《非线性电力系统分析讲义》-甘德强

非线性电力系统分析与控制讲义甘德强从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力系统工程师们最关心的主题之一。例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当适当了解或者掌握的。除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定性问题的非线性动力学基本特征。本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳定性问题。讲义为浙江大学电力系统专业研究生使用。课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通过期末考试。预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡方万良杜正春著）和现代控制理论（如刘豹著）。课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学内容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等内容，以便保持与学科发展同步，为科研创造有利条件。在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献：1. H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second edition, 19962. S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer-Verlag, New York, 19993. M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Second Edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, USA, 1993目录一概论311 平面线性系统312 非线性系统5参考文献7二常微分方程基本定理721 数学基础722 解的存在唯一性1023 解对初值的连续性13参考文献13三稳定性理论1331 自治系统平衡点稳定性1432 自治系统中心流形2133 自治系统稳定域2134 自治系统全局稳定性和有界性2335 非自治系统稳定性24练习25四微分代数方程26五暂态稳定分析和预防控制2661 数学模型2762 仿真法2763 直接法2764 暂态稳定预防控制27参考文献27符号说明28研究生课程教学大纲28一概论11 平面线性系统考虑下述天然“解耦”的平面系统：，或者采用矩阵形式：系统的解为：，或者采用矩阵形式：注意解曲线满足关系：组成了所谓相平面，上述关系可以采用相图表示，如下图。图 线性系统的相图当一个平面线性系统不局部天然“解耦”结构时，其解同样存在一般形式Khalil 1996。下面简单介绍。对平面系统：其解具备如下通用形式：其中为相似变换矩阵，可逆；为约当矩阵。矩阵都是实数的。取决于矩阵的特征值分布情况，约当矩阵有如下三种通用形式：其中元素都是矩阵在不同情况下可能的特征值。下面对三种形式可能出现的情况分别进行介绍。一矩阵有两个不相同的实数特征值下图显示了此时可能出现的三种情况。图 (a) 稳定结点（）；(b) 不稳定结点（）；(c) 鞍点（）二矩阵有两个共扼特征值（）注意由定义，此时同样可能出现的三种情况，如下图所示。图 （a）稳定焦点（）；（b）不稳定焦点（）；（c）中心（）三矩阵有两个相同的非零实数特征值现在有四种情况可以考虑，如下图所示。图 (a) 稳定结点（）；(b) 不稳定结点（）图 (a) 临界稳定结点（）；(b) 临界不稳定结点（）四矩阵有一个或者二个零实数特征值这是退化的情况，详见文献Khalil 1996。