2026年高考数学一轮复习策略《指向深度学习的高中数学教学策略》讲座

指向深度学习的高中数学教学策略---深度学习，本质探究一、高考改革的时间脉络与主题线索；二、

《中国高考评价体系》与关键能力；三、深度学习，本质探究之关键能力；1.整体设计；

2.横向联系；3.纵向探究；

4.本质拓展。深度学习，本质探究!!!!聚焦核心素养考查关键能力创设情境发挥育人作用

深化基础考查核心素养深入考查基础知识和能力

助力人才选拔和

"双减"落地优化试卷结构设计

突出思维能力考查

高考改革的时间脉络与主题线索教育部教育考试院历年高考数学试题评价!以评价体系引领内容改革

以科学情境考查关键能力2024年!突出实践性和创新性

实现高考的选拨功能!加强理性思维考查

突出创新应用

2015年

2016年

2017年

!!!体现数学文化

突出实践能力以真情实景落实"五育并举"

以理性思维践行"立德树人"素养导向新举措

能力考查新突破2021年2020年2019年2018年2022年2023年新课标、新教材、新高考背景下高考数学试卷的变化2020年推出文理不分科的试卷结构，新增了多选题；一把尺子量学生，增加区分度。2024年再次优化，题量由22道降至19道，减少了耗时较多的多项选择题和较难得分的填空题数量。解答题总分由

70分增加到77分；强化思维过程和思维能力的考查。2024年新课标I卷将以往作答简单的数列内容与新情境结合，安排在压轴题的位置，难度大幅提高，将以往作为压轴题的函数导数大题安排到解答题的第

2题，

难度大幅下降。避免僵化的试卷模式。

高考改革的时间脉络与主题线索新课标、新教材、新高考背景下高考数学试卷的变化2024年高考数学结束后，不少教师基于猜题押题的心理，要求学生反复练习“新定义题”，然而，2025年全国一卷压轴题却是以必修内容中三角函数为基础设

计的试题。高考试题创新大大降低了机械刷题的分数收益。试卷与试题的反套路设计，避免大家猜猜猜。

高考改革的时间脉络与主题线索

高考改革的时间脉络与主题线索教育部教育考试院2025年高考数学试题评价解：设2

+

log2

x=3

+

log3

y=5

+

log5

z=k

，则ln

x

=(k-

2)ln

2，

ln

y

=

(k-

3)ln

3

，ln

z

=

(k-

5)ln

5

.构造与批判性思维当k<k1

时，x

>

y

>

z

；当k1

<

k<

k2

时，

y>x>z

；

f

(k

)

=

(k

-

2)ln

2

高考改革的时间脉络与主题线索

问题：（2025全国一卷，8）若实数x,

y,

z满足2

+

log2

x=

3

+

log3

y=5

+

log5

z，则x,

y,

z当k2

<

k

<

k3

时，y

>

z

>

x

；

f

(k

)

=

(k

-

3)ln

3当k>k3

时，

z>y>

x.的大小关系不可能是（

B）A

．x>y>z

B

．x>z>

y

C

．y>

x>z

D

．y>z>

xk

=

k2f

(k

)=

(k-

5)ln

5k

=

k3k

=

k1问题：（2025全国一卷，11）（多选）已知

ΔABC

的面积为

，

若

则（ABC）因为

所以

所以A

=

15

,

B

=

75

,

C

=

90

，

由

，得

，所以c2

=2.

sin

75A√.

sinC

=sin2

A

+

sin2

B

AB

=

数学直觉与洞察b力

c特殊到一般

高考改革的时间脉络与主题线索AC2

+

BC2

=

3B√.D．C

a

BA15。75。BC

//AD

，

AB

丄

AD

．

（I）证明：平面PAB

丄

平面PAD

；(Ⅱ)若AD

=

+1

，BC

=

2

，P,

B,

C,

D在同一个球面上，设该球面的球心为O

．（i）证明：

O

在平面ABCD上；

合情推理与直观想象（ii）求直线AC

与直线PO所成角的余弦值．

证明：因为

所以点O在AD

上，解得x=1.当x=1

时，

由cos

上CAD=sin上所以设OA=

x，

则

●

问题：（2025全国一卷，17）如图所示的四棱锥P-

ABCD

中，PA丄

平面ABCD

，

高考改革的时间脉络与主题线索O的球心为O．（ii）求直线AC

与直线PO所成角的余弦值．

由

知

设直线AC

与直线PO所成的角为α

,

（对角线向量定理）则

直观想象

高考改革的时间脉络与主题线索

第17题.如图所示的四棱锥P—

ABCD

中，PA

丄

平面ABCD

，BC

//AD，AB丄AD

．

若

在同一个球面上，设该球面●OE问题：（2025全国一卷，19）（I）求函数f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在区间

