2014版教材课后习题答案4-7章

P78 第四章3.一物体按规律xct3 在流体媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，试求物体由x0运动到xl时，阻力所作的功解：由xct3可求物体的速度： 1分 物体受到的阻力大小为： 2分力对物体所作的功为： = = 2分4一人从10 m深的井中提水起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量即： F=P=107.8-1.96y(SI) 3分 人的拉力所作的功为： W=980 J 2分5质量m2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发沿x轴正向作直线运动，求前三秒内该力所作的功 解： 1分而质点的速度与时间的关系为 2分所以力所作的功为 =729J 2分6如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m假设木块与水平面间的滑动摩擦系数m k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？ 解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量由题意有 而 3分由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 1分 = 5.83 m/s 1分另解根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有 其中 7一物体与斜面间的摩擦系数m = 0.20，斜面固定，倾角a = 45现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示求： (1) 物体能够上升的最大高度h；(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v 解：(1)根据功能原理，有 2分 2分 =4.5 m 2分 (2)根据功能原理有 1分 1分 =8.16 m/s 2分8一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为m令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为 1分摩擦力的功 2分 = = 2分 (2)以链条为对象，应用质点的动能定理 W 其中 W = W PWf ，v0 = 0 1分 WP = 2分由上问知 所以 得 2分9劲度系数为k、原长为l的弹簧，一端固定在圆周上的A点，圆周的半径Rl，弹簧的另一端点从距A点2l的B点沿圆周移动1/4周长到C点，如图所示求弹性力在此过程中所作的功 解：弹簧长为AB时，其伸长量为 1分弹簧长为AC时，其伸长量为 1分弹性力的功等于弹性势能的减少 2分 1分10一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为 (SI)式中a、b、w是正值常量，且ab (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能； (2)求质点所受的合外力以及当质点从A点运动到B点的过程中的分力和分别作的功 解：(1)位矢 (SI) 可写为 ， ， 在A点(a，0) ， EKA= 2分在B点(0，b) ， EKB= 2分(2) = 2分由AB = 2分 = 2分11某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为F52.8x38.4x2（SI）求： (1)将弹簧从伸长x10.50 m拉伸到伸长x21.00 m时，外力所需做的功(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x21.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x10.50 m时，物体的速率(3)此弹簧的弹力是保守力吗？解：(1) 外力做的功 3分 31 J 1分(2) 设弹力为F 3分 = 5.34 m/s 1分 (3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关 2分12如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为m1、m2的两个物体，开始时处于静止状态现在突然把m1与m2间的连线剪断，求m1的最大速度为多少？设弹簧的劲度系数k8.9104 N/m，m10.5 kg，m20.3 kg 解：以弹簧仅挂重物m1时，物体静止（平衡）位置为坐标原点，竖直向下为y轴正向，此时弹簧伸长为： l1m 1 g / k 1分再悬挂重物m2后，弹簧再获得附加伸长为 l2m2 g /k 1分当突然剪断连线去掉m2后，m1将上升并开始作简谐振动，在平衡位置处速度最大根据机械能守恒，有 2分将、代入得 0.014 m/s 1分 13用劲度系数为k的弹簧，悬挂一质量为m的物体，若使此物体在平衡位置以初速v突然向下运动，问物体可降低到何处？ 解：取物体在平衡位置时，重力势能EP0，设平衡时弹簧的伸长量为x0，则物体开始向下运动的一瞬间，机械能为 1分设物体刚好又下降x距离的一瞬间速度为零(不再下降)，则该瞬时机械能为 1分物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒： 2分把kx0mg代入上式，可解得： 1分P103 第五章3一飞轮以等角加速度2 rad /s2转动，在某时刻以后的5s内飞轮转过了100 rad若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？ 解：设在某时刻之前，飞轮已转动了t1时间，由于初角速度 w 00 则 w1t1 1分而在某时刻后t2 =5 s时间内，转过的角位移为 2分将已知量100 rad， t2 =5s， 2 rad /s2代入式，得 w1 = 15 rad /s 1分从而 t1 = w1/ 7.5 即在某时刻之前，飞轮已经转动了7.5 1分4有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量，其中m为圆形平板的质量） 解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为 3分 总摩擦力矩 1分 故平板角加速度 b =M /J 1分设停止前转数为n，则转角 q = 2pn 由 2分 可得 1分5如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA10 kg和mB20 kg，半径分别为rA和rB现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为和) 解：根据转动定律 fArA = JAbA 1分其中，且 fBrB = JBbB 1分其中要使A、B轮边上的切向加速度相同，应有 a = rAbA = rBbB 1分由、式，有 由式有 bA / bB = rB / rA 