最后，我们给出几个定义。定义（汇点Sink）稳定结点和焦点称为汇点。定义（源点Source）不稳定结点和不稳定焦点称为源点。12 非线性系统现实中绝大部分动态问题都是非线性的，例如如下单机无穷大电力系统：其中，和为两个正常数。一个非线性的动态问题由下述常微分方程述：（自治系统）或者（非自治系统）对一般的常微分方程或者都难以找到解析解，因此非线性系统的分析及具挑战性。定性分析和数值计算是最常见的研究手段。另外一方面，非线性系统表现出许多引人入胜的特征。定义（平衡点或者奇点）满足的点称为自治系统平衡点；满足的点称为非自治系统的平衡点。假设，令，自治系统可以变换为：这样新坐标体系下原点就称为上述系统的平衡点。这样的变换总是存在的，并且对非自治系统也成立。为简化表达，后面我们经常就假设一个非线性系统的原点就是平衡点。定义（孤立平衡点）自治系统的平衡点是孤立平衡点的，如果存在，使得在内没有其它平衡点。引理（孤立平衡点充分条件）Vidiyasagar 1993; Sastry 1996如果矩阵非奇异，则自治系统的平衡点是孤立平衡点。证明因为非奇异，所以存在，满足将在原点进行泰勒展开得到：其中是的平方项，满足：上式表明，存在，使得：，这样，当时，。证毕 定义（平面系统闭轨）Sastry 1999一个集合称为闭轨，如果不是一个孤立平衡点，且存在，使得：， 在一个平面非线性系统的相图中，闭轨是一条闭合曲线。例如，在线性系统中，围绕中心的一条解曲线在相平面形成闭轨。定义（平面系统极限环）Sastry 1999孤立的闭轨就是极限环。例子Sastry 1999考虑下述非线性系统进行极坐标变换，我们得到新系统：这个系统存在极限环。参考文献4. 廖晓昕，稳定性的理论，方法和应用，华中科技大学出版社，1999二常微分方程基本定理21 数学基础一欧氏空间理论分析定理（维尔斯特拉斯）欧氏空间连续函数在紧致集合上取得极大值。定义（函数序列）对于每一个，称函数序列收敛于。函数为函数序列的极限函数，记为。例 令，定义了一个函数序列，如下图所示。011图 函数序列（取自Sprecher）令 如果 ，显然函数序列收敛于。注意到是不连续的。那么，函数序列满足什么条件时其极限函数是连续的呢？这个条件为一致收敛。定义（一致收敛）对定义在集合上的函数序列，对任意给定，存在，使得只要，则对所有，有称函数序列一致收敛于。定理（柯西定则）在集合上的函数序列一致收敛于当且仅当：对任意给定，存在，使得只要，则对所有，有。定理如果在集合上的函数序列一致收敛于，则是连续函数。定义（李普希茨条件）假设函数定义在上，且存在，使得对任意，有：，则称函数在上满足李普希茨条件。常数为李普希茨常数。定理陆启韶设在凸集上，函数的所有一阶偏导数存在且有界，则在上满足李普希茨条件（试采用微分中值定理证明）。引理假设函数定义在上，且满足李普希茨条件，则是连续函数。引理 定理（范数等效）二线性空间理论分析定义（线性空间）定义（范数）例子连续函数的集合，用表示，形成一个线性空间。如果我们令，则建立了一个赋范线性空间。定义（收敛）定义（完备性）定义（巴拿赫空间）完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。定义（压缩映射）设为一赋范线性空间，那么映射称为压缩映射，如果存在，使得，011图 压缩映射定义（不动点）巴拿赫空间的一个点称为映射的不动点如果。定理（压缩映射原理）假设为一巴拿赫空间的闭集，则压缩映射有唯一的不动点。证明：令，构造序列，。注意：令，则上式表明，只要足够大，可以任意小。这就证明序列是柯西序列。因为是完备空间，所以的极限存在，令其为。因为压缩映射是连续映射，则：这就证明，为不动点。假设也是一个不动点，则因为，上式说明，即不动点是唯一的。波兰数学家Banach（巴拿赫）于1910年前后证明了上述定理，因此又称巴拿赫不动点定理。压缩映射原理在更抽象的距离空间也适用。22 解的存在唯一性建立常微分方程初值问题后关心的第一个问题就是，初值问题解的存在性和唯一性。下面介绍一个常见的结果。