的最大值；(Ⅱ)

给定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，证明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)设b∈R

，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)

b

对x∈R恒成立，求b

的最

小值．

高考改革的时间脉络与主题线索

高考改革的时间脉络与主题线索

.：因（I为）

,

f—

5(

i

n

2x

，的最大值；

由

得

因此sin

2x>

0

，从而

时

函数f单调递增；

时

函数f

单调递减.

理算推运辑学逻数si间3x区cos在0x155sin

5xos

x

—

cn

x)

=sx(x函f求方法第19

高考改革的时间脉络与主题线索

第19题.

（I）求函数f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在区间

的最大值；

方法二：（I）因为cos

5x=

cos(x+

4x)=

cos

xcos

4x—sin

xsin

4x

=cos

x(8cos4

x

—8cos2

x

+1)—

4

cos

x

cos

2x

sin2

x=8cos5

x

—8cos3

x

+

cos

x

—

4

cos

x

(2

cos2

x

—1)(1—

cos2

x

)

=16

cos5

x—

20

cos3

x+

5cos

x，

所以f

(x)

=5cos

x

—

(16

cos5

x

—

20

cos3

x+

5cos

x)

=20

cos3

x

—16

cos5

x=

4

cos3

x

(5

—

4

cos2

x)

≥

0

，从而

f

(x)=16

cos6

x

(5

—

4

cos2

x)

=

.

cos2

x

.

cos2

x

.

cos2

x.

(5

—

4

cos2

x

).

(5

—

4

cos2

x

)≤

.

,)

=

27.522理算推运辑学逻数当

时

由cos

x

是

上的上凸函数可知

问题：（2018全国I卷，理16）函数f

(x)

=

sin

2x

+

2sin

x

的最小值为

.

简解：当x∈

[0,π]

时，函数y=

sinx

是上凸函数，所以f

(x)

=

2sinx

+

sin2x

（I）求函数f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在区间

的最大值；

当

时，

cos

5x

≥

0

，故5cos

x—

cos

5x≤5cos

x≤5<3．数学构造理算推运辑学逻数

高考改革的时间脉络与主题线索第19题.方法三：下面按闭区间[a

—θ,

a

+θ]是否包含π

进行讨论，讨论的临界点为a=

π

—θ

与a=

π

+θ

.若π

—θ

≤

a≤

π

+θ

,则π

∈

[a

—θ,

a

+θ]，取y=

π

,则cosy

=

—1cosθ,

命题成立；

若0≤a<

π

—θ

,则θ

a

+θ

<

π

,

此时y=

cos

x

在区间[θ,

π

)

单调递减，取y=

a

+θ

,则cosy

cosθ,

命题成立；若π

+θ

<a<2π

,则π

<a—θ

<2π

—θ

,

此时y=

cos

x在区间(π,2π

—θ)

单调递增，取y=

a

—θ

,则cosy

=

cos

(a

—θ)

cos

(2π

—θ)

=

cosθ

,

命题成立．第19题.(Ⅱ)

给定θ

∈

(0,π)

和a∈R，证明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅱ)

由题意，问题等价于y∈

[a—θ,

a+θ]时，

(cosy)min

cosθ.

高考改革的时间脉络与主题线索因为y=

cos

x的最小正周期为2π

,

所以不妨设0≤a<

2π.数学概念

转化化归π

a

—θ

π

a

+θπ

x(Ⅱ)

给定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，证明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)设b∈R

，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)

b

对x∈R恒成立，求b

的最小值．(Ⅲ)

分析：令h

(x)

=

5cos

x—

cos

(5x+φ)．由5cos

x—

cos

(5x+φ)b

对x∈R恒成立，

高考改革的时间脉络与主题线索第19题.（I）求函数f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在区间

的最大值；若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

对x∈R

恒成立，则

m

(φ)

≤

b

.h

(x)

=

m

(φ)

，

问题的本质：

h

(x)}

≤

b

.转化化归

逻辑推理得

h

(x)

max

≤

b

．而(Ⅲ)设b∈R

，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x+φ)b

对x∈R恒成立，求b

的最小值．方法一：设g

(x)

