机械工程控制基础 第4章

机械工程控制基础,第一章自动控制的一般概念第二章控制系统的数学模型第三章控制系统的时域分析法第四章频域分析法第五章控制系统的稳定性第六章控制系统的校正,第四章线性系统的频域分析,4.1基本概念4.2频率特性的Nyquist图4.3频率特性的Bode图4.4系统的频域特征量4.5最小相位系统与非最小相位系统,4.1基本概念,频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法。应用频率特性可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点:(1)组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。(2)应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很方便的。,奈奎斯特图的绘制；伯德图的绘制；,本章的重点,通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。,频率特性,频率响应,系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；,根据微分方程解的理论，若对系统输入一谐波信号xi(t)=Xisint，系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号，但幅值和相位发生了变化。,典型的频率响应,例1,一阶系统传递函数：,系统输入函数：,则：,瞬态分量,稳态分量,则，幅值为：相位为：,由传递函数可知，-1/T是G(s)的极点，也是系统微分方程的特征根si，由于si为负值，所以系统是稳定。随着时间的推移，当t时，瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出x0(t)即为稳态响应。所以，系统的稳态响应为：,由此可知，它是与输入同频率的谐波信号！,显然，频率响应只是时间响应的一个特例。不过，当谐波的频率不同时，幅值X0()与相位()也不同。这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意义上说，研究频率响应或者频率特性就是在频域中研究系统的特性。,例2：如图所示电气网络的传递函数为,若输入为正弦信号：,其拉氏变换为：,输出拉氏变换为：,其拉氏反变换为：,输入信号的复数表示为：,输出信号的复数表示为：,它们之比为：,幅频特性,相频特性,系统幅频特性:线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号的频率的函数。,系统相频特性:稳态输出信号与输入信号的相位差是输入信号的频率的函数。,频率特性,幅频特性和相频特性数据,频率特性与传递函数的关系,若系统的微分方程为：,则系统的传递函数：,输入信号为谐波信号：,系统输出为：,若系统无重极点：,则系统的输出：,式中，si为特征根；Ai、B、B*（B与B*共轭）为待定系数。对于稳定系统而言，系统的特征根si均具有负实部，则上式中的瞬态分量，t，将衰减为零，系统x0(t)即为稳态响应，故系统的稳态响应为,时间函数,拉氏变换函数,计算待定系数B：,同理，,代入输出函数，则系统的稳态响应为,（欧拉公式）,系统的幅频特性和相频特性分别为：,故就是系统的频率特性，它是将G(s)中的s用j取代后的结果，是的复变函数。显然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲。,四、频率特性的求法,1.由频率响应的定义得到频率特性从x0(t)的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位。然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可分别求得幅频特性和相频特性。,2.传递函数频率特性,系统的频率特性就是其传递函数G(s)中用复变量j替换s，也称G(j)为谐波传递函数。,=G(j),系统的频率响应为：,条件：不知道传递函数或微分方程等数学模型，不能使用上述两种方法求解，此时可以通过试验求得频率特性后，求得传递函数（在第九章详述）,步骤1：改变输入谐波信号Xiejt频率的频率，并测出与此相对应的输出幅值Xo()与相移().,步骤2：作出幅值比Xo()/Xi,对频率的曲线，此即幅频特性曲线；,步骤3：作出相移()对频率的曲线，此即相频特性曲线；,3.用试验方法求解,4.频率特性的特点和作用,（1）由,当,时,并且,所以,即,这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应的傅立叶变换。对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。,频率特性分析方法始于20世纪40年代，目前广泛应用于机械、电气、流体等各类系统，成为分析线性定常系统的基本方法之一，是经典控制理论的重要组成部分。,应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。,频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；,几点说明,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、权函数、传递函数一样反映了系统的固有特性。,尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。,频率特性表示法,频率特性可用解析式或图形来表示。,（一）解析表示,幅频相频形式：,实频虚频形式：,示例,解：,由上式可见，当T1时，A()K/T()-90,对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：,(二)图示方法,Nyquist图（极坐标图，幅相频率特性图）Bode图（对数坐标图，对数频率特性图）,奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）,其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。,在复平面上，随（0）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。,易知，向量G(j)的长度等于A()（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。,比例环节,典型环节的Nyquist频率特性图,传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K=Kej0,实频特性：P()=K虚频特性：Q()=0,幅频特性：A()=K相频特性：()=0,比例环节的频率特性图：,惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctgT,幅频特性：,实频特性：,虚频特性：,注意到：,即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个圆。,惯性环节的Nyquist图,一阶微分环节（导前环节）,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=arctg,一阶微分环节的Nyquist图,实频特性：,虚频特性：,积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=-90,实频特性：,虚频特性：,积分环节的Nyquist图,理想微分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：()=90,理想微分环节的Nyquist图,振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：,振荡环节的Nyquist图,=0时,=n时,=时,谐振现象(resonance),由振荡环节的幅频特性曲线可见，当较小时，在=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值Mr对应的频率r称为谐振频率。