高等电磁场理论习题解答(作业)

第一章 基本电磁理论 1-1 利用 Fourier 变换, 由时域形式的 Maxwell 方程导出其频域形式。作 1-21-3 解付氏变换和付氏逆变换分别为 dtetfF tj )()( deFtf tj )( 2 1 )( 麦氏方程 t D JH t B E 0 B D 对第一个方程进行付氏变换 ),(),(), rHdtetrHdtetrH tjtj 左端 ),(),( ),(),( ),( ), rDjrJ dtetrDjrJdte t trD trJ tjtj 右端 时谐电磁场 ),(rH ),(),(rDjrJ 同理可得 ,rBjrH 0,rB ,rrD 上面四式即为麦式方程的频域形式。 1-2 设各向异性介质的介电常数为 300 042 027 0 当外加电场强度为 (1) 01 E x eE (2) 02 E y eE (3) 03 E z eE (4) )2( 04yx EeeE(5) )2( 05yx EeeE 求出产生的电通密度。作 1-6 解),(,trEtrD 333231 232221 1312 11 z y x D D D 即 z y x E E E 将 E 分别代入得 0 2 7 0 0 300 042 027 00 0 0 1 1 1 E E D D D z y x ) 27( 001 yxED 0 4 2 0 0 300 042 027 0000 3 2 2 EE D D D z y x ) 42( 002 yxED 3 0 0 0 0 300 042 027 00 0 0 3 3 3 E ED D D z y x zED3 003 0 10 11 0 2 300 042 027 000 0 0 4 4 4 EE E D D D z y x ) 1011( 004 yxED 0 8 16 0 2 300 042 027 000 0 0 5 5 5 EE E D D D z y x ) 816( 005 yxED 1-3 设各向异性介质的介电常数为 422 242 224 0 试求(1) 当外加电场强度)( 0zyx EeeeE时产生的电通密度 D (2) 若要求产生的电通密度 00 4E x eD 需要的外加电场强度 E。作 1-71-8 解 1 1 1 8 8 8 8 1 1 1 422 242 224 . 1 oooooo z y x EEE D D D ED zyxED oo 8 1 1 3 2 8 1 8 1 8 3 4 0 0 1 4 8 3 8 1 8 1 8 1 8 3 8 1 8 1 8 1 8 3 1 . 2 0 00 1 E EEDE ED o o 即zyx E E 3 2 0 . 附的求解过程 1 8 3 8 1 8 1 8 1 8 3 8 1 8 1 8 1 8 3 100 010 001 311 4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 800 020 002 311 110 101 800 220 202 201 110 101 620 220 202 100 110 101 422 220 202 100 110 001 422 220 224 100 010 001 422 242 224 又 422 242 224 0 所以 8 3 8 1 8 1 8 1 8 3 8 1 8 1 8 1 8 3 1 0 1 1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为 )22( 0zyx DeeeD )22( 0zyx HeeeH 试求该点表面电荷及电流密度。 解由已知条件理想导体表面某点 0( 22) xyz DDeee (1-6-1) 0(2 2) xyz HHeee (1-6-2) 知该点处的法向单位矢量为 0 222 0 (22) 122 |333 122 xyz nxyz D D eee D eeee D (1-6-3) 理想导体表面上的电磁场满足边界条件 n s eHJ (1-6-4) n s eD (1-6-5) 将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式得该点处的表面电流密度为 00 122 (22)(22) 333 snxyzxyzxyz HH JeHeeeeeeeee (1-6-6) 将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式得该点处的表面电荷密度为 00 122 (22)3 333 snxyzxyz DD e Deeeeee (1-6-7) 1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为 , 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程: )( 22 EEEk 作 1-9 证明非均匀各向同性介质中无源区的时谐电磁场满足 jH rE r (1-9-1) j EH (1-9-2) 对(1-9-2)式两边取旋度并利用(1-9-1)得 2 jj EHH =E 又 2 EEE 所以 22 E+E =E (1-9-3) 又在非均匀各向同性介质中 0 EE + E= 即 E E = (1-9-4) 将(1-9-4)代入(1-9-3)得 22 E E +E = 即 22 k E E +E = 第二章 平面电磁波 2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。 