两年国库券260.50200000000008三年国库券490.7406135.14110259.500200135.14110009五年国库券3971.7450126.9298126.929804448.4510000表3 n=10时，存款及国库券各年投资金额时，万元，具体的投资金额为：012345678910111活期0000000000002半年期0000000000003一年期1095.00600000000005481.8424两年期0000000000005三年期0000000000006五年期0000000000007两年国库券1029.741000000000008三年国库券1939.853135.141101025.78100534.2004000009五年国库券935.39990501.7421501.74210501.74215239.72200000表4 n=12时，存款及国库券各年投资金额（3）第三年奖金高于其他年20%类似于（2），只是在第三年的奖金额为，其他条件不变，得到每年奖金额为：135.7854万元。投资方案如下表：年份01234567891活期00000000002半年期00000000003一年期271.2172000000271.2172004两年期00000000005三年期00000000006五年期00000000007两年国库券255.0520000000255.0520008三年国库券506.9365132.31380254.071200132.3138506.9365132.313809五年国库券3966.7940124.2743124.274304445.79503966.7940124.2743表5 第三年奖金高于其他年份，n=10时的投资方案当n=12时，得到万元，具体的投资方案如下表所示：012345678910111活期0000000000002半年期0000000000003一年期1072.09700000000005469.9124两年期0000000000005三年期0000000000006五年期0000000000007两年国库券1008.198000000000008三年国库券2003.875523.024401004.32000523.0244000009五年国库券915.83040491.2452491.24520491.24525218.91300000表6第三年奖金高于其他年份，n=12时的投资方案lingo编写的程序为：(1).model:sets:var/z,x01,x02,x03,x05,x06,x11,x12,x13,x15,x16,x21,x22,x23,x25,x26,x31,x32,x33,x35,x36,x41,x42,x43,x45,x46,x51,x52,x53,x55,x56,x61,x62,x63,x64,x65,x71,x72,x73,x74,x75,x81,x82,x83,x84,x91,x92,x93/;endsetsmax=z; x01 + x02 + x03 + x05+x06 =5000; x11 + x12 + x13 + x15 +x16- 1.00792*x01-1.01664*x02-1.018*x03+z = 0; x21 + x22 + x23 + x25+x26 - 1.01944*x04- 1.018*x13- 1.00792*x11-1.01664*x12+ z = 0; x31 + x32 + x33 + x35 +x36- 1.02160*x05 - 1.01994*x14- 1.00792*x21-1.01664*x22-1.018*x23+ z = 0; x41 + x42 + x43 + x45+x46 - 1.00792*x31-1.01664*x32-1.018*x33-1.01994*x24-1.02160*x15+ z = 0; x51 + x52 + x53 + x55+x56 - 1.00792*x41-1.01664*x42-1.018*x43-1.02304*x06-1.01944*x34-1.02160*x25+ z = 0; x61 + x62 + x63+x64+x65 - 1.00792*x51-1.01664*x52-1.018*x53-1.02304*x16-1.01944*x44-1.02160*x35+ z = 0; x71 + x72 + x73 +x74+x75- 1.00792*x61-1.01664*x62-1.018*x63-1.02304*x26-1.01944*x54-1.02160*x45+ z = 0; x81 + x82+x83+x84- 1.00792*x71-1.01664*x72-1.018*x73-1.02304*x36-1.01944*x64-1.02160*x55+ z = 0; x91 +x92+x93- 1.00792*x81-1.01664*x82-1.018*x83-1.02304*x46-1.01944*x74-1.02160*x65+ z = 5000;z5000;end(2) model:max=z;X11+Y12+Y13+Y15=5000;X21+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;X31+Y32+Y33+Y35=1.051*Y12+1.018*X21-z;X41+Y42+Y43+Y45=1.0867*Y13+1.051*Y22+1.018*X31-z;X51+Y52+Y53+Y55=1.0867*Y23+1.051*Y32+1.018*X41-z;X61+Y62+Y63+Y65=1.157*Y15+1.0867*Y33+1.051*Y42+1.018*X51-z;X71+Y72+Y73=1.157*Y25+1.0867*Y43+1.051*Y52+1.018*X61-z;X81+Y82+Y83=1.157*Y35+1.0867*Y53+1.051*Y62+1.018*X71-z;X91+Y92=1.157*Y45+1.0867*Y63+1.051*Y72+1.018*X81-z;X101=1.157*Y55+1.0867*Y73+1.051*Y82+1.018*X91-z;5000=1.157*Y65+1.0867*Y83+1.051*Y92+1.018*X101-z;endmodel:max=z;X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06394*Y12-z;X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06394*Y22+1.10008*Y13-z;X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06394*Y32+1.10008*Y23-z;X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06394*Y42+1.10008*Y33+1.17125*Y15-z;X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06394*Y52+1.10008*Y43+1.17125*Y25-z;X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06394*Y62+1.10008*Y53+1.17125*Y35-z;X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06394*Y72+1.10008*Y63+1.17125*Y45-z;5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06394*Y82+1.10008*Y73+1.17125*Y55-z;endmodel:max=z;X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06856*Y12-z;X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06856*Y22+1.10486*Y13-z;X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06856*Y32+1.10486*Y23-z;X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06856*Y42+1.10486*Y33+1.17633*Y15-z;X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06856*Y52+1.10486*Y43+1.17633*Y25-z;X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06856*Y62+1.10486*Y53+1.17633*Y35-z;X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06856*Y72+1.10486*Y63+1.17633*Y45-z;5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06856*Y82+1.10486*Y73+1.17633*Y55-z;End(3)model:max=z;X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06856*Y12-1.2*z;X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06856*Y22+1.10486*Y13-z;X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06856*Y32+1.10486*Y23-z;X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06856*Y42+1.10486*Y33+1.17633*Y15-z;X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06856*Y52+1.10486*Y43+1.17633*Y25-z;X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06856*Y62+1.10486*Y53+1.17633*Y35-z;X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06856*Y72+1.10486*Y63+1.17633*Y45-z;5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06856*Y82+1.10486*Y73+1.17633*Y55-z;endmodel:max=z;X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06394*Y12-1.2*z;X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06394*Y22+1.10008*Y13-z;X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06394*Y32+1.10008*Y23-z;X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06394*Y42+1.10008*Y33+1.17125*Y15-z;X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06394*Y52+1.10008*Y43+1.17125*Y25-z;X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06394*Y62+1.10008*Y53+1.17125*Y35-z;X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06394*Y72+1.10008*Y63+1.17125*Y45-z;5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06394*Y82+1.10008*Y73+1.17125*Y55-z;endmodel:max=z;X11+Y12+Y13+Y15=5000;X21+Y22+