=

5cos

x

—

cos

(5x

+φ)，由题意知

x∈R，存在φ

∈R

，不等式均成立，即

根据余弦函数的周期性，不妨设0≤

x<2π

,

0

≤

φ

<

2π.所以

则6x

+φ

=

π

+

2kπ

或4x

+φ

=

2kπ

（

k∈Z）时，

g

(x)

可能取得最大值.当6x

+φ

=

π

+

2kπ

,则g

(x)

=5cos

x

—

cos

(5x

+φ)

=5cos

x

—

cos

(—x+π

+

2kπ)

=6

cos

x

；当4x+φ

=2kπ

,则g

(x)

=5cos

x—

cos

(5x+φ)

=5cos

x

—

cos

(x

+

2kπ)

=

4

cos

x≤4.

高考改革的时间脉络与主题线索(Ⅲ)设b∈

R

，若存在φ

∈

R

使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

对x∈

R恒成立，求b

的最小值．当6x+φ

=

π

+

2kπ

,则g

(x)

=5cos

x—

cos

(5x+φ)

=5cos

x—

cos

(—x+

π

+

2kπ)

=6

cos

x

；当4x+φ

=2kπ

,则g

(x)

=5cos

x—

cos

(5x+φ)

=5cos

x

—

cos

(x

+

2kπ)

=

4

cos

x≤4.

令

若φ

∈

[0,

2π)

，则

因此

即

所以b

的最小值为3.

高考改革的时间脉络与主题线索(Ⅲ)设b∈

R

，若存在φ

∈

R使得5cos

x

-

cos

(5x+φ)b

对x∈

R恒成立，求b

的最小值．方法二：令gφ

(x)

=5cos

x

-

cos

(5x

+φ)

，若φ

=0

，则g0

(x)

=5cos

x

-

cos

5x=f

(x)

，由题意

由周期性与奇偶性，只需计算x∈

[0,π]

，g0

(x)

的最值）若φ

≠

0

，令

由

知彐

使得

.令

则

因为

综上，

所以

高考改革的时间脉络与主题线索(Ⅲ)设b∈

R

，若存在φ

∈

R使得5cos

x

-

cos

(5x+φ)b

对x∈

R恒成立，求b

的最小值．方法三：令gφ

(x)

=5cos

x

-

cos

(5x

+φ)

，若φ

=0

，则g0

(x)

=5cos

x

-

cos

5x=f

(x)

，由题意

由周期性与奇偶性，只需计算x∈

[0,π]

，g0

(x)

的最值）若φ

≠

0

，当

时

综上，

所以b

≥

3

.

高考改革的时间脉络与主题线索gφ

(x)

≥gφ

(x)

≥(π)gφ

|

因为maxx∈Rπ

-φ)

且maxx∈R5

,

.(gφ

|(

6

,(“一核”“四层”“四翼”为什么考？

立德树人、服务选才、引导教学；考什么？

必备知识、关键能力、学科素养、核心价值；怎么考？

基础性、综合性、应用性、创新性。

中国高考评价体系高考评价体系的创新主要体现在三个方面。一是在教育功能上，实现了高考由单纯的考试评价向立德树人重要载

体和素质教育关键环节的转变。二是在评价理念上，实现了高考由传统的“知识立意”“能力立意”

评价向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”综合评价的转变。三是在评价模式上，实现了高考从主要基于“考查内容”的一维评价

模式向“考查内容、考查要求、考查载体”三位一体评价模式的转变。---人民日报

中国高考评价体系必备

知识关键

能力学科

素养核心

价值

中国高考评价体系

---之“关键能力”立足本质领悟依托知识学习基于课程标准对标思维发展《中国高考评价体系》指出：“关键能力是指即将进入高等学校的学习者在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时，高质量地认识问题、分析

问题、解决问题所必须具备的能力.”具体的讲，关键能力是指学生对信息识别与加工、逻辑推理与论证、科学

探究与思维建模、语言组织与表达、独立思考与质疑（提出问题、开放作答、

合理论证）、批判性思维等.关键能力具有开放、发展的特点

，它不是一成不变的，它是随着具体问题与情境的变化而变化，有时候也随着思考问题的方式的变化而变化。

中国高考评价体系

---之“关键能力”关键能力：是不是就是解决数学问题的能力？词典：用数学知识解决数学问题过程中能发挥关键作用的能力。我的理解：“关键能力”首先必须是能力，同时必须是“关键的

