（课标版）2021高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力与航天教案

第4讲万有引力与航天一、开普勒行星运动定律二、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 正比 ,与它们之间距离r的二次方成 反比 。2.公式:f= gm1m2r2,其中g=6.6710-11 nm2/kg2。3.适用条件:严格地说,公式只适用于 质点 间的相互作用,当两个物体间的距离 远大于 物体本身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,其中r是 两球心 间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为 球心 到质点间的距离。三、宇宙速度1.第一宇宙速度(环绕速度)(1)v1= 7.9 km/s,是人造卫星的最小 发射 速度,也是人造卫星最大的 环绕 速度。(2)第一宇宙速度的计算方法由gmmr2=mv2r得v=gmr。由mg=mv2r得v=gr。2.第二宇宙速度(逃逸速度):v2= 11.2 km/s,使物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度。3.第三宇宙速度:v3= 16.7 km/s,使物体挣脱 太阳 引力束缚的最小发射速度。四、经典力学时空观和相对论时空观1.经典力学时空观(1)在经典力学中,物体的质量是不随 速度 的改变而改变的。(2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同 的。2.相对论时空观(1)在狭义相对论中,物体的质量随物体的速度的增加而增加,用公式表示为m=m01-v2c2。(2)在狭义相对论中,同一物理过程的位移和时间的测量与参考系 有关 ,在不同的参考系中 不同 。3.经典力学的适用范围:只适用于 低速 运动,不适用于 高速 运动;只适用于宏观世界,不适用于 微观 世界。1.判断下列说法对错。(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。()(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大。()(3)只有天体之间才存在万有引力。()(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离,就可以由f=gm1m2r2计算物体间的万有引力。()(5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。()(6)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大。()2.关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是() a.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律b.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律c.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因d.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律2.答案b3.近年来,人类发射了多枚火星探测器,对火星进行科学探究,为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动,并测得该探测器运动的周期为t,则火星的平均密度的表达式为(k是一个常数)()a.=ktb.=ktc.=kt2d.=kt23.答案d4.2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星()a.入轨后可以位于北京正上方b.入轨后的速度大于第一宇宙速度c.发射速度大于第二宇宙速度d.若发射到近地圆轨道所需能量较少4.答案d考点一开普勒行星运动定律与万有引力定律1.引力与重力的关系重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示,f引产生两个效果:一是提供物体随地球自转所需的向心力;二是产生物体的重力。由于f向=m2r,随纬度的增大而减小,所以物体的重力随纬度的增大而增大,即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。但f向一般很小,在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等,即gmmr2=mg,g=gmr2常用来计算星球表面的重力加速度。在地球同一纬度处,重力加速度随物体离地面高度的增加而减小,因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小,即 g=gm(r+h)2。2.天体质量和密度的计算方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、tgmmr2=mr42t2m=42r3gt2只能得到中心天体的质量r、vgmmr2=mv2rm=rv2gv、tgmmr2=mv2rgmmr2=mr42t2m=v3t2g利用天体表面重力加速度g、rmg=gmmr2m=gr2g密度的计算利用运行天体r、t、rgmmr2=mr42t2m=43r3=3r3gt2r3当r=r时=3gt2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、rmg=gmmr2m=43r3=3g4gr例1(2019课标,14,6分)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,f表示它所受的地球引力,能够描述f随h变化关系的图像是()答案d由万有引力定律可知,探测器受到的万有引力f=gmm(r+h)2,其中r为地球半径。