Banach空间及其相关定理

课程作业现代课程分析基础学生姓名学校编号能力专业贸易教师15年12月4日内容导言12巴拿赫空间基本概念12.1拟范数的定义和示例1Banach空间2.22.3 Banach空间中的线性变换及其性质3一致性有明确的原则和推论3.1问题43.2基本概念43.3一致性有一个定义及其推论53.4一致有界定理及其推论6的应用哈恩-巴拿赫定理和凸集分离定理74.1实线性空间上的哈恩-巴拿赫定理74.2复线性空间上的哈恩-巴拿赫定理84.3赋范线性空间上的哈恩-巴拿赫定理84.4哈恩-巴拿赫定理9的一些推论4.5哈恩-巴拿赫定理的几何形式：凸集分离定理9Banach空间中的5开映射、闭图像定理和逆算子定理95.1开放映射定理95.2逆算子定理115.3闭像定理126摘要14参考文献15巴拿赫空间及其相关定理南京工业大学自动化学院，江苏南京本文主要介绍巴拿赫空间及其相关定理。首先，本文介绍了Banach空间的背景及其应用领域。然后介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。最后，从一致定义定理出发，依次介绍了Banach空间中的Hahn-Banach定理、开映射、闭图像和逆算子定理，并给出了相应定理的证明。关键词：巴拿赫空间；一致性有一个定义。哈恩-巴拿赫定理；开映射，闭图像，逆算子定理介绍Banach空间是一种具有“长度”的线性空间，是泛函分析的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的材料。自魏尔斯特拉斯(t.w .)以来，人们一直关注闭区间上的连续函数a，b及其一致收敛性。即使在19世纪末，阿斯科利在a，b中得到了连续函数族的紧性准则，后来它被成功地应用于常微分方程和复函数理论。1909年，李斯在0，1上给出了连续线性泛函的表达式，这是学术分析史上的一件大事。还有一个非常重要的空间，就是由勒贝格在0，1中总结的所有函数构成的空间。从1910年到1917年，人们研究了它的基本性质。连续线性泛函在其上的表示阐明了通向对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这个空间，并引入了全连续算子的概念。当然，人们也应该想到希尔伯特空间。基于这些具体而生动的材料，巴拿赫，s和维纳，n在1922年独立地提出了今天所谓的巴拿赫空间的概念，并在不到10年的时间里发展成为一个有许多应用的完美理论1。由于它在数学和其他学科中的广泛应用，它在20世纪30年代得到了极大的发展，并很快成为一门独立的学科2。巴拿赫空间理论也是泛函分析的主要组成部分，它是泛函分析所涵盖的另外三个主要研究方向：算子理论、应用泛函分析和巴拿赫代数的理论基础，这影响了它们的发展3。自20世纪60年代以来，巴拿赫空间理论不仅得到了深入发展，而且在量子力学和物理学等许多领域得到了广泛应用。它已经成为自然科学和工程技术不可或缺的重要研究工具。接下来，本文将分四章介绍Banach空间及其相关定理。本文从第二章中的Banach空间概念入手，逐步引出Banach空间中的相关定理，包括一致有界性定理、Hahn-Banach定理、开映射、闭图像定理和逆算子定理。功能科学体系的建立得益于20世纪初巴拿赫空间定理的引入。Banach空间的两个基本概念在讨论Banach空间之前，本文用一些定义来解释Banach空间，并介绍一些相关的基本概念。2.1拟范数的定义和例子定义2.1.1线性空间：如果X是线性空间，则满足X中的加法：(1)x y=y x(交换定律)(2)(x y) z=x (y z)(组合定律)(3)为零，因此 x=x(4)存在一个逆元素x ,使得xx=，x表示为-x对数乘法满足：(5)1x=x，x=(6)(x)=x(结合定律)(7) ( )x=x x(次数分布定律)(8) (x y)=x y定义2.1.2设K是实数域R或复数域C，X是数域K上的线性空间，如果| | | |是X到R的映射，并且满足：(1)| | X | |=0当且仅当x=0，xX(2)所有X，yX，|x y|C|x| C|y|(3)如果xX和K，则|x|=| |x|其中(2)中的常数c不依赖于x，y，它被称为| | | | x上的拟范数，而| | x | | x的拟范数，在这种情况下，(x，| | | | |)被称为拟赋范线性空间4。定义2.1.3集(x，| | | |)为拟赋范线性空间和|x|为x的拟范数，则有|-x|=|x|，limn0n=0，limxn0|xn|=05下面给出了一个拟赋范线性空间的例子：例2.1.1对于0 p 1，lp=(xi)|xiK，I=1 | Xi | p 是拟范数下的拟赋范线性空间| | x | |=(I=1 | Xi | p)1p。