椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题的分类与总结1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的顶点的长轴是短轴的两倍。求解椭圆的标准方程。例2给定椭圆的偏心率，得到的值。示例3已知的等式表示椭圆和要找到的值的范围。已知示例4表示焦点在轴上的椭圆，以及要获得的值的范围。例5移动圆的中心的轨迹方程是通过知道移动圆通过一个固定点并且被内接在该固定圆内而获得的。2.焦点半径和焦点三角形的应用例1已知椭圆有两个焦点，你能在椭圆上找到一个点，使到左准线的距离等于和的比值的中心吗？如果是，则获得这些点的坐标；如果没有，请解释原因。例2椭圆方程是已知的。长轴的端点是，焦点是，它是点、在椭圆上的面积(用、表示)。3.第二个定义的应用示例1椭圆的右焦点是穿过该点，并且该点在椭圆上。当它是最小值时，得到该点的坐标。例2从椭圆上的一点到右焦点的距离是已知的，并且计算到左准线的距离。例3已知椭圆中有一个点，该点分别是椭圆的左焦点和右焦点，并且该点是椭圆上的一个点。(1)要找到的最大值、最小值和相应的点坐标；(2)对应点的最小值和坐标。4.参数方程的应用示例1找到从椭圆上的点到直线的距离的最小值。例2 (1)写出椭圆的参数方程；(2)找出椭圆内接矩形的最大面积。示例3椭圆和轴在向前的一点相交。如果在这个椭圆上总是有一个点，做(作为坐标的原点)并且找到它的偏心率的范围。5.弦长公式的交叉应用例1椭圆和直线是已知的。(1)当值是多少时，直线和椭圆有一个公共点？(2)如果被椭圆切割的直线的弦长是，求直线的方程。例2众所周知，长轴是12，短轴是6，焦点在轴上的椭圆与左焦点倾斜椭圆的直线相交，以找到两点的弦长。6.点差分法在交叉口中的应用例1假定中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线在两点相交，两点是中点，斜率是0.25，椭圆的短轴长度是2，得到椭圆圆的方程。例2给定椭圆，找出穿过该点并被一分为二的弦的线性方程。例3椭圆是已知的，(1)弦的直线通过点并平分的方程；(2)求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)画出椭圆的割线，找到截断弦中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点、是原点，有满足的直线和斜率。求线段中点的轨迹方程。示例4给定一个椭圆，尝试确定值的范围，以便对于直线，椭圆上有两个不同的点关于直线对称。例5被称为被椭圆切割的线段的中点，并且得到该直线的方程。椭圆经典例题的分类与总结1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的顶点的长轴是短轴的两倍。求解椭圆的标准方程。分析：主题没有指出焦点的位置。应该考虑两种立场。解决方法：(1)当它是主轴的端点时，椭圆的标准方程是：(2)当它是短轴端点时，椭圆的标准方程是：注意：椭圆有两个标准方程。给定顶点的坐标和对称轴的位置，就不可能确定椭圆是垂直的还是水平的。因此，应该考虑两种情况。例2给定椭圆的偏心率，得到的值。分析：讨论分为两种情况。Soluti分析：根据已知条件确定的三角函数的大小与根据三角函数的单调性获得的值的范围之间的关系。解答：方程式可以简化为。因为焦点在轴上，所以。因此。说明：(1)从椭圆的标准方程来看，很容易被忽略。(2)从轴线上的焦点，知道，(3)取值范围，应注意题目中的条件例5移动圆的中心的轨迹方程是通过知道移动圆通过一个固定点并且被内接在该固定圆内而获得的。分析：关键是根据问题的含义列出P点所满足的关系。