在探测器“奔向”月球的过程中,离地面距离h增大,其所受的万有引力非线性减小,故选项d正确。考向1开普勒三定律在椭圆轨道上的应用1.(多选)(2017课标,19,6分)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,p为近日点,q为远日点,m、n为轨道短轴的两个端点,运行的周期为t0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从p经m、q到n的运动过程中() a.从p到m所用的时间等于t0/4b.从q到n阶段,机械能逐渐变大c.从p到q阶段,速率逐渐变小d.从m到n阶段,万有引力对它先做负功后做正功答案cd海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,由开普勒第二定律可知,从pq海王星的速度逐渐减小,故从p到m所用时间小于t0/4,选项a错误,c正确;从q到n阶段,海王星只受太阳的引力,故机械能守恒,选项b错误;从m到n阶段,海王星经过q点时速度最小,故万有引力对它先做负功后做正功,选项d正确。考向2天体重力加速度的求解2.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为r星r地=14,地球表面的重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度为g,不计空气阻力。则()a.gg=15b.gg=52c.m星m地=120d.m星m地=180答案ad设小球的初速度为v0,由竖直上抛运动的对称性,知竖直上抛的小球在空中运动的时间t=2v0g,因此得gg=t5t=15,a项正确,b项错误;由gmmr2=mg得m=gr2g,所以m星m地=gr星2gr地2=15142=180,c项错误,d项正确。考向3天体质量和密度的计算3.(2018课标,16,6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“j0318+0253”,其自转周期t=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.6710-11 nm2/kg2。以周期t稳定自转的星体的密度最小值约为()a.5109 kg/m3b.51012 kg/m3c.51015 kg/m3d.51018 kg/m3答案c本题考查万有引力定律在天体中的应用。以周期t稳定自转的星体,当星体的密度最小时,其表面物体受到的万有引力提供向心力,即gmmr2=m42t2r,星体的密度=m43r3,得其密度=3gt2=33.146.6710-11(5.1910-3)2 kg/m3=51015 kg/m3,故选项c正确。易错警示计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。考点二卫星运行规律及特点1.卫星运行参量与轨道半径的关系(1)做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供向心力,则有gmmr2=mv2r=m2r=m42t2r=man,推导出v=gmr=gmr3t=42r3gman=gmr2v减小减小t增大an减小(2)运动关系要慎用和t有对应关系,即=2t,但v、an、t()的关系式v=2rt、an=v2r、an=42rt2中,这三个物理量相互影响。2.同步卫星的六个“一定”例2(2019课标,15,6分)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径r金r地a地a火b.a火a地a金c.v地v火v金d.v火v地v金答案a行星绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即gmmr2=ma向=mv2r,解得a向=gmr2,v=gmr,由于r金r地a地a火,v金v地v火,选项a正确。考向1卫星运行参量的比较1.地球赤道上有一物体随地球自转,所受的向心力为f1,向心加速度为a1,线速度为v1,角速度为1;地球表面附近绕地球做圆周运动的人造卫星(高度忽略),所受的向心力为f2,向心加速度为a2,线速度为v2,角速度为2;地球的同步卫星所受的向心力为f3,向心加速度为a3,线速度为v3,角速度为3;地球表面的重力加速度为g,第一宇宙速度为v。假设三者质量相等,则()a.f1=f2f3b.a1=a2=ga3c.v1=v2=vv3d.1=32答案d地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同,角速度相同,即1=3,根据关系式v=r和a=2r可知,v1v3,a1v3,a2a3,23;在地球表面附近绕地球做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度,即v2=v,其向心加速度等于重力加速度,即a2=g;所以v=v2v3v1,g=a2a3a1,23=1;又因为f=ma,所以f2f3f1。由以上分析可知,选项a、b、c错误,d正确。考向2同步卫星特点的分析2.利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为()a.1 hb.4 hc.8 hd.16 h答案b卫星围绕地球运转时,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即gmmr2=m2t2r,解得周期t=2r3gm,由此可见,卫星的轨道半径r越小,周期t就越小,周期最小时,三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切,如图所示,此时卫星轨道半径r=2r,t=2(2r)3gm,又因为t0=2(6.6r)3gm=24 h,所以t=2r6.6r3t0=13.3324 h4 h,b正确。考向3宇宙速度问题3.(多选)2020年左右我国将进行第一次火星探测,向火星发射轨道探测器和火星巡视器。已知火星的质量约为地球质量的19,火星的半径约为地球半径的12。下列关于火星探测器的说法中正确的是()a.