解非均匀各向同性线性媒质中正弦电磁场满足的 Maxwell 方程组为 +jHJE (2-1-1) j EH (2-1-2) 0H (2-1-3) E (2-1-4) 对(2-1-2)式两边取旋度并应用(2-1-1)得 2 jjjjj+j jj EHHH =HJE HJ +E 即对(2-1-1)式两边取旋度并应用(2-1-2)得 2 +j+jj+j HJEJE+E =JE+H 所以非均匀各向同性媒质中正弦电磁场满足的波动方程为 2 jj EEHJ (2-1-5) 2 +j HHJE (2-1-6) 由(2-1-4)式得 EE + E= 即 E E = (2-1-7) 由(2-1-3)式得 0 HH + H= 即 H H = (2-1-8) 利用矢量关系式 2 AAA并将(2-1-7)(2-1-8)式代入得电磁场满足的亥 姆霍兹方程为 22 jj E E +EH +J+ (2-1-9) 22 j H H +HJE (2-1-10) 均匀介质中0 JjEkE 22 JHkH 22 无源区中 0 22 EkE 0 22 HkH 2-4 推导式2-2-8 。 解已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中无源区的正弦电磁场满足齐次矢量 Helmholtz 方程 2 c 22 c 0 0 k k 2E r E r H rH r 其中 ce k e j 设复传播常数j c kkk则由 22 ce k 得 2 2 jjkk 即 222 2jjkkk k 所以由等号两边实部和虚部对应相等得 222 2 kk k k 解以上方程组得 k 2 2 11 2 11 2 k k 2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。 证任一椭圆极化平面波可写为 j xxyy EEEee 1111 jj 2222 1111 jj 2222 xxyyxxyxyyxyxy xxyyxyxxyyxy EEEEEEEEEE EEEEEEEE Eeeee eeee 令 1 1 2 xy EEE 2 1 2 xy EEE则上式变为 1122 jj xyxy EEEEE = eeee 上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和 因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两 个旋转方向相反的圆极化平面波。 2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 解圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为 00 ( , )cos()cos() 2 xy z tEtkzEtkz Eee 上式等价于 00 ( , )cos()sin() xy z tEtkzEtkzEee 磁场强度的瞬时值表达式为 00 ( , )cos()sin() yx EE z ttkztkz ZZ Hee 其中 Z 表示波阻抗。 因此能流密度的瞬时值表达式为 00 00 222 22 000 ( , )( , )( , ) cos()sin()cos()sin() cos ()sin () xyyx zz z tz tz t EE EtkzEtkztkztkz ZZ EEE tkztkz ZZZ SEH eeee ee 因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为 x z x 2j e )j(100)( eeE y V/m 试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。 解由真空中圆极化平面波的电场强度表达式 j2 ( )100(j )V/m x yz xee e E 知传播常数2rad/mk所以 波长 2 1 m k 频率 8 3 10Hz c f 因为此圆极化平面波的传播方向为x方向且电场强度z分量相位超前y分量相位 2 因此为 左旋圆极化平面波。 磁场强度可写为 j2 00 1100 ( )( )(j)A/m x xzy xxee e ZZ HeE 能流密度为 j 2j 22 00 100200001000 100(j)(j)W/m 6 xx yzzyxx ee ZZ SEHeeeeee2-9 设真空中0z平面上分布的表面电流 0cos e SxS JtJ 式中 0S J为常数。 试求空间电场强度、 磁场强度及能流密度。 解0z 平面上分布的表面电流将产生向+z 和-z 方向传播的两个平面波。设向+z 方向传播 的电磁波的电场和磁场分别为 1( , ) z tE和 1( , ) z tH向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为 2( , ) z tE和 2( , ) z tH。