定理Hirsch-Smale（解的局部存在唯一性）令为一闭集，假设存在，使得连续函数满足：，则存在闭集，使得下面常微分方程初值问题在上存在唯一解：，。证明定理的证明由五个步骤组成。（1）将常微分方程转化为积分方程假设是初值问题的解，也就是说：，。显然，满足下面的积分方程：反之，如果是上述积分方程的解，对两端求导得：，且。因此，上述积分方程和原初值问题等价。下面我们只要证明等价的积分方程存在唯一解就可以了。（2）构造毕卡函数序列定义如下函数序列：，设为一闭集，。令，注意且：上式中常数总存在。因此，总能够找到闭集，使得。（3）证明一致收敛首先运用数学归纳法证明：存在常数，使得对所有，有：。令，这样：假设对，我们有：，则：现在我们采用柯西定则证明一致收敛。令，上式说明，只要足够小使得，对任意给定，总存在（足够大），使得对任意，总有，即一致收敛。（4）证明是积分方程的解设一致收敛于连续函数，对积分方程两端取极限得：现在我们证明：这是显然的因为，给定任意，总存在足够小，使得只要，就有：这样我们就证明了函数序列的极限函数满足积分方程。（5）证明积分方程解的唯一性假设和都是积分方程的解，令，且最大值在处，即：。注意：因为，上式只有在时才成立。这就证明：，即积分方程的解是唯一。证毕上述定理的证明由毕卡（Picard）完成，定理中的函数序列又称毕卡序列。下面我们从抽象空间的高度，运用巴拿赫不动点定理证明常微分方程解的存在唯一性。定理Arnold, 1973（解的局部存在唯一性）令为一闭集，假设存在，使得连续函数满足：，则存在闭集，使得下面常微分方程初值问题在上存在唯一解：，。证明：首先如前述初值问题等价于积分方程的解的存在性和唯一性。定义映射：令。现在假设，为一闭集，需要证明。这是显然的，因为：上式中只要足够小，就有。实际上，也是压缩映射，注意令，上式可以写作：只要足够小，就有，即是压缩映射。由压缩映射原理，在闭集上存在唯一不动点，即：。也就是说，积分方程的解存在和唯一。证毕由于压缩映射原理的高度概括性，采用压缩映射原理后，定理的证明大大简化。解的局部存在唯一性定理断言，在区间上初值问题存在唯一解。这个结论具有局部性质。事实上，在点处重复使用这个定理，就可能将解的存在区间延拓。但延拓有时是有极限的。例子Khalil 1996考虑单变量系统，解的存在性。函数在任意紧致集合满足李普希茨条件，所以解是局部存在唯一的。解曲线在区间上存在。当，解曲线在处逃逸。解的延拓不能超过有限逃逸时间。定理（解的全局存在唯一性）Sastry 1999; Khalil 1996假设存在和，对，使得连续函数满足：则常微分方程初值问题在区间上，对所有，存在唯一解：，。证明注意根据前述解的局部存在唯一性定理知道，在区间上初值问题，的解是存在和唯一的。令在区间上这个解为，考虑如下初值问题：，上述初值问题同样满足解的局部存在唯一定理的条件，因此问题的解存在且唯一，其存在区间为。这样我们就证明了在上解存在且唯一。重复这个过程，定理得证。例子Khalil 1996假设，则线性时变系统的解全局存在且唯一。23 解对初值的连续性定理（解对初值的连续性）Sastry 1996假设初值问题，满足解的存在唯一条件。设为两个不同的初值，相应解曲线为，则对任意给定，存在，使得： 证明注意由格朗维尔不等式，对，这样，对任意，总存在，使得。证毕参考文献三稳定性理论定理（线性系统稳定性）Khalil 199631 自治系统平衡点稳定性本节考虑如下常微分方程解的稳定性：假设在上且保证上述初值解的存在唯一性。一稳定性和渐进稳定性基本定理定义（局部正定函数）Sastry,1999连续可微函数是局部正定函数如果：，定义（类函数）Sastry,1999连续函数是类函数如果其严格增且，记做。定义（类函数）Khalil,1996如果且，称为类函数。许多书中称类函数为类函数。定理 对任意局部正定函数，必存在两个函数，使得：，定义（自治系统局部稳定性）自治系统平衡点是稳定的如果给定，总能够找到，使得：定义函数对常微分方程的全导数等于：定理（自治系统稳定性）令为常微分方程的平衡点，如果存在：（1）连续可微函数满足，（即局部正定函数）（2）全导数，则平衡点是稳定的。