”，更必须是“少而能的”：“有它就行，没它就不行”。Ai智能回答：高中数学的关键能力主要包括逻辑思维能力、空间想象能力、计算能力、应用能力、逻辑推理能力、数学建模能力和创新能力。

中国高考评价体系

---之“关键能力”对数学核心知识的理解与解决是发展数学关键能力的载体概念层面：对数学概念的深入理解，不仅知其然，更要知其所以然；运算层面：熟练掌握各种数学运算技巧，形成符合问题特征的计算能力；方法层面：掌握解决各种问题的通性通法和策略；思维层面：培养数学的思维方式，形成数学的直觉和洞察力。思维考查应对人工智能：人工智能时代已经来临，我们身在其中。人工智能技术正在以强大的创新性改变着我们的世界，学生在生活与学习中如何应对人工智能技术带来的挑战。高考未雨绸缪，

加强对逻辑思维能力、批判性思维能力和创新思维能力的考查力度，引导学生注重思维品质的提升

和语言表达的准确。

中国高考评价体系

---之“关键能力”

深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计

以解析几何为例一、重点内容直线与圆二、课程目标几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。三、内容概要2

个重要概念:倾斜角，斜率；

3

种位置关系:

点与圆，直线与圆，圆与圆；3

种重要方程:直线的方程，圆的标准方程，

5

个常用公式:斜率公式，两点间距离公式，点线距公式,

，

圆的一般方程；

线线距公式，

圆的弦长公式；3

种直线位置判定:平行，垂直，相交；

1

种重要方法:坐标法。

深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计

以解析几何为例一、重点内容圆锥曲线二、课程目标在直线与圆的基础上，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感

受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。三、内容概要3个重要概念：椭圆，双曲线，抛物线；

5条重要性质:范围，对称性，顶点，渐近线，离心率；8个标准方程：椭圆的标准方程（2个），

2种重要方法：坐标法，待定系数法。双曲线的标准方程（2个），抛物线的标准方程（4个）；学习建议1.画“思维导图”，找转化关系，构建条件与结论的关系；2.重视数学运算；3.分析几何条件的本质特性，选择适当的代数形式来表示，通常和斜率、点的

坐标等基本量有关，寻找解题思路；4.注意“一般问题特殊化”，重视几何性质的运用

．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计以解析几何为例2024

年2023

年2022

年2021

年2020

年2019

年2018

年2017

年全国

1

卷（甲）极点极线结

构面积的最值抛物线平均

几何性质，极

点极线彭赛列定理

与双切线处

理极点极线结

构抛物线的焦

半径椭圆的极点

极线结构斜率乘积为

定值过定点全国

2

卷（乙）极点极线极限观点，极

点、极线概念抛物线阿基

米德三角形基础定义椭圆第三定

义抛物线的焦

点弦定点问题全国

3

卷（丙）解析几何中

的全等型抛物线阿基

米德三角形椭圆的焦半

径抛物线的焦

点弦2025

年新课标Ⅰ卷面积计算线段长度之和的最值斜率之和为

0，直线斜率

为定值平面几何四

点共圆斜率乘积为

定值过定点长度乘积，动

点轨迹，距离

最大新课标Ⅱ

卷平面几何四

点共圆定值问题垂径定理，曲

线系方程椭圆焦点弦

半径仿射变换由三角形面

积求弦长深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计九年全国卷圆锥曲线解答题考点统计与研究数学运算算理的选择问题：（2025全国一卷，18）设椭圆

记A为椭圆下端点，B为右端点

且椭圆C

的离心率为

．（I）求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)已知动点P不在y轴上，R在射线AP

上，且满足

|

AR

|

.

|

AP|=

3

．（i）设P(m,

n)

，求

R

的坐标（用m,

n

表示）；（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR

的斜率为直线OP

的斜率的

3倍，

求|

PQ|的最大值．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计右端点．

(Ⅱ)已知动点P不在y轴上，

R在射线AP

上，且满足|AR

|.

|AP|=

3．（i）设P(m,

n)