发射速度只要大于第一宇宙速度即可b.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以c.发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度d.火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23答案cd要将火星探测器发射到火星上去,必须脱离地球引力,故发射速度要大于地球的第二宇宙速度,火星探测器仍在太阳系内运转,因此从地球上发射时发射速度要小于地球的第三宇宙速度,选项a、b错误,c正确;由第一宇宙速度的概念,得gmmr2=mv12r,得v1=gmr,故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为29=23,选项d正确。方法技巧1.解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时,万有引力等于重力,即gmmr2=mg,整理得gm=gr2,称为黄金代换。(g表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即gmmr2=mv2r=mr2=m42rt2=man。2.用好“二级结论”,速解参量比较问题“二级结论”有:(1)向心加速度a1r2,r越大,a越小;(2)线速度v1r,r越大,v越小,r=r时的v即第一宇宙速度(绕行天体在圆轨道上最大的线速度,发射卫星时的最小发射速度);(3)角速度1r3,r越大,越小;(4)周期tr3,r越大,t越大。即“高轨低速周期长,低轨高速周期短”。考点三卫星的变轨问题1.卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示。(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上。(2)在a点(近地点)点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道。(3)在b点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道。2.卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系gmmr2mv2r变轨结果转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动新圆轨道上运动的速率比原轨道的小,周期比原轨道的大新圆轨道上运动的速率比原轨道的大,周期比原轨道的小动能减小、势能增大、机械能增大动能增大、势能减小、机械能减小1.(多选)(2019湖南娄底二模)如图所示,设地球半径为r,假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道上做匀速圆周运动,运行周期为t,到达轨道的a点时点火变轨进入椭圆轨道,到达轨道的近地点b时,再次点火进入近地轨道绕地做匀速圆周运动,引力常量为g,不考虑其他星球的影响,则下列说法正确的是()a.该卫星在轨道上b点的速率大于在轨道上a点的速率b.卫星在轨道和轨道上做圆周运动时,轨道上动能小,引力势能大,机械能小c.卫星从远地点a向近地点b运动的过程中,加速度变小d.地球的质量可表示为42(r+h)3gt2答案ad在轨道上a点速率大于在轨道上a点的速率,在轨道上b点的速率大于在轨道上a点的速率,故a正确;从b运动到a地球引力做负功,势能增加,轨道的速度大于轨道的速度,动能减小,轨道b点点火减速机械能减小,轨道a点点火减速机械能减小,故b错误;根据公式gmmr2=ma可得a=gmr2,所以距离地球越远,向心加速度越小,故从远地点到近地点运动过程中,加速度变大,故c错误;在轨道上运动过程中,万有引力提供向心力,故有gmm(r+h)2=m42t2(r+h),解得m=42(r+h)3gt2,故d正确。2.(多选)(2019河北衡水检测)同步卫星的发射方法是变轨发射,即先把卫星发射到离地面高度为200300 km的圆形轨道上,这条轨道叫停泊轨道,如图所示,当卫星穿过赤道平面上的p点时,末级火箭点火工作,使卫星进入一条大的椭圆轨道,其远地点恰好在地球赤道上空约36 000 km处,这条轨道叫转移轨道;当卫星到达远地点q时,再开动卫星上的发动机,使之进入同步轨道,也叫静止轨道。关于同步卫星及其发射过程,下列说法正确的是()a.在p点火箭点火和在q点开动发动机的目的都是使卫星加速,因此,卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道上运行的线速度b.在p点火箭点火和在q点开动发动机的目的都是使卫星加速,因此,卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道上运行的机械能c.卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9 km/sv11.2 km/sd.所有地球同步卫星的静止轨道都相同答案bd当卫星做匀速圆周运动时,由gmmr2=mv2r得v=gmr,可知卫星在静止轨道上运行的线速度小于在停泊轨道上运行的线速度,故a项错误。在p点火箭点火和在q点开动发动机的目的都是使卫星加速,由能量守恒定律知,卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能,故b项正确;卫星在转移轨道上的速度小于第一宇宙速度,即速度大小v天宫二号质量m1,则动能变大,c项正确。由gmmr2=ma得a=gmr2,可知向心加速度与m无关,故不变,d项错误。2.(2018课标,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星p,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星q的轨道半径约为地球半径的4倍。p与q的周期之比约为()a.21b.41c.81d.161答案c本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式。