将上式代入式，得 fA / fB = mA / mB = 2分6一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示) 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得： mgTma 2分 T rJb 2分由运动学关系有： a = rb 2分由、式解得： Jm( ga) r2 / a 又根据已知条件 v00 S， a2S / t2 2分将式代入式得：Jmr2(1) 2分7一定滑轮半径为0.1 m，相对中心轴的转动惯量为110-3 kgm2一变力F0.5t (SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦试求它在1 s末的角速度解：根据转动定律 MJdw / dt 1分即 dw(M / J) dt 1分其中 MFr， r0.1 m， F0.5 t，J110-3 kgm2, 分别代入上式，得 dw50t dt 1分则1 s末的角速度 w1dt25 rad / s 2分8一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成60，然后无初转速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为，其中m和l分别为棒的质量和长度求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度 解：设棒的质量为m，当棒与水平面成60角并开始下落时，根据转动定律 M = Jb 1分其中 1分于是 1分当棒转动到水平位置时， M =mgl 1分那么 1分9长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为h的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为m，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？ 解：当人爬到离地面x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态 (不稳定的) 1分 N1f 0， N2P 0 1分 N1hPxctgq 0 1分 fmN2 1分解得 1分10有一半径为R的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T0如它的半径由R自动收缩为，求球体收缩后的转动周期(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J2mR2 / 5，式中m和R分别为球体的质量和半径)解：球体的自动收缩可视为只由球的内力所引起，因而在收缩前后球体的角动量守恒 1分设J0和w 0、J和w分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度, 则有 J0w 0 = Jw 2分由已知条件知：J0 = 2mR2 / 5，J = 2m(R / 2)2 / 5代入式得 w = 4w 0 1分即收缩后球体转快了，其周期 1分周期减小为原来的1 / 4 11一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞碰撞点位于棒中心的一侧处，如图所示求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度w(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为，式中的m和l分别为棒的质量和长度) 解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为 3分式中r为杆的线密度碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为 3分因碰撞前后角动量守恒，所以 3分 w = 6v0 / (7L) 1分2mmmOllll12如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和 l轻杆原来静止在竖直位置今有一质量为m的小球，以水平速度与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统由角动量守恒得 1分 （逆时针为正向） 2分又 1分将代入得 1分13一半径为25 cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动圆柱体上绕上绳子圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s2的加速度运动绳与圆柱表面无相对滑动试计算在t = 5 s时 (1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度， (3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kgm2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？解：(1) 圆柱体的角加速度 b ba / r4 rad / s2 2分 (2) 根据，此题中w 0 = 0 ，则有 wt = bt那么圆柱体的角速度 20 rad/s 1分 (3) 根据转动定律 fr = Jb则 f = Jb / r = 32 N 2分14一台摆钟每天快1分27秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？ 解：钟摆周期的相对误差DT / T =钟的相对误差Dt / t 2分等效单摆的周期 ，设重力加速度g不变，则有 2分 2d T / T =d l / l 1分令DT = dT，Dl = dl，并考虑到DT / T = Dt / t，则摆锤向下移动的距离 Dl = 2l Dt / t = mm = 2.00 mm 即摆锤应向下移2.00 mm，才能使钟走得准确 3分P124 第六章3一体积为V0，质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运动求：观察者A测得其密度是多少？ 解：设立方体的长、宽、高分别以x0，y0，z0表示，观察者A测得立方体的长、宽、高分别为 ， 相应体积为 3分观察者测得立方体的质量 故相应密度为 2分4一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过 (1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？ 解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 54 m 则 Dt1 = L/v =2.2510-7 s 3分 (2) 宇航员测得飞船船身的长度为L0，则 Dt2 = L0/v =3.7510-7 s 2分5一电子以0.99c (c为真空中光速)的速率运动试求： (1) 电子的总能量是多少？ (2) 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？(电子静止质量me=9.1110-31 kg)解：(1) =5.810-13 J 2分 (2) = 4.0110-14 J = 4.9910-13 J 8.0410-2 3分P150 第七章3一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s，求 (1)周期T； (2)当速度是12 cm/s时的位移 解：设振动方程为，则 (1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s状态下有 解得 ， s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s的时刻为t2，则由 得 ， 解上式得 相应的位移为 cm 3分4一质点作简谐振动，其振动方程为 (SI) (1) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ (2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解：(1) 势能 总能量 由题意， m 2分 (2) 周期 T = 2p/w = 6 s 从平衡位置运动到的最短时间 Dt 为 T/8 Dt = 0.75 s 3分5在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100 g砝码时，弹簧伸长8 cm现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g的物体，构成弹簧振子将物体从平衡位置向下拉动4 cm，并给以向上的21 cm/s的初速度（令这时t = 0）选x轴向下, 求振动方程的数值式 解： k = m0g / Dl N/m 2分 cm 2分 ，f = 0.64 rad 3分 (SI) 1分6质量m = 10 g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按的规律作自由振动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求 (1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E； (4) 平均动能和平均势能 解：(1) A = 0.5 cm；w = 8p s-1；T = 2p/w = (1/4) s；f = p/3 2分 (2) (SI) (SI) 2分 (3) =7.9010-5 J 3分 (4) 平均动能 = 3.9510-5 J = 同理 = 3.9510-5 J 3分7在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式 解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数 选平衡位置为原点，向下为正方向小球在x处时，根据牛顿第二定律得 将 代入整理后得 此振动为简谐振动，其角频率为 3分 2分设振动表达式为 由题意： t = 0时，x0 = A=m，v0 = 0，解得 f = 0 1分 2分8在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放已知物体在32 s内完成48次振动，振幅为5 cm (1) 上述的外加拉力是多大？ (2) 当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？ 解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x正方向设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为Dl，则有, 加拉力F后弹簧又伸长x0，则解得 F= kx0 2分由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x0 则 2分又由题给物体振动周期 s, 可得角频率 , N 1分 (2) 平衡位置以下1 cm处： 2分 J 2分 = 4.4410-4 J 1分解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A（5 cm）， 2分 ，n = 1.5 Hz 2分 F = 0.444 N 1分 (2) 总能量 J 2分当x = 1 cm时，x = A/5，Ep占总能量的1/25，EK占24/25 2分 J， J 1分9一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x1 =510-2cos(4t + p/3) (SI) , x2 =310-2sin(4t - p/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程 解： x2 = 310-2 sin(4t - p/6) = 310-2cos(4t - p/6- p/2) = 310-2cos(4t - 2p/3) 作两振动的旋转矢量图，如图所示 图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为 A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3 2分合振动方程为 x = 210-2cos(4t + p/3) (SI) 1分10一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然 后由静止释放并开始计时求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2分 (1) 选平衡位置为原点，x轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x0 = 10Acosf ，v0 = 0 = -Awsinf 解以上二式得 A = 10 cm，f = 0 2分 振动方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 f = m(g-a )，而a = -w2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3分 (3) 设t1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即 0 = Acosw t1或cosw t1 = 0 此时物体向上运动， v 0 w t1 = p/2， t1= p/2w = 0.222 s 1分再设t2时物体在平衡位置上方5 cm处，此时x = -5，即 -5 = Acosw t1，cosw t1 =1/2 v 0， w t2 = 2p/3， t2=2 p/3w =0.296 s 2分 Dt = t1-t2 = (0.2960.222) s0.074 s 1分AB x11一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 = 10 cm求：(1) 质点的振动方程； (