柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

经典案例分析类型1:使用Cauchy不等式查找最大值1.寻找函数的最大值。idea点：用不等式解决最大值问题，通常在不等式这边求常数，求不等式的条件。此函数的解析公式是两部分的和，如果可以转换为AC BD形式，则可以使用Cauchy不等式查找最大值。也可以用微分解决。解决方案：w1:和，函数的范围是，到那时等号仍然成立。实时函数采用最大值，最大值为w2:和，函数的范围为由，是的也就是说，解决方案函数取最大值，最大值为。升华摘要：函数分析公式包含根号时，经常使用Cauchy不等式解决。不等式能否得到等号是寻找最大值问题的关键。一个反三个：变形1 (2011辽宁，24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|。(I)证明：-3f(x)3；(II)求不等式f(x)x2-8x 15的解释集。答案。【】(I)那时。所以.5分(ii)可以(I)知道，但是，当时的解决方案集是空的；当时的解决方案集；当时的解决方案集是。总而言之，不平等的解决方法.10分变形2已知的、所需的最大值。答案。【】法国1:柯西不等式最大值为，最小值为。法国2:柯西不等式最大值为，最小值为。变化3设置2x 3y 5z=29以获得函数的最大值。答案。【】根据柯西不等式而且，因此。仅当2x 1=3y 4=5z 6时，即时等号才适用。这时，解说：把已知的条件编织成要求最值的目标函数的形式。类型2:用柯西不等式证明不等式使用柯西不等式的话，也有很多技术证明特定不等式特别方便，并利用柯西不等式。常数的巧妙分解，结构的巧妙变化，巧妙的排列等。(1)巧妙的分解常数：，设定为正数，且各不相同。想法点：都是积极的。正确的结论是证据就可以了：也可以用柯西不等式来证明。证明：等号不能成立，所以各不相同(2)重新排序特定项目：3，非负，=1，请求证据：想法点：等号左边有两个二项式，直接利用Cauchy不等式，没有结论，但是在第二个大括号的两个项目之间来回切换，就证明了结论。证明：1也就是说(3)结构变更：4、如果，作证：想法点：最初不能使用Cauchy不等式，改造结构后可以使用Cauchy不等式。，证实的结论改为证词。证明：(4)其他项目：5.证词：想法点：左端变形，只要证明这个形式就行了。证明：一个反三个：变形1将a、b、c设定为正数，并取得证据：答案。【】柯西不等式：也就是说。同样。把上述三个各向同性不等式加起来而且，所以。变形2将a、b、c设定为正数，并取得证据：答案。【】柯西不等式所以也就是说变形3已知的正满意证明。答案。【】使用Cauchy不等式也因为这个原因这个不等式的两边乘以2，然后加上：因此。类型3:柯西不等式的几何应用6.ABC的三边长度为a，b，c，外圆半径为r。证明：通过三角形的正弦定理，同样地，所以左边=因此。ABC的三边长度为4，5，6，p是三角形内部的一点，p到3边的距离分别为x，y，z，求的最小值。答案。【】而且4x 5y 6z=柯西不等式(4x5y6z) 2 2 (x2y2 z2) (42 52 62)(x2 y2 z2)77x2 y2 z2。类型4:排序不等式的简单应用7.是，比较和的大小。想法点：标题中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，a，b，c在不平等中的“地位”相等。设定并利用排序不等式证明。分析：可以设置。排序原理、随机和顺序和：一个反三个：比较10101111121213113和101311211310的大小。答案。【】因为10111213和lg10lg11lg12lg13、由排序不等式得出：10lg 10 11 LG 11 12 LG 12 13 LG 1313lg 10 12 LG 11 11 LG 12 10 LG 13LG(10101121213113)LG(101311211310)1010112121211310131122111310。变形2已知，证词：证明：通过对称，可以设置。因此，通过排序不等式：顺序和乱序和：因为，重新排序不等式：逆序和乱序和：知道了。8