证明1Perko2001，陆启韶1989取任意，满足。记：由局部正定知。由于连续且，存在，使得： 由于，所以非增，即：，由于是上的最小值，因此从内出发的任何解曲线都不会到达的边界，即。证明可以到此结束。但如果对此结论有疑问，现在采用反证法证明。假设从，出发的解曲线在时刻到达，即：，则因为，所以：上式矛盾。所以： ，证毕上述定理由俄国数学家李亚普诺夫于1892年建立。下图给出了定理的几何意义。图 李亚普诺夫稳定性定理的证明证明2由于局部正定，存在，使得:，给定，由于连续且，存在，使得时：由于，所以：因为，所以：由于单调增，所以：。证毕借助于类函数，上述第2种证明方法更简单，思路清晰。这个方法的思想在非自治系统也可以采用，使得自治系统和非自治系统的稳定性证明统一起来。但是，两种证明方法都应当掌握，因为在文献里面，两种证明方法都常见。定义（自治系统渐进稳定性）自治系统平衡点是渐进稳定的如果给定，总能够找到，使得：（1）（2）注意，上述定义中，第（2）个条件并不隐含第（1）个条件。稳定和渐进稳定的区别如下图所示。稳定渐进稳定图 稳定和渐进稳定定理（自治系统渐进稳定性）令为常微分方程的平衡点，如果存在：（1）连续可微函数满足，（即局部正定函数）（2）全导数，则平衡点是稳定的。证明1 Brauer-Nohel1969, Khalil1996渐进稳定性的第（1）个条件已经满足，现在我们用反证法证明：给定，存在，只要，就有：首先注意因为连续函数严格下降且存在下界，所以极限存在。假设存在，使得：，因为在原点连续，所以存在，使得： 这样满足的解曲线一定满足：。令：上式成立因为是连续函数，其在紧致集合上存在最大值。再注意： 但是当足够大时上式变成：显然错误。因此，不存在，使得：，这就证明不成立，因此：由此可得，证毕证明2Miller-Michel 1982, Sastry 1999证明3Hirsch-Smale 1974; Perko 2001定理的几何意义非常清楚，见下图。因为，图中等高线，最后收缩至原点，意味系统是渐进稳定。图 自治系统渐进稳定性的几何意义定义（稳定矩阵）矩阵是稳定矩阵如果的所有特征值的实部满足。定理Khalil 1996矩阵是稳定矩阵，当且仅当对任意给定对称正定矩阵，存在对称正定矩阵，满足如下李亚普诺夫矩阵方程：而且，如果矩阵是稳定矩阵，则是唯一的。定理（李亚普诺夫第一方法）Khalil 1996令，非线性系统的平衡点是渐进稳定的如果矩阵是一个稳定矩阵；是不稳定的如果的一个特征值的实部大于零。证明我们将只证明第一个结论，即如果是稳定矩阵，则是渐进稳定的。由泰勒定理知道，在里面：其中满足： 因此，给定任意，存在，使得： ，即：令为一对称正定矩阵，定义：计算全导数：这样，只要足够小，就有：。因此平衡点是渐进稳定的。证毕二渐进稳定性的不变性原理前面介绍的渐进稳定性定理要求，下面介绍一组只需要的结果，即拉萨尔不变性原理。首先我们给出一组定义。在定义中令代表自治系统的解曲线。定义（正极限集）称为自治系统的正极限集，如果对任意，都存在一个序列，满足：在许多文献里，正极限集又称极限集。例子渐进稳定系统的原点是正极限集；稳定极限环是正极限集。定义（不变集）称为自治系统的不变集，如果：例子自治系统的平衡点和极限环都是不变集。引理Khalil 1996如果是有界的，则其正极限集非空，紧致，不变，并且:拉萨尔不变性原理有两种常见表达方式，下面分别介绍。定理（拉萨尔不变性原理1）Khalil 1996假设存在连续可微函数，令为一紧致正不变集，而且令，再令为中最大不变集，则： 当时，收敛到。证明定理（拉萨尔不变性原理2）Sastry 1999假设存在连续可微函数，令为一闭集，而且令，再令为中最大不变集，则： 当时，收敛到。证明假设，因为，所以非增，这样。也就是说为一不变集。拉萨尔不变性原理的条件完全满足。证毕拉萨尔不变性原理有三个进步Khalil 1996。第一，突破了对一个稳定平衡点的研究，它还提供了一个计算稳定域（上述定理中）的方法。