齿向载荷分布系数的简化计算及线图

齿向载荷分布系数的简化计算及线图 良 院 齐 大连工学 内 容提 要 本文在国标的基础上 , 对齿向载荷分布系数K H, 进行理论分析 、 比较及定量计算 , 提出 K 甘,= K o万e+d K 万。 的简化式与线图 . 该方法概念清楚 , 使用方便 . 对直齿与斜齿 , 软齿面与硬齿面 , 一般齿形与鼓形齿 、 修薄祷均有 所区别 . 从而 扩大了简化式的使用范围并提高了K H口的准确度。 本文是国标简化计算法的补充 , 为工程技术与教育界的简化计算提供了可用的公式与图表 . 齿向载荷分布系数 K, 对齿轮承载能力具有重要影响 。 由于计算 K, 涉及的因素很多 , 工 作量很大 , 一般工程计算或教学中大量使用的是简化计算方法 。 但各国标准中简化计算的线 图与数据差异较大 , 带有很大的局限性 , 为此对齿向载荷分布系数价的简化计算式及其线图 作进 一步的探讨 , 提高其准确性 , 满足各种工况下 设计的 需要 , 是有实际意义的 . 本文以 GB 3450一53为基 础 , 经过理 论分析 , 推导 出各种条件下 K户的简化式 , 从而作出供设计使用的 形, 线图(见图 4 7 ) . 一 、 K、 的定义与基本计算式 齿向载荷分布系数 是考虑沿齿宽方向载荷分布不 均匀的影响 系数 , K。的实质是以单位齿 宽上的最大载荷W m 。x 作为设计依据 , 从而避免因载荷集中而导致轮齿的强度破坏 . 由 于 同 一载荷分布状态对齿面接触应力 与齿根的弯曲应 力影响不 同 , 故在接触强度计算时用 K那 丧 示 , 在弯曲强度计算时用 K F, 表示 . 经理论分析可知K F。与 K那 存在一定的关系 , 我们就有可 能集中分析 K那, 再经过换算求出 K从 根据定义 , K那 是单位齿宽上的最大载荷与其平 均载荷之比 , W 。, 人 自月= 一井 二立 W , (1) 式中 w 二 。1 单位齿宽 上的最大载荷 , N/m m ; W , 单位齿宽上的平均载荷 , N/mm . W . 二尤,尤; F / b 式中 K A 使用系数; K ; 动载系数; F , 分度圆上的圆周力 , N , b 齿宽 , mm , (2) F尹y 呱 。, 俪/ , ! 匕蠕赢 一 倒日日屠局 一一 丁 , ,尸 门门 ( ( ( ( ( ( ( 乞乞少 , 人二牙/ /, , 尸 介介 叫例甲 叫洲洲哟 图 1 图 2 如图 1 所示 , 沿齿宽方向 , 将轮齿看成若干片彼此独 立 、 互不影响 、 具有相同刚度 C , 的压 缩弹簧 , 则载荷沿齿宽方向呈线性分布 。 由图2可见 , 齿向载荷分布状况 可分为部分齿宽承载( b 。a、 b ) 。 经理论分析 , 可分别 写出两种状态下的 K邢 表达式 。 ( a ) b ca J/b 1 。, F几 . C - 八”= 上+” 。 讨石 - (3 一b ) 式中 瓦. 1 计算齿宽 , m m , 齿宽 , mm , F内跑合后啮合的齿向误 差 , 内 c , 轮齿啮合刚度 , N/m m , 人 bc a l / b 用来判别是部分齿宽承载还是全齿宽承载 。 哑 = 牌亚碗 。 v 凡 ,C , 当 b o a:/ b 2 , 变有关参数(如 w 衬 , F内杏等), 尽可能避免部分齿宽承载 . 当 b c 。,/ b 1 时 , 计算 K 二, 使用(3 一b) 式 , 得到的 KB,35 0 而 尺 。 25 oHB:350 的直齿l 园柱齿轮 b . HB,和HB:35 0 的直齿圆住法轮 图 4 。 23 。 渐爪 1 .e sJ仁 ; l 丰 l 卜 1 1 一曰 ( ( 1一 , _ _ 均 , 召之 。笋匕 声明 劫 汗闭 门 / . 