§ 2.5等比数列的前n项和1（课件）

,前n项和公式,等比数列,引入,传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨班达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏。国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8麦粒，.，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子”国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊，为什么呢？,（1）等比数列前n项和公式：_.（2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:_.,（一）等比数列的前n项和公式,=，=()，,错位相减法,例1.（1）求下列等比数列前8项的和：12，14，18，；a1=27，a9=1243.,【解】（1）由条件易1=12，=128=121(12)8112=255256由a1=27，a9=1243，可得1243=27q8，解得=13,（1）等比数列前n项和公式：_.（2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:_.,（一）等比数列的前n项和公式,=，=()，,错位相减法,例1.（1）求下列等比数列前8项的和：12，14，18，；a1=27，a9=1243.,【解】由a1=27，a9=1243，可得1243=27q8，解得=13,当=13时，8=271(13)8113=328081；当q=13时，8=271(13)81+13=164081.,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,【解】若q=1，则S3=3a1=6，符合题意，此时q=1，a3=a1=2.若q1，则由等比数列的前n项和公式得3=2(13)1=6，即33+2=0，化简整理得(1)2(+2)=0，解得q=1(舍去)或q=2.此时，a3=a1q2=2(2)2=8.,（2）已知等比数列an中，a1=2，S3=6，求a3和q.,综上所述，q1，a32或q2，a38.,【注】（1）等比数列前n项和公式的使用条件是1.利用该公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论.（2）在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可通过方程组求出其余两个量,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,变式1.在等比数列an中，S372，S6632，求an.,【解析】由已知6231又S3=72，S6=6321(13)1=721(16)1=632，解得a1=12，q=2.an=a1qn1=2n2,（二）等比数列前n项和的实际应用,例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?,【解】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列an，其中a15000，q110%1.1，Sn30000.于是得到5000（11.1）11.1=30000，整理，得1.1n1.6.两边取对数，得nlg1.1lg1.6.用计算器算得=lg1.6lg1.15n(年)大约5年可使总销售量达到30000台,注：建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应,=()=,一前n项和公式与函数的关系,（一）等比数列前n项和公式与函数的关系,是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数,求解时，常设=()，用待定系数法.,，成等比数列，且公比为.,二性质对比,当的项数为偶数时，偶奇=.,（二）等比数列前n项和的性质,例3.在正项等比数列an中，Sn是其前n项和，若S1010，S30130，则S20的值为_,40,变式3.在等比数列an中，已知2=2，5=14，则12+23+1=()A16(14)B16(12)C323(14)D323(12),C,（三）等比数列前n项和性质的应用,【解】3=52=18，解得=121=2=4，12=8又+1也是等比数列，且首项为12=8，公比为2=1412+23+1=81(14)114=323(14).,【本节课的目标】,1理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；2能够应用前n项和公式解