施瓦茨不等式的证明

2柯西施瓦茨不等式的证明2.1 柯西施瓦茨不等式定理（柯西施瓦茨不等式） 若a1，a2，an和b1, b2, ,bn是任意实数，则k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2当且仅当存在一个实数x，使得bk=xak（k=1,2,）时，等号成立。2.2 用数学归纳法证明柯西施瓦茨不等式当n=1时， 左式=a1b12=a12b12， 右式=a12b12显然 左式=右式当n=2时，左式=a1b1+a2b22=a12b12+2a1b1a2b2+a22b22 a12+a22b12+b22=a12b12+a22b22+a22b12+a12b22=右式 故有 a1b1+a2b22a12+a22b12+b22 ,即 k=12akbk2k=12ak2k=12bk2当且仅当a1b2=a2b1时等号成立。 故n=1,2时不等式成立。假设当n=i时，不等式成立，即k=1iakbk2k=1iak2k=1ibk2当且仅当akbj=ajbk(k,j=1,2，i)时成立。那么当n=i+1时，k=1i+1ak2k=1i+1bk2=k=1iak2+ai+12k=1ibk2+bk+12 =k=1iak2k=1ibk2+ai+12k=1ibk2+bi+12k=1iak2+ai+12bi+12 k=1iak2k=1ibk2+2ai+1bi+1k=1iak2k=1ibk2+ai+12bi+12 k=1iakbk2+2ai+1bi+1k=1iakbk+ai+12bi+12 =k=1i+1akbk2当且仅当当且仅当akbk=ajbjk,j=1,2,i且k=1iak2k=1ibk2=ai+12bi+12时成立。因为 akbk=ajkj，故 ak2bk2=aj2bj2=k=1iak2k=1ibk2(k,j=1,2,i)所以 ak2bk2=aj2bj2=ai+12bi+12（k,j=1,2,i）所以 akbk=ajkj（k,j=1,2,i+1）综上所述，不等式k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2成立。2.3 用向量法证明柯西施瓦茨不等式 设a=a1,a2,an,b=b1,b2,bn是两个n维向量，则 ab=k=1nakbk a=(aa)12=k=1nak212 b=(bb)12=k=1nbk212因为 ab=abcosab 所以 k=1nakbk=k=1nak212k=1nbk212整理后得到 k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2由上可知，不等式 k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2成立。2.4运用基本不等式证明柯西施瓦茨不等式 基本不等式：ab12a2+b2 柯西施瓦茨不等式：k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2，为简洁我们记A2=k=1nak2，B2=k=1nbk2，Sk=akbk(k=1,2,n)则柯西施瓦茨不等式变为 A2B2k=1nSk2两边开平方再移向得 S1+S2+SnAB1证明：S1AB=a1b1ABa1A2+b1B22,当且仅当a1A=b1B,即a1b1=AB时等号成立； S2AB=a2b2ABa2A2+b2B22,当且仅当a2A=b2B,即a2b2=AB时等号成立；SnAB=anbnABanA2+bnB22,当且仅当anA=bnB,即anbn=AB时等号成立；上述n式相加得S1+S2+SnABS1AB+S2AB+SnABk=1na