由电磁场在 z=0 平面处满足的边界条件可得 12 (0, )(0, ) zs tteHHJ (2-9-1) 12 (0, )(0, )ttEE (2-9-2) 又 101 ( , )( , )zz tZz tEHe 202 ( , )( , )() z z tZz t EHe 所以 012 (0, )(0, )0 zZtteHH 即 21 (0, )(0, )ttHH (2-9-3) 将(2-9-3)代入(2-9-1)得 1 1 (0, ) 2 zs teHJ 得 100 111 ( 0, )c o sc o s 222 szxszys tJtJtHJeeee (2-9-4) 所以 10 1 ( , )cos() 2 ys z tJtkzHe , z0 (2-9-5) 0 10 ( , )cos() 2 xs Z z tJtkzEe z0 (2-9-6) 同理 20 1 ( , )cos() 2 ys z tJtkzHe z0 (2-9-7) 0 20 ( , )cos() 2 xs Z z tJtkzEe , z0 220 2220 ( , )( , )( , )cos () 4 zs Z z tz tz tJtkzSEHe , z0 j2jj2j2 22200000 111 ( )( )( )(1)(1)(1 cos 2) 284 kdkzkdkz zSSzS zzzZ JeeJeeZ Jkd SEHee z0 2-13 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时若平面波的电场强度振幅为 1V/m入射 角为 60介质的电磁参数为1 , 3 rr 试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波 及折射波的电场振幅。 解在真空中波阻抗为 0 10 0 ZZ 传播常数为 100 k 介质中的波阻抗为 00 2 0 3 r r Z Z 传播常数为 200rr k 设折射角为 t 则 00 2 1 00 sin60 3 sin rr t k k 所以 1 s i n 2 t 即 30 t (1) 对于平行极化波有 反射系数 00 1i2t / 00 1i2t coscos 22 0 coscos 22 ZZ ZZ R ZZ ZZ 透射系数 0 2i 00 1i2t 2cos3 3 coscos3 22 Z Z T ZZ ZZ 可见此时平面波发生无反射现象折射波的电场振幅为 3 V/m 3 (2) 对于垂直极化波有 反射系数 00 2i1t 2i1t 00 3 coscos2 2 3 0.5 coscos3 22 3 ZZ ZZ R ZZZZ 透射系数 0 2i 2i1t 00 2cos 3 0.5 coscos3 22 3 Z Z T ZZZZ 因此反射波和折射波的电场振幅均为0.5 V/m。 2-16 已知电场强度为 z x z 2j e10)( eE的平面波向三层介质边界正投射三种介质的参数为 1 1r 4 2r ,16 3r 0321 中间介质夹层厚度m5 . 0d试求各区域 中电场强度及磁场强度。 解答 x z E H 11 , 22 , 33 , d 图2-16 由电场强度 j2 ( )10 z x ze Ee知传播常数 1 2krad/m波长 1 1 2 1 k m。 在中间介质中的波长为 1 2 2 0.5 r m传播常数 2 2 2 4k rad/m。 介质三中的波长为 1 3 3 0.25 r m传播常数 3 3 2 8k rad/m。 三种介质中的波阻抗分别为 100 1 1 r ZZZ 200 2 11 2 r ZZZ 300 3 11 4 r ZZZ 介质一z0中入射波电场和磁场强度为 ij2 1( ) 10 z x ze Ee ij2 1 0 10 ( ) z y ze Z He 令反射电场和磁场强度为 rrj2 110 ( ) z x zE e Ee r rj210 1 1 ( ) z y E ze Z He 介质二(0d中令入射波的电场强度为 iij8 () 330 ( ) z d x zE e Ee。 则在0z 和zd处有电场和磁场切向分量连续得 rir 102020 10EEE ij4rj4i 202030 dd E eE eE rir 102020 1122 10EEE ZZZZ iri j4j4202030 223 dd EEE ee ZZZ 由以上四式可解得 r 10 6E , i 20 6E r 20 2E i 30 4E 则各区域的电场和磁场强度为 j2 1( ) 10 iz x ze Ee j2 1 0 10 ( ) iz y ze Z He rj2 1( ) 6 z x ze Ee rj2 1 0 6 ( ) z y ze Z He ij4 2( ) 6 z x ze Ee ij4 2 0 12 ( ) z y ze Z He rj4 2( ) 2 z x ze Ee rj4 2 0 4 ( ) z x ze Z He ij8 () 3( ) 4 z d x ze Ee ij8 () 3 0 16 ( ) z d x ze Z He 第三章 辅助函数 3-1.由 Lorentz 条件导出电荷守恒定律。 解答 已知矢量磁位( )A r和标量电位( ) r分别满足 22 ( )( )( ) A rA rJ r (3-1-1) 22 ( ) ( )( ) r rr (3-1-2) 由(3-1-1)得 22 1 ( )( )( ) J rA rA r (3-1-3) 所以 222222 111 ( )( )( )( )( )( )( ) J rA rA rA rA rA rA r 将 Lorentz 条件( )( )jA rr代入上式得 22 ( )j( )( )j( ) J rrrr 电荷守恒定律得证。 3-3 已知在圆柱坐标系中矢量磁位 kz zzA j e )()( rerA式中 22 yxr。试求对应的电场 强度和磁场强度。 