2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 新人教A版必修4

2.4.2平面矢量数积的坐标显示、模型、角度教材研究预习教科书p106107，考虑以下问题1 .平面矢量的数积的坐标表示是什么？2 .如何用坐标表示向量的模、角度、垂直？要点整理1 .两矢量的数积和垂直于两矢量的坐标表示已知有矢量a=(x1，y1 )，b=(x2，y2 )，a和b所成的角为的2个非零矢量。数量乘积两个向量的数目的乘积等于ab=x1x2 y1y2，其为对应坐标的乘积之和矢量垂直abx1x2 y1y2=02 .有关向量的模、角度的三个重要公式(1)向量的模型： a=(x，y )的话|a|=(2)两点间的距离式： a(x1，y1 )，b(x2，y2 )的话|=(3)向量的角度式：设两非零向量a=(x1，y1 )，b=(x2，y2 )，a和b的角度为cos=。自我诊断判断(正确的“”，错误的“”。1 .向量a=(x1，y1 )，b=(x2，y2 )的整数的乘积是向量，其坐标为(x1x2，y1y2 )2.|的计算式与a、b两点间的距离式一致.()3 .如果零以外的矢量a=(x1，y1)、b=(x2，y2)的角度为锐角，则x1x2 y1y20，相反，如果零矢量a=(x1，y1)、b=(x2，y2)满足x1x2 y1y20，则这些角度为锐角答案 1. 2. 3问题型单矢量数积的坐标运算请想想：如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么ab怎么计算？提示： ab=x1x2 y1y2(1)在平面正交坐标系xoy中，已知=(-1，t )、=(2，2 )，如果abo=90，则实数t值为： _(2)已知向量a=(1，3，3 )、b=(2，5，5 )、c=(2，1，1 )，求出：2a(b-a) (a 2b)c .构想向导利用向量的垂直充分条件和数量积的坐标求解因为问题意识=0，所以分析(1)=.(3，2-t )为23 2(2-t)=0，t=5。(2)解法1 :- 2a=2(1，3 )=(2，6 )b- a=(2，5 )-(1，3 )=(1，2 )2 a (b-a )=(2，6 ) (1，2 )=21 62=14a2b=(1，3 )2(2，5 )=(1，3 ) (4，10 )=(5，13 )c=(5，13 ) (2，1 )=52 131=23解法2a(b-a )=2ab-2a2=2(12 35)-2(1 9)=14(a 2b)c=ac 2bc=12 31 2(22 51)=23( (1)5 (2)14 23数量乘积运算的途径及注意事项(1)进行向量的数量积运算是以记住相关的算法和运算的性质为前提的。 有两种解决问题的方法：首先用坐标表示各向量，直接进行数量积运算，第二种方法是利用数量积的计算法展开原式，根据已知的计算进行计算(2)关于以图形为背景的矢量数积运算的主题，只需把握图形的特征，写入相应点的坐标即可解开。跟踪训练(1)如果向量a=(1，-1)，b=(-1，2 )，则为(2a b)a=()a.-1 b.0 c.1 d.2(2)在平面正交坐标系xoy中，已知四边形abcd为平行四边形、=(1，-2)、=(2，1 )=()a.5 b.4 c.3 d.2分析 (1)a=(1，-1)，b=(-1，2 )a=(1，0 ) (1，-1)=1。(2)从=(1，-2) (2，1 )=(3，-1)到=(2，1 ) (3，-1)=5。( (1)c (2)a思考：向量的类型和两点之间的距离有什么关系？提示：向量的模是向量的长度，其大小必须是平面正交坐标系中两点之间的距离。 例如，如果a=(x，y )，则在平面正交坐标系中必定存在点a(x，y )，而=a=(x，y )，|=|a|=，即|a|是从点a到原点的距离。 同样地，若为a(x1，y1)、b(x2，y2)，则可知=(x2-x1，y2-y1)、|=，即平面正交坐标系中的任意2点间的距离式(1)设x，yr，矢量a=(x，1 )，b=(1，y )，c=(2，4 )且ac，bc，则|a b|=()a. b. c.2 d.10(2)已知点a(1，-2)的向量与a=(2，3 )为相同方向|=2，点b的坐标为_ .(1)利用与矢量平行垂直充分条件求出x、y，(2)利用与a的共线求解a，注意的范围.分析(1)原因a=(2，1 )，b=(1，-2)，a b=(3，-1)222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡(2)从题意可以设为=a(0 )=(2，3) .此外|=2(2)2 (3)2=(2)2解=2或-2(截断)。=(4，6 ) .此外，a(1，-2)、b (5，4 )(1) b (2) (5，4，4 )求向量模型的两种基本策略(1)用字母表示的运算：利用|a|2=a2，将向量模型的运算转换为向量与向量的数积问题(2)坐标表现中的运算：如果a=(x，y )，则aa=a2=|a|2=x2 y2，其中|a|=。