卫星p、q围绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即gmmr2=m42t2r,则t=42r3gm,tptq=rp3rq3=81,选项c正确。a组基础过关1.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证()a.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602b.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602c.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6d.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/601.答案b本题考查万有引力定律的应用。设地球半径为r,质量为m,月球绕地球公转轨道半径为r。地球对地面附近的苹果的引力gmmr2=mg,所以g=gmr2;地球对月球的引力提供月球公转的向心力,即gmm月r2=m月a,所以a=gmr2;比较可知a=rr2g=1602g,故选项b正确。2.(2019宁夏银川二中期末)如图所示,a为地球赤道上的物体,b为地球同步卫星,c为地球表面上北纬60处的物体。已知a、b的质量相等。则下列关于a、b和c三个物体的说法中,正确的是()a.a物体受到的万有引力小于b物体受到的万有引力b.b物体的向心加速度小于a物体的向心加速度c.a、b两物体的轨道半径的三次方与周期的二次方的比值相等d.a和b两物体的线速度的比值比c和b两物体的线速度的比值大,且都小于12.答案da、b两物体的质量相等,根据万有引力定律f=gmmr2可知,a受到的万有引力大于b受到的万有引力,故a项错误;因a与b两物体的角速度相等,由an=2r可知b的向心加速度大于a的向心加速度,故b项错误;a在地球表面,不是环绕地球做匀速圆周运动,因此它的轨道半径与公转周期的关系不满足开普勒第三定律,故c项错误;根据v=r可知,b的线速度最大,c的线速度最小,因此a与b的线速度的比值大于c与b的线速度的比值,且均小于1,故d项正确。3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2106 km,已知引力常量g=6.6710-11 nm2/kg2,则土星的质量约为()a.51017 kgb.51026 kgc.71033 kgd.41036 kg3.答案b卫星绕土星运动,土星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为m,卫星质量为m,由牛顿第二定律有gmmr2=m42t2r,解得m=42r2gt2=43.142(1.2106103)36.6710-11(16243600)2 kg51026 kg,故b正确,a、c、d错误。4.(多选)(2019山东菏泽期中)1798年,英国物理学家卡文迪许测出引力常量g,因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量g,地球表面处的重力加速度g,地球半径r,地球上一个昼夜的时间t1(地球自转周期)、一年的时间t2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离l1,地球中心到太阳中心的距离l2。你能计算出()a.地球的质量m地=gr2gb.太阳的质量m太=42l23gt22c.月球的质量m月=42l13gt12d.可求月球、地球及太阳的密度4.答案ab对地球表面的质量为m0的物体来说,应有m0g=gm地m0r2,所以地球质量m地=gr2g,a项正确;对地球绕太阳运动来说,有gm太m地l22=m地42t22l2,则m太=42l23gt22,b项正确;对月球绕地球运动来说,可以求出地球质量,由于不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量,所以无法求出它的质量和密度,c、d项错误。5.2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为m、半径为r,探测器的质量为m,引力常量为g,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时,探测器的()a.周期为42r3gmb.动能为gmm2rc.角速度为gmr3d.向心加速度为gmr25.答案a探测器围绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力充当向心力,则gmmr2=mv2r=m2r=m42t2r=ma向,解得a向=gmr2,t=2r3gm,=gmr3,ek=12mv2=gmm2r,故a项正确。6.(多选)如图所示,两质量相等的卫星a、b绕地球做匀速圆周运动,用r、t、ek、s分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有()a.tatbb.ekaekbc.sa=sbd.ra3ta2=rb3tb26.答案ad卫星做匀速圆周运动时有gmmr2=mv2r=mr2=mr42t2,则t=2r3gmr3,故tatb,ta2tb2=ra3rb3,a、d皆正确;ek=12mv2=gmm2r1r,故ekav2,v1=gmrb.v1v2,v1gmrc.v1v2,v1=gmrd.v1gmr11.答案b卫星沿椭圆轨道运动时,只受万有引力作用,机械能守恒,在卫星由近及远的运动过程中,卫星的部分动能转化为势能,速度逐渐减小,故v1v2。若卫星过近地点做半径为r的匀速圆周运动,则满足gmmr2=mv2r,可得v=gmr。现卫星过近地点做离心运动,则v1gmr,故选项b正确,a、c、d错误。12.(2019湖南衡阳模拟)2019年1月3日,嫦娥四号探测器登陆月球,实现人类探测器首次月球背面软着陆,为给嫦娥四号探测器提供通信支持,我国早在2018年5月21日就成功发射嫦娥四号中继星“鹊桥