，求

R

的坐标（用m,

n

表示）；简解：（i）设R(x0,

y0

)，

AR

=

tAP

，t>0

；由

得

又

，

数学运算算理的选择问题：（2025全国一卷，18）设椭圆C，记

A为椭圆下端点，

B为深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计（ii）设O为坐标原点，Q是C

上的动点，直线OR

的斜率为直线OP

的斜率的3倍，求|

PQ

|的最大值．简解

因为kOR

=

3kOP

，所以

解得m2

+

2

=

18.数学运算算理的选择问题：（2025全国一卷，18）设椭圆C，记

A为椭圆下端点，

B为右端点．

(Ⅱ)已知动点P不在y轴上，

R在射线AP

上，且满足|AR

|.

|AP|=

3．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计问题几何背景的挖掘1.焦半径公式；2.焦点弦的两大模型；3.垂径定理；4.椭圆抛物线的切线方程

与切点弦方程；5.弦长（线段）与面积的计算；6.向量方法；7.斜率乘积为常数的

定点定值问题；8.

圆锥曲线上的四点共圆问题（斜率之和为0）；9.抛物线的几何平

均性质；10.直线的参数方程；11.齐次化方法；12.阿基米德三角形；13.仿射变换；14.极点与极线等.深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计问题：（2024，全国新高考Ⅱ卷，19）已知双曲线C:

x2

y2

=m（m>0

），点P1

(5,

4)

在

C上，

k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点

（n=

2,3,...），过

1作斜率为k

的直线与C

的左支交于点Qn

1

，令

为Qn

1

关于y轴的对称点，记

的坐标为(xn,

yn

)

.（1）若

，求x2,

y2

；（2）证明：数列{xn

yn

}

是公比为

的等比数列；（3）设Sn

为Δ+1

+2

的面积，证明：对任意的正整数n

，

Sn

=

Sn+1.nPnPnPnPnPnPnP深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计Pn

1PnPn+1Pn+2Qn

1●问题：（2024，全国新高考Ⅱ卷，19）双曲线C:

x2

-

y2

=9，按照如下方式依次构造点

（n=

2,3,...），过

-1

作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1

，令

为Qn-1

关于y轴的对称点，记

的坐标为(xn,

yn

)

.设Sn

为Δ+1

+2

的面积，证明：对任意的正整数n

，nPnPnPnPnPnPnP分析：要证明Sn-1

=

SΔPn-1Pn

Pn+1

=

SΔPn

Pn+1Pn+2

=

Sn

.只需要证明

+1

//

-1

+2

.nPnPnPnP深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计Pn-1●PnPn+1Pn+2Sn

=

Sn+1.QnQn+1Qn-1由

得

由kPn—1Qn—1

=

kPnQn

=

kPn+1Qn+1

得kPn—1Qn—1

=

—kPn+2Qn

，因此

—1,

Qn—1,

Qn

,

+2

四点共圆，所以kQn—1Qn

=

—kPn—1Pn+2

.由Qn—1

(—xn,

yn

)

，有

因此，

kQn—1Qn

=

—kPn

Pn+1

.所以kPn

Pn+1

=

kPn—1Pn+2

，从而

+1

//

—1

+2

，

故Sn—

1

=

SΔPn—1Pn

Pn+1

=

SΔPn

Pn+1Pn+2

=

Sn

.nPnPnPnPnPnP问题：（2024，全国新高考Ⅱ卷，19）设Sn

为

+1

+2

的面积，证明：对任意的正整数n

，Sn

=Sn+1

.

设

(xn,

yn

)

，

Qn

(an,

bn

)，则

+1

(—an,

bn

)

，Qn+1

(an+1,

bn+1)

，

+2

(—an+1,

bn+1)nPnPnPnPnPnPPPn+1深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计Qn—1

●Qn

●Qn+1n—1●Pnn+2P●问题：（2024，全国新高考Ⅱ卷，19）已知双曲线C:

x2

y2

=m（m>0

），点P1

(5,

4)

在

C上，

k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点

（n=

2,3,...），过

1作斜率为k

的直线与C的左支交于点Qn

1

，令

为Qn

1

关于y轴的对称点，记

的坐标为(xn,

yn

)

.（1）若

，求x2,

y2

；（2）证明：数列{xn

yn

}

是公比为

的等比数列；（3）设Sn

为

+1

+2

的面积，证明：对任意的正整数n

，

Sn

=Sn+1.

