山东省青岛市2020年4月高三统一质量检测(一模)数学试卷(含答案)

青岛市 2020 年高三统一质量检测 数学试题 2020.04 全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟 一单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数则 z 的共轭复数 z 的虚部为 1 2 , i z i A. iB.1C. iD. -1 2.已知集合,集合 B=xR|x-1|2, 则 AB= 2 |log2AxRx A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-,3) 3.已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额(单位:元)服从正态分布则该市某居 2 (2000,100 ),N 民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为 A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772 附:随机变量服从正态分布则 P(-+)= 0.6826, 2 ( ,),N , P(- 3 cB. ba cC. bcaD. cab 5.已知函数为自然对数的底数),若 f(x)的零点为 ,极值点为 ,则 += 39,0 ( )(2.718. ,0 x x x f xe xex A.-1B.0C.1D.2 6.已知四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA, PC 上,且 EF/底面 ABCD,则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 A.30B.45C.60D.90 7.在同一直角坐标系下,已知双曲线 C:的离心率为双曲线 C 的一个焦点到一 22 22 1(0,0) yx ab ab 2, 条渐近线的距离为 2,函数的图象向右平移单位后得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支sin(2) 6 yx 3 和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为 A.2D.1.3B.2C 8.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” “升级题型” “创新题型”三类题型,每类题型均 指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完 4 , 5 三道题后至少答对两道题的概率 112 . 125 A 80 . 125 B 113 . 125 C 124 . 125 D 二多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部 选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9.已知向量设的夹角为 ,则(1,1),( 3,1),(1,1),ababc , a b D. =135.| |Aab .Bac ./ /Cbc 10.已知函数xR,则 22 ( )sin2 3sin coscos,f xxxxx A. -2f(x)2B. f(x) 在区间(0,)上只有 1 个零点 C. f(x) 的最小正周期为 为 f(x)图象的一条对称轴. 3 Dx 11.已知数列的前 n 项和为 S数列的前 n 项和为 n a 11 ,1,21, nnn aSSa 1 2 n nn aa 则下列选项正确的为 * , n T nN A.数列是等差数列B.数列是等比数列1 n a 1 n a C.数列的通项公式为 n a21 n n a .1 n DT 12.已知四棱台的上下底面均为正方形,其中 1111 ABCDABC D 则下述正确的是2 2,AB 11111 2,2,ABAABBCC A.该四棱合的高为3 11 .BAACC C.该四棱台的表面积为 26D.该四棱合外接球的表面积为 16 三填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若x恒成立,则实数 a 的取值范围为_ 1 (0,),4xxa 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则 f(2)=_ 15. 已知 aN,二项式展开式中含有项的系数不大于 240,记 a 的取值集合为 A,则由集合 A 6 1 () a x x 2 x 中元素构成的无重复数字的三位数共有_个 . 16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆 Q 的圆心,圆 Q 过坐 标原点 O;点 LS 均在 x 轴上,圆 L 与圆 S 的半径都等于 2,圆 S圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O . (1) 若直线 l 与圆 L圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为_ ; (2)若直线 l 截圆 L圆 S圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d=_. (本题第一个空 2 分,第二个空 3 分) 四解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(10 分) 设等差数列的前 n 项和为等比数列的前 n 项和为已知 n a, n S n b. n T 1 1 2,ab 23 6,12,SS nN*. 2 4 , 3 T (1)求的通项公式;, nn ab (2)是否存在正整数 k,使得且？若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由6 k Sk 13 9 k T 18.(12 分) 在ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,. 2222 2()(1tan)bbcaA (1)求角 C ; (2)若D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度2 10,c 条件:ABC 的面积 S=4 且 B A; 条件: 2 5 cos. 5 B 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 19. (12 分) 在如图所示的四棱锥 E-ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BCE 为边长为 2 的等边三角形,AB=AE,点 F,O 分别为 AB, BE 的中点, OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线 (1)证明:平面 ABE平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 20. (12 分) 某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱 (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表: 年份20152016201720182019 成交额（百亿元）912172127 求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x=1, 2016 年为 x=2,依次类推)的线性回归方程,并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ; (2)在 2020 年“双十一”购物节前,某同学的爸爸妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加 AB 两店各一个订 单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸妈妈在 AB 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 pq,记该同学的爸爸和妈妈抢 购到的订单总数量为 X . ( i)求 X 的分布列及 E(X); (ii)已知每个订单由 k(k2,kN* )件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数量为 Y,假设 ,求 E(Y)取最大值时正整数 k 的值. 2 7sinsin , 44 kk pq kkk 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: y bxa . 11 222 11 () ; () nn iiii ii nn ii ii x ynx yxx yy baybx xnxxx 21. (12 分) 已知 O 为坐标原点,椭圆 C的左,右焦点分别为点又恰为抛物线 D 22 22 :1(0) xy ab ab 12 ,F F 2 F 的焦点,以为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点. 2 :4yx 12 FF (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l 与 D 相交于 A,B 两点,记点 A,B 到直线 x=-1 的距离分别为直线 l 与 C 1, d 212 ,|.dABdd 相交于 E,F 两点,记OAB,OEF 的面积分别为 12 ,.S S (i)证明:的周长为定值; 1 EFF (ii)求的最大值. 2 1 S S 2