跟踪训练在平面正交坐标系xoy中，o是原点(图)，已知点a (16，12 )、b (-5，15 ) .(1)求出|、|(2)求oab解 (1)从=(16，12 )开始=(-5-16，15-12 )=(-21，3 )|=20|=15(2)cosoab=cos和=.其中=-=-(16，12 ) (-21，3 )=-16(-21) 123=300。cosoab=oab=45。思考： a和b为坐标形式时，如何求出a和b的角度？提示：如果a、b为坐标格式，则可以继续使用表达式cos=求出.已知平面向量a=(3，4 )，b=(9，x )，c=(4，y )，ab，ac .(1)求b和c(如果m=2a-b，n=a c，则求出向量m，n所成角的大小.构想向导利用向量的平行和垂直充分条件，求出向量b和c，利用角度式求解(1) ab，3x=49，x=12。ac，34 4y=0y=-3，b=(9，12 )，c=(4，3 )(2) m=2a-b=(6，8 )-(9，12 )=(-3，4 )n=ac=(3，4 ) (4，-3)=(7，1 )设m、n的角度为，则cos=-.0，=即，m、n角度解决向量角问题的方法与注意事项(1)首先利用平面向量的坐标表现，根据这2个向量的数积ab和|a|b|、cos=求出cos，但是也可以根据坐标表现cos=直接求出cos。(2)由于0，因此在通过cos=判断角的情况下，请注意，在cos0中，有时为钝角，有时=，在cos0中，有时一个为锐角，有时两个=0.跟踪训练矢量a=(-1 )与b=(1 ) )所成角度相等，且求出模型的矢量c的坐标.当解c=(x，y )时|c|=、取得： x2 y2=2.c与a和b所成角度相等=得到x-y=x y、联立可得或者c=或课程总结1 .本节课的重点是通过向量坐标运算和向量坐标来解决模型、角度、垂直等问题2 .掌握平面矢量数积的坐标运算及应用(1)矢量数积的坐标运算参照典型例1(2)向量的模型，参照典型例2(3)矢量角度参照典型例33 .本节课的易错点：解决两向量的角度问题时，容易忽略角度为0或的特殊情况1 .如果向量a=(1，1 )，b=(-1，2 )，则为ab=()a.1 b.2 c.3 d.4分析选择 ab=1(-1) 12=1、a。答案 a2 .已知向量a=(x-1，2，2 )、b=(2，1，1 )、ab的满足条件是()a.x=-b.x=-1c.x=5 d.x=0分析 ab，ab=0即，(x-1 )221=0，8756； x=0答案 d3 .已知的a=(-、-1)，b=(1)，a，b的角度=()a.30 b.60 c.120 d.150分析 cos=-. 0，180 =150 .答案 d4 .知道平面矢量a=(2，4 )，b=(-1，2 )，如果c=a-(ab)b，则|c|=_分析 c=a-(ab)b=(2，4 )-2(-1 ) 24 (-1，2 )=(2，4 )-(-6，12 )=(8，-8)222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡答案 85 .已知的a=(2，3 )，b=(-2，4 )，(a b ) (a-b )=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析(a b ) (a-b )=(0，7 ) (4，-1)=04 7(-1)=-7。答案 -7上课时拓展课外阅读1 .数量乘积的综合运用数量乘积及其运算常用于解决几何问题。 求解问题时，一般分为三个步骤：一个向量表示几何关系，两个向量运算，三个复原几何结论当o在abc内一点满足(-)(-2)=0时，abc的形状为()a .等腰三角形b .等腰三角形c .直角三角形d .以上不同分析 -=、-2=- -=.如图所示，将ab、ac作为邻接边，制作平行四边形abdc，连接ad时=(-)(-2)=022222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡平行四边形abdc为菱形ab=ac，即abc是等腰三角形。答案 a点评为了解决这个问题，应用于向量运算的恒等变形、向量相加的几何意义、菱形的判定等，采用了数形耦合的方法2 .与向量有关的最大值问题有关向量的最大值问题总是转化为函数的最大值问题来解决。 即，找出变量，通过向量的坐标运算构建函数，并求出其最大值。 指出利用向量解决函数问题或利用函数和方程思想解决向量问题已成为高考命题的一大热点，值得重视。在平面xoy上有矢量=(1，7 )、=(5，1 )、=(2，1 )，已知点x是直线op上可动点.(1)取最小值时求出的坐标(2)点x满足(1)条件时，求出cosaxb的值.解 (1)点x