概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第五节：两个随机变量的函数的分布.ppt

第五节两个随机变量的函数的分布,Z=X+Y的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布Z=XY的分布*Z=X/Y的分布*Z=X2+Y2的分布,例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解：,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2,一、的分布,1.(X,Y)为二维离散型情形,解:依题意:,例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为1,2的泊松分布,证明:Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.,于是:,i=0,1,2,;,j=0,1,2,r=0,1,即:Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.,已知设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.,这里积分区域D=(x,y)|x+yz,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线x+y=z及其左下方的半平面.,2.(X,Y)为二维连续型情形,化成累次积分,得:,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得:,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成:,特别地,当X和Y独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,卷积公式,两个随机变量的和的概率密度的一般公式:,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,例3若X和Y独立,具有共同的概率密度:,求Z=X+Y的概率密度.,解:由卷积公式:,也即:,故:当或时,暂时固定,当时,于是:,当时,例4若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.,解:由卷积公式:,可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形.,若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,1.M=max(X,Y)的分布函数,即有:FM(z)=FX(z)FY(z),即有:FN(z)=11FX(z)1FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为:,我们来求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法,可得:,N=min(X1,Xn)的分布函数是:,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有:,例5设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,连接的方式分别为:(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如下图所示.设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为:,其中且试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度.,解:(i)串联的情况,由于当系统L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为:,因为X的概率密度为:,所以X的分布函数为:,当x0时,当x0时,故:,类似地,可求得Y的分布函数为:,于是的分布函数为:,=1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为:,(ii)并联的情况,由于当且仅当系统L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所以此时L的寿命为:,故的分布函数为,于是的概率密度为:,(iii)备用的情况,因此整个系统L的寿命为:,由于当系统L1损坏时,系统L2才开始工作,当且仅当:,即:时,上述积分的被积函数不等于零.,故:当z0时,当z0时,于是的概率密度为:,需要指出的是,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称:为极值.,M=max(X1,Xn),N=min(X1,Xn),由于一些灾害性的自然现象,如地震、洪水等等都是极值,研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,例6设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布,试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).,令F(s)为S的分布函数,则:,三