甘肃省静宁县第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）

静宁一中2020学年度高二第二学期第一次月考试题（卷）数学（理科）一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1.聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,则按照以上规律,若具有 “穿墙术”,则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为所以，选C.点睛：(一)与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(二)与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(三)与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性2.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 归纳出所有三角形的内角和都是;由,满足,推出是奇函数;三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知：是类比推理，是归纳推理，是演绎推理，是归纳推理，据此确定所给的命题是否属于合情推理即可.【详解】逐一考查所给的推理：由圆的性质类比出球的有关性质是类比推理，属于合情推理;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 归纳出所有三角形的内角和都是是归纳推理，属于合情推理;由,满足,推出是奇函数是演绎推理，不属于合情推理;三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是是归纳推理，属于合情推理.综上可得：合情推理的编号为.本题选择C选项.【点睛】一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的3.设则、三数()A. 至少有一个不大于2B. 都小于2C. 至少有一个不小于2D. 都大于2【答案】C【解析】【分析】利用反证法：不妨设、三数都小于2，则.结合均值不等式的结论可知的最小值为6，据此即可得出结论.【详解】利用反证法：不妨设、三数都小于2，即：，则.事实上： ，当且仅当时等号成立，即的最小值为6，这与假设矛盾.故、三数至少有一个不小于2.本题选择C选项.【点睛】应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.4.在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后曲线C变为曲线，那么可知，那么将已知的x,y换为x,y得到的解析式为，故选A.考点：伸缩变换点评：本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键5.点到曲线（其中是参数，且）上的点的最小距离为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】消去参数可得曲线即：，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值，结合抛物线的性质确定最小值即可.【详解】消去参数可得曲线（其中是参数，且）即：，则点P为抛物线的焦点，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值，很明显抛物线的顶点到准线的距离最小，其最小值为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查参数方程化为直角坐标方程的方法，抛物线的定义及其性质的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列在曲线(为参数)上的点是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：参数方程消去参数变为普通方程可得，代入各点可得在曲线上考点：参数方程7.将直角坐标方程转化为极坐标方程，可以()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直角坐标方程转化为极坐标方程即：，据此化简可得极坐标方程.【详解】直角坐标方程转化为极坐标方程即：，即.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程的方法，属于基础题.8.函数的单调递增区间是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，求解不等式即可确定函数的单调递增区间.【详解】由函数的解析式可得：,求解不等式可得：，故函数的单调递增区间是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数，关于函数的性质，有以下四个推断：的定义域是；的值域是；是奇函数；是区间（0,2）内的增函数.其中推断正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据f（x）的表达式求出其定义域，判断正确；根据基本不等式的性质求出f（x）的值域，判断正确；根据奇偶性的定义，判断正确；根据函数的单调性，判断错误详解：函数，f（x）的定义域是（，+），故正确；f（x）=，x0时：f（x），x0时：f（x），故f（x）的值域是，故正确；f（x）=f（x），f（x）是奇函数，故正确；由f（x）=，令f（x）0，解得：1x1，令f（x）0，解得：x1或x1，f（x）在区间（0，2）上先增后减，故错误；故答案为：点睛：本题考查了函数的定义域与值域，考查了奇偶性与单调性，考查了逻辑推理能力，属于中档题.10.若，则k=( )A. 1B. 0C. 0或1D. 以上都不对【答案】A【解析】由题设可得，则或，应选答案C。11.曲线在点处的切线方程是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，则所求切线方程为考点：利用导数求切线方程12.设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析：构造函数，当时，= ，在上为减函数。=，为偶函数。可以推测出的图像，而等价于，再结合图像推测的解集。进而即可解决。【详解】设，当时，= ，在上为减函数。又=，所以为偶函数且=0。因此的图像大致如图。由图像可知，当时，有，此时，故；当时，有，此时，故；所以 的解集为。又等价于，所以的解集为.故选D。【点睛】导数在函数单调性中应用及函数不等式的求解问题，其中构造函数，利用导数与单调之间的关系得出函数的单调性是解答的关键，可以根据条件推测图像，直观得出结论或考虑某个具体的函数值，利用单调性的定义转化为自变量的不等关系，此类问题重点考查转化思想，以及分析问题和解决问题的能力。二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13.将参数方程（为参数）化成普通方程为_.【答案】【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，利用代入法，即可得出结论【详解】将参数方程（t为参数），利用代入法，化成普通方程为xy+50故答案为：xy+50【点睛】本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是_.【答案】乙【解析】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.15.dx_.【答案】【解析】设y，则x2y24(y0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.dx4.16.已知可导函数的导函数满足,则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】构造函数，结合题意确定函数的单调性，然后由函数的单调性求解不等式即可.【详解】构造函数，则，故函数是R上的单调递增函数，注意到不等式即，即，由函数的单调性可得，故不等式的解集是.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，构造函数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17.已知函数（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最大值是，求它在该区间上的最小值.【答案】(1) （，1），（3，）(2)-7【解析】试题分析：（）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后令f（x）0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（）先求出端点的函数值f（2）与f（2），比较f（2）与f（2）的大小，然后根据函数f（x）在1，2上单调递增，在2，1上单调递减，得到f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间2，2上的最小值解：（）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为7点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力【此处有视频，请去附件查看】18.已知抛物线，在点，分别作抛物线的切线（1）求切线和方程；（2）求抛物线与切线和所围成的面积【答案】（1）切线方程：，切线方程：；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，则切线的斜率为，据此可得切线方程；（2）联立直线方程可得，由定积分的定义可得所求面积为， 计算定积分确定面积的值即可.【详解】（1）因为，都在抛物线上，则，所以切线方程：，切线方程：.（2）由，解得，则两切线交点坐标为.所以抛物线与切线和所围成的面积为 .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，利用定积分求解面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知在处取得极值，且（1）求、的值；（2）若对，恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，结合题意可知，列出方程组可得a,b的值.（2），结合导函数的符号可确定函数的单调性，从而求得函数的最小值，据此即可确定实数的取值范围.【详解】（1），又在处取得极值，又，即：，解得（2），当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；函数的解析式为，所以【点睛】本题主要考查已知函数的极值求参数的方法，利用导函数研究恒成立问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知曲线：（为参数）和曲线:(为参数).（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（为参数）距离的最小值及此时点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）距离最小值为，点坐标为.【解析】【分析】(1)消去参数和参数即可确定曲线的普通方程，然后由方程确定其表示曲线的形状和位置即可；（2）由题意可得，结合中点坐标公式可设. 利用点到直线距离公式和三角函数的性质确定距离的最小值及点的坐标即可.【详解】（1）分别消去曲线和中的参数，可得到：，：.是圆心为，半径为的圆.是中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是椭圆.（2）当时，设，故.为直线，到的距离，从而当即，取最小值.所以，此时点的坐标为.【点睛】本题主要考查参数方程及其应用，三角函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标