高中数学教学论文：函数对称性的探究（通用）

关于函数的对称性函数是高中数学教学的主线，是高中数学的核心内容，是整个高中数学的基础。功能的本质是竞争和高考的焦点和热点。函数的对称性是函数的一个基本性质。对称关系不仅在数学问题中广泛存在，而且可以用来更简单地解决问题。对称关系也充分体现了数学美。本文旨在通过函数本身的对称性和不同函数之间的对称性来讨论函数的对称性。首先，函数本身的对称性定理1。函数y=f (x)的像关于点A (a，b)对称的充要条件是f (x) f (2a-x)=2b证明：(必要性)设定点P(x，y)为y=f (x)图像上的任意点，并且点P(x，y)关于点A (a，b)的对称点p(2a-x，2b-y)也在y=f (x)图像上， 2b-y=f (2a-x-x)也就是说，y f (2a-x)=2b所以f (x) f (2a-x)=2b，必要性得到了证明。(充分性)如果点P(x0，y0)是y=f (x)图像上的任何点，则y0=f (x0)* f(x)f(2a-x)=2bf(x0)f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f (2a-x0)。因此，点p(2a-x0，2b-y0)也在y=f (x)图像上，而点p和点p关于点A (a，b)对称且充分。推论：函数y=f (x)的像关于原点o对称的充要条件是f (x) f (-x)=0定理2。函数y=f (x)的像关于线x=a对称的充要条件是F (a x)=f (a-x)，即f (x)=f (2a-x-x)(证据留给读者)推论：函数y=f (x)的像关于y轴对称的充要条件是f (x)=f (-x)定理3。如果函数y=f (x)的像关于点A (a，c)和点B (b，c) (ab)是中心对称的，那么y=f (x)是一个周期函数，2 | a-b |是它的周期之一。(2)如果函数y=f (x)的像关于直线x=a和直线x=b (ab)是轴对称的，那么y=f (x)是一个周期函数，2 | a-b |是它的周期之一。(3)如果函数y=f (x)的象既关于点A (a，c)是中心对称的，又关于线x=b (ab)是轴对称的，那么y=f (x)是一个周期函数，4 | a-b |是它的周期之一。 的证明留给读者，以下是的证明：函数y=f (x)图像不仅关于点A (a，c)是中心对称的， f (x) f (2a-x)=2c，用2b-x代替x:f (2b-x) f 2a-(2b-x) 函数y=f (x)像线x=b是轴对称的。 f (2b-x)=f (x)被替换成(*):F (x)=2c-f 2 (a-b) x (*)，x由2 (a-b)-x代替。F 2 (a-b) x=2c-f 4 (a-b) x改为(* *):F (x)=f 4 (a-b) x，所以y=f (x)是一个周期函数，4 | a-b |是它的一个周期。第二，不同功能的对称性定理4。函数y=f (x)和y=2b-f (2a-x)的像是关于点A (a，b)的中心对称的。定理5。函数y=f (x)和y=f (2a-x)的像是关于线x=a轴对称的。(2)函数y=f (x)和a-x=f (a-y)的镜像关于直线x y=a对称。(3)函数y=f (x)和x-a=f (y a)的图像关于直线x-y=a对称。定理4和定理5中的(1)和(2)的证明留给读者，定理5中的(3)的证明现在可用如果点P(x0，y0)是y=f (x)图像上的任何点，则y0=f (x0)。如果点P(x，y)相对于直线x-y=a的轴对称点是p(x1，y1)，则x1=ay0，y1=x0-a， x0=a11，y0=x1-a被代入y0=f (x0)以获得函数x-a=f (ya)的图像上的x1-a=f (a11) 点p(x1，y1)。类似地，可以证明函数x-a=f (y a)的图像上的任何点也在函数y=f (x)的图像上，关于直线x-y=a的轴对称点。因此，定理5中的(3)成立。推论：函数y=f (x)的像和x=f (y)的像关于直线x=y对称。第三，三角函数图像的对称列表功能数量对称中心坐标对称轴方程y=sin x(k，0)x=k /2y=cos x(k /2，0)x=ky=tan x(k/2，0)不注：上表中kZ(2)y=tan x的所有对称中心坐标都应为(k/2，0)，而y=tan x的所有对称中心坐标都被认为是(k，0)在浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第1卷(下)中由岑参、王主编，在广西师范大学出版社出版的新高中数学教案(修订本)中由陈主编，这显然是错误的。四、函数对称性应用实例例1:在r上定义的非常数函数满足以下条件：f (10 x)是一个偶数函数，f (5-x)=f (5x)，那么f (x)必须是()(第12个希望杯高2的第二个问题)(a)是偶数函数，而周期函数(b)是偶数函数，但不是周期函数(c)是奇函数，而周期函数(d)是奇函数，但不是周期函数解：f (10x)是一个偶数函数，f (10x)=f (10-x)。f (x)有两个对称轴x=5和x=10，所以f (x)是一个周期为10的周期函数，8756；x=0意味着y轴也是f (x)的对称轴，所以f (x)也是一个偶数函数。所以选择(a)例2:函数y=f (x)和y=g(x)与定义域R具有反函数，并且函数F (x-1)和G-1 (x-2)的图像关于直线Y=x对称。如果g(5)=1999，则函数f(4)=()。(一)1999年；(二)2000年；2001年；(四)2002 .解决方案：函数y=f (x-1)和y=g-1 (x-2)的图像关于直线y=x对称， y=g-1 (x-2)的反函数是y=f (x-1)，而y=g-1 (x-2)的反函数是：y=2g (x)， f (x-1)=2g (x)， f (5-1)=2g (5)=2001因此，f(4)=2001，应该选择(c)例3。设f(x)是定义在r上的偶数函数，f (1x)=f (1-x)。当-1 x 0时，F (x)=-x，然后f (8.6)=_(第八届希望杯高二第一题)解：f (x)是定义在r上的偶数函数x=0是y=f(x)对称轴； f (1x)=f (1-x) x=1也是y=f (x)的对称轴。所以y=f(x)是周期为2的周期函数，f(8.6)=f(80.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3例4。函数y=sin (2x)的图像对称轴的方程是()(92全国高考)(A)x=-(B)A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=解：函数y=sin (2x)的图像的所有对称轴的方程是2x=k x=-，显然对称轴方程当k=1时是x=-所以选择(a)例5。设f(x)是定义在r上的奇函数，f (x2)=-f (x)，当0x1时，F (x)=x，然后f (7.5)=()(甲)0.5(乙)-0.5(丙)1.5(丁)-1.5解：y=f (x