解决方案：如图所示，将移动圆和固定圆设置在该点上。移动点到两个固定点，也就是说，固定点和圆心之间的距离之和正好等于圆的半径。也就是说，点的轨迹作为两个焦点，具有半长轴4和半短轴长度的椭圆方程：注：本主题是根据椭圆的定义确定轨迹为椭圆，然后根据椭圆的标准方程求出轨迹方程。这是求轨迹方程的一种重要思想方法。2.焦点半径和焦点三角形的应用例1已知椭圆有两个焦点，你能在椭圆上找到一个点，使到左准线的距离等于和的比值的中心吗？如果是，则获得这些点的坐标；如果没有，请解释原因。解决方案：假设存在，假设，并基于已知的条件,左准线方程为：.也称为焦点半径公式：嘿。,.这是有组织的。(1)理解或。另一方面。(2)那么(1)和(2)是矛盾的，所以满足条件的点不存在。例2椭圆方程是已知的。长轴的端点是，焦点是，它是点、在椭圆上的面积(用、表示)。分析：为了找到面积，我们应该结合余弦定理，定义角度的两个相邻的边，从而使用来找到面积。解决方案：如图所示，假设可以假设椭圆的对称性，并且可以在第一个象限中假设椭圆的对称性。由余弦定理可知：根据椭圆的定义：，那么。因此。3.第二个定义的应用示例1椭圆的右焦点是穿过该点，并且该点在椭圆上。当它是最小值时，得到该点的坐标。分析：本主题的关键是找到偏心率，并将其转换为到右准线的距离，以获得最小值。一般来说，这种方法可以用来寻找。解决方案：从已知的：因此，正确的准线。过作用，垂直于脚，与椭圆相交，因此，明显的最小值是，即，期望的点，因此，在椭圆上。因此。注意：本主题的关键在于未知公式中“2”的处理。实际上，如图所示，是到右准线的距离的一半，也就是说，在图中，问题被转化为在椭圆上寻找一个点，这样到达的距离和到右准线的距离之和取最小值。例2从椭圆上的一点到右焦点的距离是已知的，并且计算到左准线的距离。分析：使用椭圆的两个定义，或者使用第二个定义与椭圆的两个准线之间的距离来求解。解决方案1:从，到.由椭圆定义，获取。椭圆的第二个定义是到左准线的距离。，到左边准线的距离是。解决方案2:到右准线的距离，和椭圆的两条准线之间的距离是。:到左边准线的距离是。注意：当使用椭圆的第二个定义时，应该注意焦点和准线的同一侧。否则，误解就会发生。椭圆有两种定义，从不同角度反映了椭圆的特征。解决问题时，应该灵活选择，自由运用。一般来说，如果遇到将点移动到两个固定点的问题，使用椭圆的第一个定义。如果遇到移动点和固定线之间的距离，则使用椭圆的第二个定义。例3已知椭圆中有一个点，该点分别是椭圆的左焦点和右焦点，并且该点是椭圆上的一个点。(1(1)如上图所示，让我们假设在椭圆上的任何一点上，等号只在那时有效，此时，两者共线。到了，等号只在那个时候成立，在这个时候，并且是共线的。建立了的线性方程，并求解得到两个交点、总之，当点彼此重合时取最小值，当点彼此重合时取最大值。(2)如下图所示，将椭圆上的任意点设置为垂直椭圆的右准线，即垂直足，从椭圆的第二个定义可知，使其与最小准线共线，得到到右准线的距离。正确的准线方程是。从到右边准线的距离是。此时，点坐标和点坐标与1相同，并且通过代入椭圆来获得满足条件的点坐标。注意：最小值是在第二个定义转换后使用相应的准线作为垂直线段。利用好焦点半径和点距离的相互转换是解决相关问题的重要手段。4.参数方程的应用示例1找到从椭圆上的点到直线的距离的最小值。分析：首先，写出椭圆的参数方程，从点到直线的距离建立三角函数关系，得到距离的最小值。解：椭圆的参数方程是将椭圆上的点的坐标设置为，那么从点到直线的距离为。当时，注：当直接设定点坐标不易求解时，可建立曲线的参数方程。例2 (1)写出椭圆的参数方程；(2)找出椭圆内接矩形的最大面积。分析：本主题研究椭圆的参数方程及其应用。为了简化运算和减少未知量，椭圆的参数方程通常被用来表示曲线上的点坐标，并且该问题被简化为三角形问题。