还有，kQn

1Qn

=

kPn

Pn+1

.

nPnPnPnPnPnPnPPn+1kPn

Pn+1

=

kPn

1Pn+2

.本质分析：kPn

1Qn

1

=

kPn+2Qn

，

1,

Qn

1,

Qn

,

+2

四点共圆，所以kQn

1Qn

=

kPn

1Pn+2

.nPnP深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计Qn

1

●Qn+1Qn

●Pnn+2n

1PP●●2002年广东、河南、广西卷的第20题2005年湖北卷（理）第21题

2011年大纲卷（理）第21题2014年大纲卷（理）第21题

2016年四川卷（文）第20题问题：（2014

，全国大纲卷，理科第

21）已知抛物线

C：y2

=2px(p>0)的焦点为

F，直线y=4

与y轴的交点为

P，与

C

的交点为

Q，且|QF||

PQ

|．(Ⅰ)

求

C的方程；(Ⅱ)

过

F

的直线

l与

C相交于

A、B两点，若

AB

的垂直平分线l'

与

C交

于

M、N

两点，且

A

、M、B

、N四点在同一圆上，求

l

的方程．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计这样的题目你见过吗？圆锥曲线上四点共圆的充要条件拓展

1.设两条直线li

:

y—

y0

=ki

(x

—

x0

)（i=1,

2

）与二次曲线

Γ:

Ax2

+

By2

+

Cx

+

Dy+

E=0（A≠B

）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1

+

k2

=0

.拓展

2.若两条直线li

:

Aix

+

Bi

y+

Ci

=0

（

i=1,

2）与二次曲线

Γ:

ax2

+

by2

+

cx

+

dy+

e=0（a≠b）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是A1B2

+

A2B1

=0.拓展

3.若C1

:

ax2

+

by2

+

cx

+

dy+

e=0（a≠b）与C2

:

a,x2

+

b

2

+

c,x

+

dy,

+

e,

=0为两条二次曲线，它们有四个交点，则这四个交点共圆.深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计拓展

3.若C1

:

ax2

+

by2

+

cx

+

dy+

e=0（a≠b）与C2

:

a,x2

+

b

2

+

c,x

+

dy,

+

e,

=0为两条二次曲线，它们有四个交点，则这四个交点共圆.证明：过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式

(

λ,

u不同时为0）：λ(ax2

+

by2

+

cx+

dy

+

e)+

μ(a,x2

+

b

2

+

c,x

+

dy,

+

e,)=0

①令

μ=1时，再令式①左边的展开式中含x2

,

y

2

项的系数相等，得

此时曲线①即x2

+

y2

+

c,,x

+

d

,y,+

e,,

=0②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.深度学习，本质探究

---

“关键能力”之整体设计问题（2025全国一卷，14）一个箱子里有5个球，分别以1

~5

标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数X

，则E(X

)

=

．方法一：

由题意每个球每次被取出的概率均为

，取到球的情况有三种，一是三个球都是同一个编号，二是仅有两个球的编号相同，三是三个球的编号均不相同，

分别对应X的三个可能取值为

1

，2

，3，

深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系X

=

X1

+

X2

+

X3

+

X4

+

X5

，从而E(X)=

E

(X1

)+

E(X2

)

+

+

E(X5

)

，因为每个球被抽中的概率是一样的，所以E(Xi

)

=

E

(Xj

)（i

≠

j

，i,

j

=

1,

2,3,

4,5），每次抽球有

的概率抽到一个球，所以一次不

抽中它的概率为

，三次都没抽中它的概率是：

P

(球i从未被抽中

因此P

(球i至少被抽中一次

从而

所以

问题（2025全国一卷，14）一个箱子里有5个球，分别以1

~5

标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数X

，则E(X

)

=

．方法二：对每个球i

=

1,

2,3,

4,5

，定义随机变量：

深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系若球i至少被抽中一次球i不满足至少被抽中一次,

那么问题（2025全国一卷，14）一个箱子里有5个球，分别以1

~5

标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数X

，则E(X

)

=

．示性函数：设S为某个集合，A

S

是它的一个子集，对s∈

S

，令

那么IA

(s)

就从数值上告诉我们，元素s是否属于子集A，

故将之称为子集A的示性函数．

在概率问题中，S就是全事件（通常把全事件写作

Ω),而

A则是我们所关心的随机事件．

在这里，IA

是一个只取

0或

1两个值的随机变量．并且当IA

=

1

时表示事件A发生；而当IA

=

0时表示事件A不发生．易知EIA

=

P

(A)

．示性函数在概率论中运用得很多，最重要的一种运用就是帮助我们计算随机变量的期望．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系问题：（2025全国高考一卷，19）（I）求函数f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在区间

的最大值；(Ⅱ)