而稳定域是电力系统暂态稳定分析中最关心的课题。第二，有趣的是，在拉萨尔不变性原理中，函数甚至不必要是正定的，只要连续可微就可以了。第三，全导数不必要（严格）负定，半负定就可以了。下述结果是拉萨尔不变性原理的一个特例。定理（巴巴欣克拉索夫斯基定理）令为常微分方程的平衡点，如果：（1）存在连续可微函数满足，（即局部正定函数）（2）并且全导数， （3）集合不包含整条解曲线则平衡点是渐进稳定的。显然，巴巴欣克拉索夫斯基定理中第（3）个条件可以修改为：集合只包含原点。这样我们有如下常见推论。推论令为常微分方程的平衡点，如果：（1）存在连续可微函数满足，（即局部正定函数）（2）并且全导数， （3）集合只包含原点则平衡点是渐进稳定的。三指数稳定性定义（指数稳定性）32 自治系统中心流形考虑自治系统，其平衡点雅可比矩阵。李亚普诺夫第一方法解决了当有非零实部特征值时的系统稳定性问题，下面要介绍的哈特曼格鲁巴曼定理进一步扩展了这一认识。但是，采用线性化无法解决当存在零实部特征值时的系统稳定性问题，中心流形理论给这个问题提供了一个漂亮的答案。一双曲平衡点定义（Inset，Outset）Sastry 1999定义（稳定，不稳定流形）定理（哈特曼格鲁巴曼定理） 哈特曼格鲁巴曼定理指出，当非线性系统具有双曲平衡点时，其线性化系统和原系统存在拓扑等价关系。定理（稳定流形定理）二非双曲平衡点当非线性系统存在非双曲平衡点时，其线性化系统与非线性系统不一定存在拓扑等价关系。例子定理（中心流形定理）将非线性系统：令，得：注意：。假设包含个零实部特征值，个负实部特征值。这样，采用相似变换后，总可以表达为：其中为包含个零实部特征值的方阵，为包含个负实部特征值的个方阵；函数，及其一阶导数在处都等于零。中心流形定理断言，存在和光滑函数，使得当时，且满足边界条件 。关系式定义的曲线称为中心流形。将带入，并注意，得到中心流形应当满足的条件：将求得的中心流形带入，得到降阶系统：定理如果降阶系统的平衡点是稳定（渐进稳定，不稳定）的，则原系统是稳定（渐进稳定，不稳定）的。现在的问题是如何求取中心流形。对此，我们有如下结果。定理例子33 自治系统稳定域成功的对一类非线性系统的吸引域进行定性刻划是电力系统暂态稳定研究领域的最重要的理论贡献。定义（稳定域）例子下述两阶系统Khalil 1996：存在三个平衡点：，其稳定域包含在穿越平衡点和的两条轨线之间，如下图。图 例题相图运用拉萨尔不变性原理可以对稳定域进行近似估计Khalil 1996。看下面的例子。例子Khalil 1996计算如下两阶系统的稳定域：解：首先将右端项线性化，得出此矩阵的所有特征值为负，平衡点是渐进稳定的。现在解如下李亚普诺夫方程：得：取李亚普诺夫函数，其全导数为：在推导上式过程中我们用到关系式和。这样，如果取：就能够保证。现在我们如果选择如下：显然，根据拉萨尔不变性原理，就是一个稳定域的子集（见下图）。图 不包含边界的阴影部分为稳定域的一个子集引理（吸引域基本性质）Khalil 1996吸引域是一个开的，连通的不变集。证明引理（稳定域边界）Hahn 1967稳定域边界由轨迹组成。定理（双曲系统吸引域边界）34 自治系统全局稳定性和有界性一全局稳定性定义（全局渐进稳定）定理（全局渐进稳定）二有界性定义（有界性）35 非自治系统稳定性在这一节，我们考虑下述非自治系统：假设在上且保证上述常微分方程解的存在唯一性。定义（正定函数）定义（无穷小上有界函数）定理（非自治系统稳定性）【廖晓昕1999，Rouche1977，Miller1982】若在区域上存在1) 正定函数，2) ，则平凡解是稳定的。证明：由正定，知存在，使得：。注意到以及在区域上且连续。对任意，存在（足够小），当时：。因为，所以非增，因此：（）由和上面不等式得到：（）因为单调增，所以：（）证毕如果比上述定理多要求一个条件，即有无穷小上界，则可以得到一致稳定，如下面的结果所述。定理（非自治系统一致稳定）【Miller1982】若在区域上存在1） 正定函数，2） ，3） 有无穷小上界，则平凡解是一致稳定的。