2.2巴拿赫空间定义2.2.1在定义2.1.2的条件下，如果C=1，(x，| | | |)显然是线性赋范空间。一般来说，准范数|x|不一定是x上的范数。定义2.2.2如果在赋范(准赋范)线性空间xlimn，mxn-xm=0点列xn称为柯西点列。定义2.2.3赋范(准赋范)线性空间x，如果它是完全的，也就是说，x中的每个柯西点列xn都强收敛于某一点x0:limnxn-x0=0线性空间x被称为巴拿赫空间。(关于强收敛的定义，请参见定义2.2.4)巴拿赫空间的一个例子如下：例2.2.1 (1)中的a，b |x|=maxta，b|x(t)|，x(t)a，b。(2)在m中，|x|=sup10。因此，任何满足|0的实数都可以表示为=-，其中， a因此，从Pn()=Pn(-)Pn()Pn()，limnpn()=0在|0|上保持一致。如果M是任何正数，并且取正整数kM/0，则pn(k)kpn()知道所有|M，(1)成立，证明是完整的。2.3 Banach空间中的线性变换及其性质定义2.3.1让T是从赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性变换，并将其范数定义为T=supTxx:xX,x0如果|T|，则T是有界变换。注1:在上面的公式中，|x|是x中向量x的范数，|Tx|是y中向量Tx的范数。当几个范数同时出现时，我们可以根据上下文找出我们指的是哪个范数。注2:由于| | Tx | | T | | | | x | |也t=suptxx:xx,x0=supt(txx):x0suptx:x=1因此T=supTxx:xX,x=1这意味着T将x中的封闭单位球映射到以0为中心，以|T|为半径的封闭球上定义2.3.2让X是Banach空间，F: X R是泛函。(1)如果对于任何x1，x2X，f(x1 x2)=f(x1) f(x2)，R，f(x)=f(x)，f称为X上的线性泛函(2)如果任何xX有一个正数M，使|f(x)|M|x|，则f称为X上的有界泛函(3)如果对于任何xn，xX，xnx，一定有f(xn) f(x)，那么f被称为X上的连续泛函定义2.3.3如果T是从赋范(准赋范)线性空间X到赋范(准赋范)线性空间Y的线性变换，那么下列命题是等价的：(1)T是有界的(2)T是连续的(3)T在x的某一点上是连续的一致性有明确的理由和推论在前一章中，本文介绍了Banach空间的基本知识。接下来的章节将从一致定义理论开始，并介绍Banach空间中的一些相关定理。3.1问题设X是赋范线性空间，并且是有界算子族t: a B(XY)。如果满足以下条件：x x，t: a是x中的有界集，那么问t: a是否是b (x y)中的有界集？1927年，巴拿赫(巴拿赫)和施泰因豪斯(施泰因豪斯)给出了一致有界定理来回答这个问题。这个定理也是巴拿赫空间理论的基石之一6。3.2基本概念在学习共识和定义之前，你需要了解一些基本概念。定义3.2.1如果集合Ex的闭包E不包含X的非空开集，则集合Ex称为无稠密集。任何没有稠密集的列的和称为第一类型集。x的其他集合称为第二类型集合。显然，e是稠密集int (e)=，它不在x中。事实上，如果E是一个无处不在的稠密集，并且INT(E),那么X INT (E)=，所以有r0，使得U(x，r) E，即E，在U (X，R)中是稠密的，这与定义相矛盾。相反，如果int (e)=。如果m不是无处不在的稠密集，那么r0，x x使得u (x，r) e，xint(E)，这与int (e)=1是矛盾的。定理3.2.1 (Baire-Hausdroff定理)任何完备度量空间都是第二类集；换句话说，x的稠密开子集的任何列的交集在x中是稠密的。(注意：这个定理的逆定理是不正确的。Bourbaki (bourbaki)在1955年给出了一个反例：不完全空间仍然是第二类集。)证明：设Vn是X中的稠密开集，W是X中的任意开集。我们需要证明当WW (NVN)时。让d是x的度量，记得吗当S(x，r)=yX:d(y，x)n，xi，xjB(xn，rn)，因此d(xi，xj)2n，因而xn是柯西点列。因为X是完全的，并且xX存在，所以limn xn=x另一方面，因为在，xiS(xn，rn)。因此，对于每个n，xS(xn，rn)，(2)，证明了在每个Vn中x由(1)，xW证明。3.3一致性有明确的原则和推论定理3.3.1(一致定义)如果x是B空间，y是赋范线性空间，并且t: A是一族有界线性算子，那么要么有一个正数M0，因此对于每个A| T|M，或者对于某些稠密的