给定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，证明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)设b∈R，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

对x∈R恒成立，求b

的最小值．

问题：（2007浙江卷，理

22）设

对任意实数

．(Ⅰ)

求函数y=

f

(x)—

g8

(x)的单调区间；(Ⅱ)

求证:（i）①当x>

0时，f

(x)ga

(x)对任意

正实数a成立；（ii）有且仅有一个正实数x0

，使得g8

(x0

)

ga

(x0

)对任意正实数a成立．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系问题：（2025全国高考一卷，19）（I）求函数f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在区间

的最大值；(Ⅱ)

给定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，证明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)设b∈R，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

对x∈R恒成立，求b

的最小值．问题：（2015年

1

月浙江学考卷，34）设函数f

(x)

=

x

—

ax

—b

，a,

b

∈R.（I）当

a=0，b=

1时，写出函数f

(x)

的单调区间；（II）当

时，记函数f

(x)

在[0,

4]

上的最大值为

g

(b)，在

b变化时，求

g

(b)的最小值；（III）若对任意实数a,

b

，总存在实数

x0

∈

[0,

4]使得不等式f

(x0

)

≥m

成立，求实数m

的取值范围.深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系高中数学知识点之间的联系高中数学学习是一个系统而深入的过程，各个知识点之间并非孤立存在，而是相互关联、相

辅相成的。一、基础知识与初步技能（一）集合与逻辑1.

集合论是数学的基础语言，有助于理解函数定义域、值域以及关系映射。2.

逻辑推理能力是解决数学问题的重要工具。（二）代数基础（包括方程与不等式）1.方程（一元一次、二次方程及方程组）是理解函数和解析几何的基础。2.不等式（一元一次、二次不等式）在解决实际问题中广泛应用，且与函数的单调性密切相关。（三）数列1.数列是离散数学的重要部分，其通项公式与求和公式与函数、极限等概念紧密相连。2.等差数列和等比数列的性质为后续的微积分学习打下基础。深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系二、核心知识与深化应用（一）函数1.函数是高中数学的核心概念，贯穿整个数学学习过程。2.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质和应用构成

了函数学习的主体。3.函数的图像变换、复合函数、反函数等概念进一步丰富了函数理论。（二）导数及其应用1.导数是微积分的核心概念，用于研究函数的局部性质和变化率。2.通过求导可以解决极值问题、曲线的切线斜率等问题。3.定积分作为导数的逆运算，在面积计算、物理问题解决等方面有重要应用。深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系二、核心知识与深化应用（三）向量与立体几何1.向量具有方向和大小，是解决空间问题的有力工具。2.向量的数量积、点积、叉积等概念在解决角度、距离、平行与垂直等问题时非常有用。3.立体几何中的线面关系、体积计算等都与向量密切相关。（四）概率统计1.概率论是研究随机现象的学科，与日常生活紧密相连。2.统计方法用于收集和分析数据，做出合理推断。3.随机变量及其分布、期望与方差等概念在金融风险分析等领域有重要应用。（五）解析几何1.解析几何将几何图形转化为代数方程进行研究。2.直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质为解决几何问题提供了方便。3.参数方程和极坐标方程拓展了平面和空间图形的表示方式。深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系三、拓展与深化领域（一）复数1.复数是实数集的扩展，解决了某些方程的根不在实数范围内的问题。2.复数的模、辐角等概念与三角函数有密切联系。（二）数论1.质数与算术基本定理。2.同余的概念。3.研究方程的整数解的丢番图方程，如费尔马大定理。（三）组合数学1.组合数学研究排列、组合、图论等离散结构问题。2.在计算机科学、密码学等领域有广泛应用。深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系四、知识点之间的联系与应用（一）跨章节联系例如，通过导数可以研究函数的单调性、极值和最值；利用向量可以解决立体几

何中的角度和距离问题；概率统计中的随机变量与函数的概念紧密相关。（二）实际应用数学知识广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个领域。例如，导数在优化问

题中的应用、概率统计在金融风险评估中的作用等。综上所述，高中数学的知识点之间形成了紧密的网络结构。在教学过程中，应注

重知识的整合与应用能力的培养，以便让学生更好地理解和掌握数学知识体系。深度学习，本质探究

---

“关键能力”之横向联系深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究教什么？

怎么教？

练什么？如何练？问题

1.（1993年全国卷，文理

17）将数字

1

，2

，3

，4填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法

有（

B

）深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究123421431234431212342413123431421234412312343421123434121234234112344321A

