第九章_欧式空间(第二讲).ppt

,线性代数,机动目录上页下页返回结束,度量矩阵与标准正交基,2.1欧氏空间的度量矩阵,设V是n维欧氏空间.1，2，n是V的一个基.对于V中两个向量,由内积性质1，知,令,显然aij=aji.于是矩阵,为一个实对称矩阵.向量,的内积可表为,（1）,这里x,y分别是,的坐标.我们称A为在基1，2，n下的度量矩阵.上述结果表明，当知道了某组基下的度量矩阵A时，任意两向量的内积可以通过这两个向量的坐标按（1）式来计算.可见，度量矩阵完全确定了内积.,例2.1已知三维欧氏空间V在基1，2，n下的度量矩阵为,试判明中向量=1-2与=1+23是否正交？,解在基1，2，3下，向量,的坐标分别为（1,-1,0）T,（1,0,2）T.于是,便知,正交.,定理2.1欧氏空间在任一基下的度量矩阵都是正定矩阵.,证明设V是n维欧氏空间.1，2，n是V的一个基,A是该基下的度量矩阵.为证明实对称矩阵A正定,只须证明实二次型xTAx正定.设,x=（x1，x2，xn）T,为任一非零实n元数组.令,则是V中非零向量.于是,xTAx=（,）0,可见xTAx为正定二次型,从而知A为正定矩阵.,2.2欧氏空间的标准正交基,在第五章第四节中,我们在通常实向量内积下给出了正交向量组、单位正交组的概念,得到了一些相关结果.还给出了从一个线性无关向量组经过逐步正交化和单位化过程求得一个与原向量组等价的单位正交组的Schmidt方法.这些概念和结果都可以平行地在有限欧氏空间中得到.,定义2.1在欧氏空间中,由两两正交的一些非零向量组称为一个正交向量组,简称正交组.,容易证明正交向量组是线性无关的.,定义2.2每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交组.,定义2.3在欧氏空间中，由正交向量组形成的基称为正交基；由标准正交组形成的基称为标准正交基或单位正交基.,n维欧氏空间的n个向量1，2，n构成标准正交基的充要条件是,当i=j时,当ij时,i,j=1,2,n.,在欧氏空间中，Schmidt单位正交化方法从过程到计算公式都和通常实向量组时一样.读者可参见第五章第四节相应的部分.这里就不再重述了.但是应该注意，公式中涉及内积时要按欧氏空间中相应的内积定义来计算.,例2.2设V是线性空间Rx3对于内积,构成的欧氏空间中，Schmidt单位正交化方法求与V中向量组f1(x)=1,f2(x)=1+x,f3(x)=-x2等价的标准正交组.,解先正交化.,其中,即有,再计算,于是,在将g1(x)，g2(x)，g3(x)单位化.由前面计算已得,再计算出,便可得标准正交组,h1(x)，h2(x)，h3(x)即为所求.,在上例中，f1(x),f2(x),f3(x)是三维欧氏空间V的一个基，而经过正交化、单位化后便得到的标准正交基h1(x)，h2(x)，h3(x).与此类似，n维欧氏空间的任一基均可单位正交化得到标准正交基.由此可知下述定理为真.,定理2.2n维欧氏空间必有标准正交基.（n0）,我们之所以关心标准正交基，是因为它比一般基具有明显的优越性.首先我们可以看到，它具有解析几何中采用直角坐标系所带来的那种方便.设1，2，n为一个标准正交基.若向量在该基下的坐标为（x1，x2，xn）T，则,这表明在标准正交基下，向量的第i个坐标分量正是与基中第i个向量的内积（这一结果在一般基下通常是不具有的）.它可以视为“在直角坐标系下，向量坐标的第i个向量是该向量向第i个坐标轴垂直投影”的一种拓广.,还有一点，就是在标准正交基下，度量矩阵最为简明.,定理2.3n维欧氏空间的一个基为标准正交基的充分必要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵.,定理的成立是明显的.,根据定理2.3，如果欧氏空间V中向量,在标准正交基1，2，n下的坐标为x,y，则,这说明，在标准正交基下，两向量的内积体现为它们坐标（作为数组向量）的通常内积.这当然是很方便的.,定理2.4设1，2，n是欧氏空间V的一个标准正交基，(1，2，n)=(1，2，n)P.则1，2，n为标准正交基的充分必要条件是P为正交矩阵.,证明设P按列分块为P=（P1，P2，Pn），则Pi是i在基1，2，n下的坐标（i=1,2,n）.,若1，2，n为标准正交基，则,这说明P为正交矩阵.,反之若P为正交矩阵，则,即知1，2，n为一个标准正交基.,2.3欧氏空间子空间的正交补,定义2.4如果欧氏空间V的非空子集V1对于V的加法、数乘及内积也构成一个欧氏空间，则称V1为V的一个欧氏子空间.,注意到在欧氏空间V中成立的有关内积的性质，在V的非空子集V1上自然成立，因此对于欧氏空间V，如果V1是V作为线性空间的子空间，它也就是V作为欧氏空间的子空间了.,定义2.5设V1，V2是欧氏空间V的两个子空间.如果对于V1中任意向量及V2中任意向量，都有,（，）=0，,则称V1与V2是正交的子空间，记为V1V2.,显然，两子空间的正交总是相互的.,定义2.6对于欧氏空间V的字空间V1，如果有V的子空间V2，使得V1V2并且V1+V2=V，则称V2是V1的正交补空间，简称正交补，并记V2=V1.,按此定义，显然V1也是V2的正交补，也就是说V1与V2互为正交补.此时由于V1V2=0，故知V=V1+V2=,即说互为正交补的两个子空间的和必是直和.,例2.3设1，2，n是n维欧氏空间的正交基，1mn，若令,则V1与V2互为正交补.,证明对于V1中任意向量,及V2中任意向量,因为,便知,可见V1V2.,在由第七章习题7.1（B）4题的结果知,即V1+V2=V.,综上可知V1与V2互为正交补.,定理2.5n维欧氏空间V的任一子空间V1必有正交补.,证明如果V1为平凡子空间，因为V与0互为正交补，所以此时定理结论显然成立.,今设V1为非平凡子空间.取V1的一个基1，2，m（1mn）.先将它扩充为V的一个基;1,2,m,m+1,m+2,n;再用Schmidt逐步正交化方法求出V的一个正交基1,2,m,m+1,m+2,n.注意,V1=L(1，2，m)=L(1,2,m),若设V2=L(m+1,m+2,n),则由上面的例2.3即知V2是V1的正交补.,例2.4设V=R3是对于通常的数组向量加法、数乘及内积运算所成的欧氏空间.已知V中向量1=(1,0,-1)T,子空间V1=L(1),试求V1的正交补.,解法1取2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T,则1,2,3为V的一个基.将1,2,3逐步正交化得,令V2=L(2,3),则V2为V1的正交补.,解法2设(x1,x2,x3)T是与1正交的任意向量,则应有,x1-x3=0,求得该方程的通解为,k1，k2为任意实数.,可知,k(+)=k+k,kR3,0,V中.CF上RV1+V2V1V2An维1，2，s1，2，rstrN1，2，nSchmidtPV1V21，2，ndim(V)e1Ei（i=1,2,n）E11，E12，E21，E22Rx3k1，k2，ks（x1，x2，x3）T1，2，3AB1，2，n（x1，x2，xn）T1，2，3（x1,x2,x3）Tk（V）Rxn（1），（2），（s）1（i）（i=1，