6/ 5砰肠 雌 门切 a . HB : 和HB :3 5 0 或H B:35 oHB:(3与Ob HB汗l壬 IB:之50 的斜齿圆住齿轮 的斜齿圆住齿轮 图 5 曲线七厅号 1一对称布置3一非对称布置(轴刚性较大)3一非对称布 置(轴刚性较小) 4一悬臂布置 5一中间轴上布置两个齿轮同侧啮合6一中l J轴 止市置两个齿轮异侧啮合 入产户 井止基 。 之。 刁 00 0 占0 2002之口 伴0 260/日。 占门 m , 图6 1 . 曲线上序号是齿轮第IH 组精魔 公 HB,和HB Z 35 0时 , !刁K 二。为表值的1 . 5 倍 了 . 装配时调整 , 鼓形齿为表值的0 . 万倍4 . 齿端修薄刁K万口为 表滇的0 . 肠倍 六 、 与国标对比分析 本文 一与国标 的简化计算式列于表 9 , 从 表 中可见 , 国标简化计算式 与本文的 一般 斜齿圆 柱齿轮简化计算式相近 , 在非 对称布置情况 下仅与轴的刚性较小时相近 , 其最大差值不超过 一9肠, 如精度高于 8 级 , 差值不超 过 一5% (见表10 ) . 由此可见 , 国标简化计算式适 用于一般 斜齿圆柱齿轮 , 而用于直齿圆柱齿轮 、 修薄齿 、 鼓形齿则误 差较大 . 。 24 。 尹 芍 . 一 拭挑本落粗 吮切 鞠切 娜 谬 带 。 25 。 一 州日拼门 墓 瓦吐 、 一 呻习 悦 O 一 圣 卜日卜川日园卜国卜卜卜日卜日日卜日卜厂卜 6 . 卜 |一0 . 卜| 一 哪 . 沈| 一 拍 . 的 |沈的洲 . 0一 其 洲 . 0 价价曰 . 0寸曰曰 . 0 一 消卜 悦 曰 叻O 的 . 曰 一 为 洲 助 . 曰 月 帅 . 曰 一| 一O 这 . 州 一 洲6为 。 工 臼 哪 . 州 一 9 0 闪 . 曰一| 一 一州 导 。 曰一9群 . 洲一改O O 闪 . 洲一 渭 闪 . 洲一 | 一 州 价卜 . 洲6受匀 . 洲 们寸 闪 . 曰一卜9 州 . 州 | 一 味 搏 . 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K即 分成两项表示 , 使概念更清楚 , 便于制图和使用 . 从图 4 (或图5 )和 图 6 显见 , 齿宽系数劝 较小的低精度齿轮传动 , K那 的主要影响因素是 : 安 装制造误差; 反之 对齿宽系数叻 。 较大的高精度齿轮传动 , 主要影响 K那 的因素是综合变形 . 利用图线 可作定量分析 . - - 2 . 本文扩大了简化计算方法的使用范围 , 对直齿与斜齿 , 软齿面与硬齿面 , 一般齿形与鼓 形齿 、 修薄齿均有所区别 , 从而提高了计算 K即 的准确度 . 3 . 本文简化式是以国标推荐的 c , 二 2 0 州m m 林推导的 , 在W 。 二 3 0 0一1 2 00 范围内使 用 , 最大误差不超过 土2 0 肠 . 如按 AGMA 推荐的 c r 二 ( 15 10 ) “磅/ 英寸二 1 1 哪m m 林 计算 , 则简化式在同样误 差下可用于轻载 , 即w 。, 二1 00一9 00州m m . ; . (i州mm . 。二o . i45 x lo 一6 磅/ 英寸 “) 4 . 简化式的使用前提是 b 。,/ b)1 , 如 C , 的范围是 1 52 5 恻m m 协, 则需 W 。) (7 . 512 5)巧, , 即单位齿宽上 的平均载荷在数值上平均约等于1 0倍跑合后的啮合齿向误差才能保证 全齿 宽 接触 , 如令w 们二 6 0 0州mm ;c , “2 0恻m m 件 . 从表 1 3 可见巧 , 对K那的影响是显著的 . 因 此对 F, , 从理论 和实践上作进一步的探讨是非常必要的 . 表1 3 F 。, 对K H, 的影晌 F、。、 卜 邵 ) 3 。 尸 拓 ” 。 。 ! 6。 KH” 1 33 1 50 一 ! 