．6种

B

．9

种D

．

23

种C

．11

种方法一：比如填入

1，则

3

，4

号方格只能分别填

4

，3，各有

1

种填法，

因此，总共也有

3种填法；由分类加法计数原理，每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法共有3＋3＋3=9种填法．A

．6种

B

．9

种

C

．11

种方法二：编号为

1

的方格只能填入2,3,

4三个数；比如填入2

，则

2

号方格可以填1,3,

4

三个数，问题

1.将数字

1

，2

，3

，4

填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有(

)深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究D

．

23

种1

2

3

42

1

4

3三类问题

1.将数字

1

，2

，3

，4

填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有(

)A

．6种

B

．9种

C

．11

种

D

．

23

种方法三：编号为

1

的方格只能填入2,3,

4三个数，有

3种填入方法；比如填入2

，则

2

号方格可以填1,3,

4

三个数，也有

3种填法；

比如填入

1，则

3

，4号方格只能分别填

4

，3，由分步乘法计数原理，每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法共有3×3×1×1

=

9

种．深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究12342143各有

1种填法，问题

1.将数字

1

，2

，3

，4

填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有(

)A

．6种

B

．9种

C

．11

种

D

．

23

种方法四：数字

1

，2

，3

，4填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里共有A

=24种44填入方法；4个数字与方格的标号有一个一样的有C.

2=8

种；4个数字与方格的标号有

2个一样的有C

.1

=6种；4个数字与方格的标号有

3个一样的也就是

4个数字与方格的标号全部一样，有

1种；4241深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究因此，每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24

—1—

8

—

6=9种.123414231234121234124312341231234134212341用

Ai

表示集合Ai

的元素个数.1.2个集合的容斥原理

A

B

=

A

+

B

—

A

B

；2.3个集合的容斥原理ABC

=A

+B

+C—AB—AC—B

C+ABC

．3.4个集合的容斥原理A1

A2

A3

A4

=

A1

+

A2

+

A3

+

A4

—

A1

A2

—

A1

A3

—

A1

A4

—

A2

A3

—

A2

A4

—

A3

A4

+

A1

A2

A3

+

A1

A2

A4

+

A1

A3

A4

+

A2

A3

A4

—

A1

A2

A4

2B

63C深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究1

3

2A

B1

A475问题

1.将数字

1

，2

，3

，4

填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有(

)A

．6种

B

．9种

C

．11

种

D

．

23

种方法五：记Ai

表示数

i填入第

i个方格的全体排列（i=1

，2

，3

，4），用

Ai

表示Ai

的排列的个数.

则

Ai

=A

（

i=1,

2,3,

4

），Ai

Aj

=

A

（1

≤

i

<

j

≤

4

），

Ai

Aj

Ak

=A（1

≤i<j<k≤4

），

…

,

A1

A2

A3

A4

=

1

.

=C.

A

—

C

.

A

+

C

.

A—

C

.数字

1

，2

，3

，4填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里共有A

=24种填入方法；所以满足条件的填法总数为

A—

(C.

A

—

C.

A+C.

A—

C

)

=9

种.44114322423341444444114322423341112233深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究用

Ai

表示集合Ai

的元素个数.1.2个集合的容斥原理

A

B

=

A

+

B

一

A

B

；2.3个集合的容斥原理AB

C=A

+B

+C

一AB一AC一BC+ABC

．3.n个集合的容斥原理

4.摩根律

SA1

SA2

SAn

=

S

(A1

A2

A)=

I

一

A1

A2

An

.深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究

An

.方法六：设n个元素的错位排列数为an

，

则a1

=0

，a2

=1，a3

=2

，编号为

1

的方格可以填入2,3,

4三个数，有

3种不同的方法，比如填了2，若

2

号方格填了

1，则剩下的

2个数字的错位排列数为a2

；问题

1.将数字

1

，2

，3

，4

填入标号为

1

，2

，3

，4

的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有(

)A

．6种

B

．9种

C

．11

种

D

．

23

种若

2

号方格不填

1，则剩下的

3个数字的错位排列数为a3

，所以a4

=3(a2

+

a3

)

=9

，因此，每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有9

种.深度学习，本质探究

---

“关键能力”之纵向探究1234212342112342拓展：将数字

1

，2

，3

，4

，5

填入标号为

1

，2

，3

，4

，5

的四个方