证明：由假设知道存在使得：（）注意到在处连续，因此给定，存在（足够小）满足：。这样如果则：因为，所以非增，因此：而且：因为单调增，所以：证毕定理（非自治系统一致渐近稳定）Miller-Michel1982, Sastry1999定理（非自治系统指数稳定）定理（一致有界）【Miller1982】定理（一致最终有界）【Miller1982】定理（一致最终有界）【Khalil1996】练习练习1练习2取，计算下述系统稳定域。四微分代数方程HillMareels1990五暂态稳定分析和预防控制一个电力系统在遭受大的干扰（如发电机端口发生三相短路故障）后，各个发电机转子会发生相对运动，其运动轨迹由一个常微分方程（所谓摇摆方程）初值问题描述。如果故障切除瞬间系统的状态处于故障后系统的稳定域内，则故障轨迹将收敛到一个稳定平衡点。我们称系统是暂态稳定的；否则，为暂态不稳定1，2。61 数学模型62 仿真法63 直接法EEAC，TEF等方法及其数学基础64 暂态稳定预防控制陈洛南，甘德强，王建全参考文献1 倪以信，陈寿孙，张宝霖，动态电力系统的理论和分析，清华大学出版社，2002年5月2 余贻鑫，王成山，电力系统稳定性理论与方法，科学出版社，19993 D. Gan, R. J. Thomas, R. D. Zimmerman, Stability-Constrained Optimal Power Flow, IEEE Trans. On Power Systems, vol. 15, no. 2, May 2000, pp. 535-5404 M. Pavella, D. Ruiz-Vega, “A Comprehensive Approach to Transient Stability Control, Part I: Near Optimal Preventive Control, paper submitted to IEEE Trans. On Power Systems, TPWRS-00275-20025 M. Pavella, D. Ruiz-Vega, “A Comprehensive Approach to Transient Stability Control, Part II: Open Loop Emergency Control, paper submitted to IEEE Trans. On Power Systems, TPWRS-00276-20026 E. De Tuglie, M. Dicorato, M. La Scala, P. Scarpellini, “Dynamic Security Dispatch under Practical Constraints”, 14th Power System Computation Conference, Sevilla, Greece, June 20027 H.D. Chiang, “Direct stability analysis of electric power systems using energy functions: theory, applications, and perspective”, Proceedings of the IEEE, vol. 83, no. 11, 1995, pp. 1497-15298 杨新林，孙元章（Yang Xinlin， Sun Yuanzhang），“电力系统动态安全调度新算法”，电力系统自动化(Automation of Electric Power Systems)，第26卷第6期，2002年3月9 L. Chen, Y. Tada, H. Okamoto, R. Tanabe, A. Ono, “Optimal Operation of Power Systems with Transient Stability Constraints”, IEEE Trans on Circuits and Syst