1 6 7 1 83 “ o 附录关于综合变形f s n 。 的计算 、 程 国标规定综合变形坛 。 主要考虑弯曲变形扬。和扭转变形介 。两项, 其中 , 弯曲变形的力 学模型简化成轴径为o . s d : 的等截面简支梁( d : 是小齿伦的分度圆直径) , 圆周 力凡看作集中 载荷 , 作用于齿宽 b 的中点 . 则弯曲变形 坛 。 为齿宽 b 中点的斜率乘以齿宽 b . 扭转变形的 力学模型看作在直径为d : 的实心圆柱体两端施加扭矩 T . 则扭转变 形肠为 扭 转角 少 乘以 d i/ 2 . 寮 现 分以下几 种情况讨论 一 、 非对 称布置 1 , 弯曲变形 图 1 所示为简化后非对称布置弯曲变形的力学模型 , 齿轮偏置距离为 :, 齿宽中点距两端 支承距离分别为 “ 和 “。 轴的挠曲线 方程为 : , = 易异l 二 一 ( 、一 。)3十 ( 2一。2)二一x3 (a、) 0 杏乙左LC J 轴线的斜率 ; 袭 二 儡!警 (一)2 + “ 2 一, 一 3 齿宽中点的斜率 : 凡 ( 癸) ,_。 二 儡 2一“一 3 “ 弯曲变形 , 。= 。 窦 将 凡 = b w 一 b(w。 二IN/m m ) , , 二 皿旦 代入并化简 , 则得 : . sd l)4 64 图 1 、。二 磊曝 (劲 !一 (亨) 斗 ! 闰 = N l蓄 (备) Z mm N l= 磊 卜 402m m ZzN (1) 式 rl, 2 因为 式中 口 = S/不 , 一般 口二0 . 150 . 3 E = 2 . 06 x Ic5 恻m m Z . 扭转变形 Tb /d八 J T 0 = - 否万火 一刻 w 。 = N 加m , 故将 丁 一 w ”, ” 争等 、 、二 粼 , 代入上式并化简 , 则得 : 加 = 悬(劲 一M (二) 2 (2) G = 7 . 8 4 x104 N/mm Z 从 二 8 万G = 3o . 1 7x10 一3 mm Z/ N 故综合变形为 : f 。*o 二 坛 。士 f邓 一 N l 集 (众) 士M (瓷) 二” ( K l镊 士 )( 瓷 ) 二 30 . 1 7x1 0 一3x i 二 ( Kl 藻 士1) (3 一a) 、 . 矛 / b一 吸 r Z叹、 式中 巴l = ! K ,。 K l二 豁 二 (奇) (3 一b) 飞lr 几 1孟 士 , . 1 , 24(1 一 4q 2) 30 S 一 . 一 一 q 式中正号表示弯 、 扭变形相互 迭加 , 负号表示相互补偿 。 1 5 0 对式(3 一a ) 通过实验作了修正 , 修正后的综合变形公式为 : , 。= ( A一( 奇 ) 2+ B ) ” 一3 “一/N (3 一e ) 式中系数 A 、 B 见正文表 3 。 式( 3 一b ) 中比值乙/ d : 反应了轴的相对刚度 , 通常王/ a l 在 2 . 54 之间 . 如以其中项 3 . 1 5为 够 界线 , 叮d l(3 .1 5称轴的刚性较大 , 并以 不/山3 .1 5 代入式( 3 一b ) ; 乙 / a : 3 .1 5 称轴的刚性较 小 , 以叮d := 3 . 6 代入式(3 一b ) ( 3 . 6 二 寸百万丽灭万) , 可得各种条件下 , q 值与 e 的对应关系 , 列 , 于表1 。 表 l q 对 的影晌 . . . . . . . .曰. .口 _ 系 , 数 “ 轴的相对刚度 0 _ 。 3 q 0 0 0 0 0 15 5 50 。 2 0 0 00 . 邵邵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 30 0 0 一一飞 睿睿 较大大 06 9 9 91 。 0 8 8 8 8 8 较较较小小 1 . 