解决方案：(1)。(2)假设椭圆内接的矩形的面积由对称性可知，矩形的相邻边分别平行于轴和轴，并设置为第一象限中矩形的顶点，然后因此，椭圆的内接矩形的最大面积是12。说明：将椭圆参数方程转化为三角函数的最大值问题。一般来说，与二次曲线相关的最大值问题以参数方程的形式比较简单。示例3椭圆和轴在向前的一点相交。如果在这个椭圆上总是有一个点，做(作为坐标的原点)并且找到它的偏心率的范围。分析：对于不动点和动点，点坐标可以作为参数转换成点坐标的等价关系，然后建立关于、的不等式，并转换成关于使用坐标范围的不等式。为了减少参数，很容易考虑使用椭圆参数方程。解：让椭圆的参数方程为，然后椭圆上的点，,，也就是说，或被解决了，对不起，但我不知道该怎么办。和.注意：如果已知椭圆的偏心范围，请确认椭圆上始终有一个点标记。怎么做？5.弦长公式的交叉应用例1椭圆和直线是已知的。(1)当值是多少时，直线和椭圆有一个公共点？(2)如果被椭圆切割的直线的弦长是，求直线的方程。解：(1)将线性方程代入椭圆方程，也就是说，我们可以理解。(2)将直线和椭圆的两个交点的横坐标设置为，从(1)获得。根据弦长公式：等式是。注：处理直线和椭圆的位置关系以及弦长的方法不同于处理直线和圆的方法。为了解决直线和椭圆的相交问题，一般都考虑判别式。为了解决弦长问题，一般采用弦长公式。有了弦长公式，如果能合理地运用维塔定理(即根与系数的关系)，运算过程就能大大简化。例2众所周知(方法3)用焦点半径求解。根据直线和椭圆的联立方程，找到了方程的两个根，分别是它们的横坐标。然后，根据焦距，我们可以找到6.点差分法在交叉口中的应用例1假定中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线在两点相交，两点是中点，斜率是0.25，椭圆的短轴长度是2，得到椭圆圆的方程。解决方法：从问题的意义出发，让椭圆方程，到，到，,，你想要的。说明：(1)该问题采用待定系数法求解椭圆方程；(2)对于直线和曲线的合成，根和系数的关系通常用来解决弦长、弦长中点和弦长斜率的问题。例2给定椭圆，找出穿过该点并被一分为二的弦的线性方程。分析1:众所周知，在一点找到一条直线的关键是找到斜率。因此，我们将斜率设置为，并使用条件来找到它。解决方案1:如果期望直线的斜率是，那么直线方程是。把它代入椭圆方程，然后整理出来。根据维塔定理。是字符串的中点。所以直线方程是。分析2:将字符串两端的坐标设置为、并设置、的等式以找到斜率：解决方案2:如果集合直线与椭圆相交于，则问题得到解决(1)至(2)至(5)将和代入得出直线的斜率为。所需的线性方程是。描述：(1)弦中点问题有三种主要类型：穿过固定点并被固定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；弦中点穿过固定点的轨迹。(2)第二种解法是“点差分法”，它更便于解决弦中点问题。关键是要巧妙地替代坡度。(3)弦和弦中点问题常用的方法有“维埃塔定理的应用”和“点差分法”。二次曲线问题也适用。例3椭圆是已知的，(1)弦的直线通过点并平分的方程；(2)求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)画出椭圆的割线，找到截断弦中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点、作为原点，有满足的直线和斜率。求线段中点的轨迹方程。分析：这个问题中的四个问题都与弦的中点有关，所以可以考虑设置弦座标的方法。解决方法：如果字符串的两端分别是线段的中点，那么(1)至(2)。根据问题的含义，上述公式的两端都被相同的，有，将 替换为(1)将、代入，得到的直线方程