解 已知 j ( )( ) kz zz AeA rer (3-3-1) 1 ( )( ) H rA r (3-3-2) ( ) ( )j( )j A r E rA r (3-3-3) 将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式并在圆柱坐标系下展开得 j j ( ) 111 ( )( )( ) kz z kz z Ae Ae r r H rA reer jj jjjjj j ( )j ( )j( )jj( )( ) j( )( )j( )( )j( ) ( ) kzkz zzz kzkzkzkzkz zzzzzzrzz kz r z AeAe z kk AeAeAeAekAe k Aee A r E rA rerr errerrere r 3-4 使用 Hertz 矢量求解电流元 Il 和磁流元 Iml 产生的电磁场。 作 3-73-12 解设电流元Il和磁流元 m I l均沿 z 轴放置于原点。 电流元Il产生的电 Hertz 位和磁流元 m I l产生的磁 Hertz 位分别满足 e 2e2e ( ) ( )( )k Pr rr m 2m2m ( ) ( )( )k Pr rr 由以上两式求得(参见戴书 p23) ej |j | ej ( )11 ( ) 4|j4|j4 kk kr zz Vl eIeIl dVdze r r rr r Pr ree rrrr mj |mj |m mj ( )11 ( ) 4|j4|j4 kk kr zz Vl eI eI l dVdze r r rr r Pr ree rrrr 所以电流元Il产生的电磁场 jj ee 2 j 22 1 ( )j( )jcossin j44 sinj1 4 krkr zr kr IlIlee rrr k Il e krk r Hrreee e e33 ejj 22332233 ( )cosj1sin1j1 ( )jj j24 krkr r k Ilk Il ee k rk rkrk rk r Hr Eree 磁流元 m I l产生的电磁场为 mmjj mmj 2m j 22 1 ( )j( )jcossin j44 sinj1 4 krkr kr zr kr I lI lee e rrr k I l e krk r Erreee e m33 mjj 22332233 ( )cosj1sin1j1 ( )jj j24 krkr r k Ilk Il ee k rk rkrk rk r Er Hree 3-7 证明式3-3-4至式3-3-7 。 证无源区域中有 EjH HjE 即 ) ( zEyExEj HHH zyx zyx zyx zyx ) ( zHyHxHj EEE zyx zyx zyx zyx 由此可得 (6) (5) (4) (3) (2) (1) y E x E Hj x E z E Hj z E y E Hj y H x H Ej x H z H Ej z H y H Ej x y z zx y y z x x y z zx y y z x 由1 5两式可得 1 )( )( )( 1 22 2 2 2 2 2 2 2 y H j x E jk kk E x E jkEk y H j zx E Ek y H j zx E z E y H jEk z x E z E j y H Ej zz z z x z zxz z z xz z zxz x zx z x 式中 xz x xz x Ejk z E Ek z E , 2 2 2 0 0 0 0)()( 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 22 22 xz x xy x xx x xxxxx xx Ek z E Ek y E Ek x E EkkkE zyx EkE EkE xz x ktj xx xz x Ejk z E eEE Ek z E z )( 2 2 2 同理可证 yxy HHE,的表达式。 见讲义 p8 3-20 试证式3-8-16 。 证明设并矢CEF则 ()()()()()() ()() A B CABE FA BEFB EA FB AEFBAE F B AEFB A C ()()()()() () ()() E F F A BCABE FA BEFEABFAB ABEAB C 3-21 试证式3-8-19至式3-8-21 。 证明 xyyzz x DD eD eD e 123xyz x Deee 123yxyz Deee 123zxyz Deee xxyyzz Ie e +e e +e e 11122233 () () ()()()()()() ()()() xyyzz xxyxyzxzyxyxyyyyyzyz zxzxzyzyzzzz xyzyxyyyzzxz xxyyzzx xxxx xxx I De e + e e + e eD eD eD e eD e eeD e eeD e eeD eeeD eeeD ee eD e eeD e eeD e e e ee ee ee ee ee ee ee e 3 123123123 ()()() yzz yzyzyyzz xyyzz xxxx x e e eee eeee eeee e D eD eD e D () () ()()()()() ()()()() xyyzz xyyzzyxyyyyy yzyzzxzzyzyzzzz yyzz xxxyyzz xxxxxxxx x xx D ID eD eD ee e + e e + e e D eeeD eeeD eeeD ee eD ee e D ee eD ee eD ee eD ee e D eD eD e D 所以 I DD ID 设 xyyzz AAA x Aeee 则 () () xyyzzxyyzz AAAAAA xxyyzzxx I Ae e +e e +e eeeeeeeA () () xyyzzxyyzz AAAAAA xxxyyzzx A Ieeee e +e e +e eeeeA 所以 I A= A IA ()()()()() yz yy xyz xyy xxyyzzx x Ie e +e e +e eeee eee 第四章 电磁定理和原理 4-1 利用磁场边界条件,证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。 