19 9 91 . 7 0 0 02 。 0 0 0 0 T T T _ _ _ 较大大 2 . 69 9 93 . 08 8 83 . 30 0 03 . 36 6 6 _ _ _ 不不不不不不不 件件孝尹 尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹尹 较较较小小 3 . 1 9 9 9 3 . 7 0 0 04 . 0 0 0 0 4 . 0 9 9 9 从表 1 可见相对偏置系数q从 0 . 2 5 到 0 . 3 区间对 “; 影响并不显著 , 通常 q 在 0 . 2 5左右 居多 , 故简化时以 口二0 . 2 5代入 . 又 因正常设计使齿轮偏置远离输入端 , 促使扬 。 与了 : 0 变形 方向相反 , 相互补偿 , 故非对称布置时式( 3 一c ) 中的 “: 分别 取 为 1 . 3 和 2 . 0 . 拳 勺 二 、 对称布置 对称布置时 :二 0 , 故 。:二 1 , 即只有扭转变形介。 , 弯曲变形扬 。= 0 . 三 、 悬臂布置 悬臂布置时的力学模型如图 2 所示 , 其轴线的挠曲线方程为 : F , f , sx3 , = 石亩t s x 一 畜 一 十 ( s+ !)(戈一不)3 (艺 x ( 乙+ s) 轴线的斜率 : 黔备卜 - 3奴2 不 3 (s + 工 ) (x 一艺)2 十 _ _ _ 齿宽中点斜率 : 了旦 , 、 _,上。 二 、dX/ 一 1 - 工 2:一 35(艺+ s)2+ 3(s+Z)(乙+ s一 乙)2 .岌 了 且 只 E 八O = 器 2 十3“, 式中 口2 = 5 / 1, 其它符号同前 . 则 : 扬 。二 b 之 图 2 78 3万E (2 +3口)丝厂 互丫 d生、d至/ 二 N 3 误( t ) (4) 式 中 N 3二 一 纂 (2 + 3。)m m Z/ N ,: 。=、(瓷 ) 2 mm (2) 综合变形为 : 了 , ,。二 了 刀。+ f; o 二 N 3 镇娜 “十” 娜 二 M ( K 3 类 )( 一 言 : ) 修正后综合变形 公式可写成 , , 六。= A一 (条) 2 +B 0 一3 “一/N (5 一a ) 式 f犷 , K 3二 讼 = 2(2+3。) 午怀 一 鉴 + ) 二 !向嘟 2 十 (5 一b ) 如 艺/d: 二 1 . 54 . 0 . 取其比例中项 z/d := 2 . 4 5 , 取 口= =0 . 25 , 则 。3= 6 . 1 2 . 四 、 同轴上布置两个偏置齿轮 其力学模型 如 图3所示 , 弯曲变形加 。 看作分别由凡 , 、 耳2 尹 。 。, f。:之代数和 . 即 : f、o =了 材。z土扬。2 。 当 F: 与 F : 同向时取 正号 , 异向时取负号 。 通过非对称布置情况分析 , 已知由F , 在小轮齿宽点处产 生之弯曲变形 在小轮 处 引起的弯 曲变形 本 fMo l 磊 “ 一 。 2 哪笋 产碗 丫卜一 一 八 之 l一 卜 一 厂再 泛 一 廿 图 3 如令凡 : 在小轮齿宽中点处产 生弯曲变形为扬 。2, 则 : _二/ d擎2 、 盯肥一“ 火 丽 一尸二= 通 (6 一a) 夕2 二 d军2 _ _ F t Z cx 6E 了乙 (乙 2一xZ一eZ) ( X 燕 “) dX ,_ 汀(0 . 1 一一一一 F t 2 6EI忍 eZ“一 3ex Z一eZ 一丢 一 s , 、 = 杏 一s , 8d l)4 代入并化简 , 则 : 萝 一 、 d纯 dX 勺 设F t ,二协 F t Z, 如 v= 1 . 5一3 , f 对0 2 二 黑伙 一2 q ) ( 一 q ) 留娜 取 ,= 2 . 1代入式( 6) , 则 器 “ 一2。, “ 一。) 杀 一 (二