张量分析(本科)

张量分析初步,第一节指标符号,第二节张量的定义和代数运算,第三节张量分析,问题的提出,自然法则与坐标无关。坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质；并且相关表达式冗长。,如何解决?,引入张量方法,A1指标符号,下标符号i称为指标；n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xi,记作,指标的取值范围如不作说明，均表示从13,定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标,xi（i=1,2,3）x1，x2，x3x,y,zui（i=1,2,3）u1，u2，u3u,v,w,一若干约定哑标和自由标,1.Einstein求和约定,凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：,又如：,重复不止一次的指标，求和约定失败,求和约定仅对字母指标有效，如,同一项内二对哑标应使用不同指标，如,注意：,1,2,3,4,哑标可以换用不同的字母指标,2.求导记号的缩写约定,k,3.自由标,定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如,j为自由标,j=1,注意：,同一个方程中各项自由标必须相同,不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变,1,2,wrong,right,如：,二克罗内克（Kronecker-）符号,定义：,由定义,性质：,三Ricci符号,定义：,即：,共27个分量，亦称为排列符号、置换符号,A2张量的定义和代数运算,说明,任意矢量可以表示为基矢量的线性组合,1,2,基矢量不是唯一的,1.矢量的基本运算,(1)点积,基矢量点积,任意两矢量的点积,1,2,1,(2)叉积,基矢量的叉积,由于,特别地：,（比较：,）,两个任意矢量的叉积,2,(3)混合积,基矢量混合积,故也有定义,1,矢量混合积,表示的是以为边长的平行六面体的体积。,2,(4)并矢（并乘）,定义：,展开共9项，可视为并矢的基,为并矢的分解系数或分量,2.平面笛卡儿坐标系的旋转变换,为正交矩阵,引用指标符号：,由,又,说明,1,基矢量具有与坐标分量相同的变换规律,2,矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律,3.三维情况,考虑一位置矢量,同理,同二维问题，可得,（正交性）,可试证：,4.张量定义,定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量,自由标数目n张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。,采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）,可写成上式的量也称为张量（第二种定义）,讨论,1,2,上述表达式具有不变性特征；,张量分量与坐标系有关；,3,在坐标变换时遵循相同的变换规律,5.矢量与张量的点积（张量代数的一部分）,1,2,左点乘：,右点乘:,点乘得到的新张量比原张量低一阶,A3张量分析,一.梯度、散度、旋度,力学中：,几何方程与位移场的梯度有关,转动量与位移场的旋度有关,平衡方程与应力场的散度有关,1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子),梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示为:,可以证明,Hamilton算子具有张量的属性,相当于一阶张量。,2、梯度,1,标量场,为一阶张量矢量,2,张量场,（1）左梯度,（2）右梯度,3、散度,1,矢量场,为一标量,2,张量场,（1）左散度,（2）右散度,4、旋度,1,矢量场,2,张量场,（1）左旋度,（2）右旋度,二.高斯Gauss公式,式中，S是空间体积的封闭边界面，