证明 (a) Il Il I l H H (b) m I l m I l m I l H H r r 图 4-1 (1) 如图 4-1(a)所示在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元Il在镜像位置放置一 镜像电流元I l根据电流元产生的电磁场的分布知IlI l在理想导电体表面产生的磁场强 度方向均沿导体切向方向所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件且上半空间 的源仍为Il。因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变根据唯一性原理知上半 空间的场未改变。 (2) 如图 4-1(b)所示图中有误垂直磁流源应为负像H 与 l 平行 在无限大理想导电平 面附近放置一垂直磁流元 m I l在镜像位置放置一镜像磁流元 m I l 则其产生的矢量电位分别 为 m mj 4 kr I e r l A m mj 4 kr I e r l A 产生的磁场强度分别为 m mmj jj 4 kr I e r l H=A m mmj jj 4 kr I e r l H=A 若满足 mm -II ,l = l则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零与原来的边界条 件相同且上半空间源未变因此上半空间的电磁场与原来相同。 4-3 长度为 l宽度为 w 的裂缝天线位于无限大的理想导电平面如习题图 4-3 所示。若缝隙中 的电场强度为 ) 2 (sin 0 z l kEEx 利用对偶原理根据对称天线的结果直接导出其空间辐射 场。 作 4-104-14 l w x y z 习题图 4-3 解答 0 22 2sin (|) 2 m sxx JE xyE z l Ekzz 0 2sin (|) 2 m s l IE wkz z 对称天线的辐射场为: j 11 cos(cos )cos() 60 22 j sin ekr m klkl I e r E = e j 0 11 cos(cos )cos() 22 j 2sin e ekr m klkl EI e Zr H = e= e 由对偶原理知将以上两式中E换为HH换为E 可得裂缝天线的辐射场为 j j 0 11 cos(cos )cos() 22 j 2sin 11 cos(cos )cos() 22 j sin m mkr m kr klkl I Ee r klkl E w =e r = -e -e j j 0 j 00 11 cos(cos )cos() 60 22 j sin 11 cos(cos )cos() 120 22 j sin 11 cos(cos )cos() 22 j sin m mkr m kr kr klkl I He r klkl E w e r klkl Z E w =e r = e e e 4-4 利用矢量 Green 定理导出积分形式的互易定理。 证明设区域V中的两组同频源 a J m a J和 b J m b J产生的电磁场分别满足 j aaa HJE (4-4-1) m-j aaa EJH (4-4-2) 及 j bbb HJE (4-4-3) m-j bbb EJH (4-4-4) 已知第二矢量 Green 定理为 dd VS V QPPQPQQPS (4-4-5) 令, ab QEPE代入上式得 dd abbabaab VS V EEEEEEEES (4-4-6) 利用(4-4-2)和 (4-4-4)(4-4-6)式右端化为 mm mm d jjd +jd baab S baaabb S abbaabba S EEEES EJHEJHS EJEJEHEHS (4-4-7) 利用(4-4-1) (4-4-4)(4-4-6)式左端化为 mm mm mm m d jjd jjd jjjjd j abba V abbbaa V abbbaa V abababbababa V ab V V V V EEEE EJHEJH EJHEJH EJEJEEEJEJEE EJ m mmmm mmmmmm mmm jd jjd jjjjd j abbaba V abbaabbaabba V abbaaabbaabbba V abba V V V EJEJEJ EJJEEJEJJEEJ EJJJHEJEJJJHEJ EJJJ mmmmm mmmm mmmm j+jjd jd djd baabbaababba V abbabaababba V abbabaababba SV V V V JHEJEJJJJHEJ EJEJEJEJHJHJ EJEJSEJEJHJHJ (4-4-8) 由(4-4-6), (4-4-7), (4-4-8)得 mmmm mm djd +jd abbabaababba SV