,由于：,令：,解得：,即：,显然r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,延迟环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,系统Nyquist图的绘制,基本步骤,将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：,求系统的频率特性：,即：,求A(0)、(0)；A()、(),补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，标明实轴、虚轴、原点。在此坐标系中分别描出以上所求各点，并按增大的方向将各点连成一条曲线，在曲线旁标出增大的方向。,解：,例,Nyquist图与实轴相交时：,又：,解得：,Nyquist图的一般形状,考虑如下系统：,0型系统（v=0）,0：,：,A(0)K(0)0,A()0()(mn)90,I型系统（v=1）,0：,：,(0)90,()(mn)90,A()0,A(0),II型系统（v=2）,开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。v=0时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点。,n=m时，Nyquist曲线止于实轴上的某一有限远点。nm时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为(mn)90。,Nyquist图的特点：,不含一阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶微分环节的系统,由于相角非单调变化，Nyquist曲线可能出现凹凸。,上海交大1998年研究生入学考试试题(4-10),已知系统的传递函数为求在频率f=1Hz,幅值rm=10的正弦输入信号作用下，系统的稳态输出的幅值与相位。,波德(Bode)图（对数频率特性图）,对数幅频特性图,横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率单位rad/s或Hz,纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20倍，即：,L()=20logA()单位分贝（dB）,对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,纵坐标：线性分度，频率特性的相角()单位度(),几点说明,在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值；,在对数频率特性图中，角频率变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为dec。,可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。,对数坐标的优点,幅值相乘变为相加，简化作图；,对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围,两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,比例环节,典型环节的波德(Bode)图（对数频率特性图）,传递函数：G(s)=K,频率特性：G(j)=K=Kej0,对数幅频特性：L()=20lgK,对数相频特性：()=0,幅频特性：A()=K,相频特性：()=0,惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctgT,幅频特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：()=-arctgT,惯性环节的Bode图,低频段(1/T),即高频段可近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。,转折频率（T1/T),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点T1/T，称为转折频率（截止频率）。,在转折频率处，L(T)-3dB，(T)-45。,渐近线误差,惯性环节具有低通滤波特性。,一阶微分环节,对数相频特性：()=arctg,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=arctg,一阶微分环节的Bode图,注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(=T)，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。,积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=-90,对数幅频特性：,对数相频特性：()=-90,积分环节的Bode图,理想微分环节,传递函数：,频率特性：,对数相频特性：()=90,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=90,理想微分环节的Bode图,振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,振荡环节的Bode图,对数幅频特性,低频段(n),两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。,对数相频特性,易知：,渐近线误差分析,由图可见，当较小时，由于在=n附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，越小，误差越大。,当0.380.7时，误差不超过3dB。因此，在此范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。,准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。,二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：,二阶微分环节的Bode图,注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数(1/n)，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,延迟环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,系统Bode图的绘制,考虑系统：,Bode图特点,最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20vdB/dec。,最低频段的对数幅频特性可近似为：,当转折频率T都大于1时，在1rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1rad/s时的数值等于20lgK。,当转折频率T小于1时，在Trad/s时，L()=20lgK-20vlg,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率