二叉树的性质总结

一、二叉树的性质性质1、二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。用数学归纳法证明推广：k叉树(或度为k的树)的第i层上至多有k i-1（i 1）个结点性质2、度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。21-1 + 2 2-1+ 2 h-1 = 2 h-1 推广：深度为h的k叉树(或度为k的树)中至多含有 (k h-1)/(k-1)个结点 k1-1 + k 2-1+ k h-1 =( k h-1)/(k-1)性质3、若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子结点， 有n2个度为2的结点，则：n0=n2+1证明：设：有n0个叶子结点，有n1个度为1的结点，有n2个度为2的结点， 则二叉树中结点总数为：n=n0+n1+ n2 (1)设分支的总数为m,则：m= n1+2 n2 (2) 因为n=m+1（3）所以： n0+n1+ n2 = n1+2 n2 +1 整理得： n0= n2+1 推广: 度为k的树有n1个度为1的结点， n2个度为2的结点，nk个度为k的结点则n0为: ki=1( i- 1)ni+1性质3推广的证明于性质3的证明设：有n0个叶子结点，有n1个度为1的结点， n2个度为2的结点，nk个度为k的结点 则结点总数为：n=n0+n1+ n2 +nk(1)设分支的总数为m,则：m= n1+2 n2+knk 因为n=m+1（3）所以：n0+n1+ n2 +nk = n1+2 n2+knk +1 整理得： n0= 0n1+1n2+(k-1)nk+1性质4、具有n个结点的完全二叉树，其深度为2n+1证明：设n个结点的完全二叉树的深度为k，根据性质2可知，k-1层满二叉树的结点总数为： 2k-1-1 k层满二叉树的结点总数为： 2k-1 显然有： 2k-1 - 1 n 2k- 1 2k- 1 n 2k 取对数有：k -1 log2n k因为k是整数，所以k -1 = log2n ， k= 2n+1结论成立。推广: 具有n个结点的完全k叉树，其深度为 logk(k-1) n +1设n个结点的完全k叉树的深度为h，根据性质2推广可知，h-1层满k叉树的结点总数为：(k h-1-1)/(k-1) h层满二叉树的结点总数为：(k h-1)/(k-1) 显然有： (k h-1-1)/(k-1) n (k h-1)/(k-1) k h-1-1 (k-1) n k h-1 k h-1 (k-1) n k h 取对数有：h -1 logk(k-1) n 1,则该结点的双亲结点编号为 k/2 。(2)若2k=n,则编号为k的左孩子结点编号为2k;否则该结点无左孩子结点(显然也没有右孩子结点)。(3)若2k+1=n,则编号为k的右孩子结点编号为2k+1;否则该结点无右孩子结点推广:一个深度为L的满K叉树有以下性质：第L层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有K棵非空子树，如果按层次顺序从1开始对全部结点进行编号，求：1）各层的结点的数目是多少？ 2）编号为n的结点的双亲结点（若存在）的编号是多少？3）编号为n的结点的第i 个孩子结点（若存在）的编号是多少？4）编号为n的结点有右兄弟的条件是什么？如果有，其右兄弟的编号是多少？答:(1)kh-1(h为层数)（2）因为该树每层上均有Kh-1个结点，从根开始编号为1，则结点i的从右向左数第个孩子的结点编号为ki。设n 为结点i的子女，则关系式(i-1)k+2=n1)的前一结点编号为n-1（其最右边子女编号是(n-1)*k+1），故结点 n的第 i个孩子的编号是(n-1)*k+1+i。(4) 根据以上分析，结点n有右兄弟的条件是，它不是双亲的从右数的第一子女，即 (n-1)%k!=0，其右兄弟编号是n+1。二：满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树特点：每一层上都含有最大结点数。叶子结点在同一层次上；无度为1的结点具有n个结点的满二叉树则 叶子结点的个数为：（n+1)/2 度为2的结点的个数为：（n-1)/2三、无度为1的结点 1: 具有n个结点的无度为1的结点的二叉树，求叶子结点的个数 n1=0 n=n1+n2+n0=n0+n2+0 n= 2n0-1 n0=（n+1）/2 n2=（n-1）/22:若已知叶子结点个数n0求总的结点的个数n N=n0+n2=2n0-1四、完全二叉树：深度为k的有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应特点：除最后一层外，每一层都取最大结点数，最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置。叶子结点在最后两层上，度为1的结点的个数最多为11:具有n个结点的完全二叉树，求叶子结点的个数 n是偶数： 则n1=1 n=n1+n2+n0=n0+n2+1 n= 2n0 n0=n/2 n2=n/2-1 n是奇数： 则n1=0 n=n1+n2+n0=n0+n2+0 n= 2n0-1 n0=（n+1）/2 n2=（n-1）/22:若已知完全二叉树叶子结点个数：求总的结点的个数 n=n0+n1+n2 n1=1 或n1=0 n2=n0-1 n最大为2n0,最小为2n0-13:若已知完全二叉树第k层上具有n个叶子结点，求最多的结点个数及最少的结点个数 最多的结点个数：共有k+1层 前k层共有2k-1个结点 k+1层: 第k+1层结点数最多为第k层的非叶子结点数乘以2；第k层的结点数为2k-1，叶子结