2015届普通高等学校招生全国统一考试 数学理科（新课标II 卷）

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知集合A=-2，-1，0，2，B=x|（x-1）（x+2）0，则AB=（A）-1，0 （B）0，1 （C）-1，0，1 （D）0，1，2(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是.（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（4）等比数列an满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（A）21 （B）42 （C）63 （D）84（5）设函数则 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A） （B） （C） （D） （7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（A）2 （B）8 （C）4 （D）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=（A）0 （B）2 （C）4 （D）14 （9）已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A36 B.64 C.144 D.256(10).如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为 A B2 C D（12）设函数是奇函数的导函数，当x0时，0，则使得f (x) 0成立的x的取值范围是 A B C D 第卷二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。（13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ；（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为_ ；（15） 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则=_；（16）设Sn是数列an的前项和，且，则Sn=_三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分） ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD是ADC面积的2倍。()求 ； () 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长(18) (本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。（19）(本小题满分12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线AF与平面所成角的正弦值.（20）(本小题满分12分）已知椭圆C：(m0)，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.() 证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由（21）(本小题满分12分）设函数.()证明：f(x)在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增；()若对于任意x1,，x2-1,1，都有f(x1)- f(x2)e-1，求m的取值范围请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点. ()证明：EFBC() 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C1：（t为参数，t0）其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：.().求C2与C3交点的直角坐标；().若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设a，b，c，d均为正数，且，证明：() 若，则；() 是 的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案1.2.3.【答案】D4.5.6.【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题7.【考点定位】圆的方程来【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦的长，属于中档题8.9.【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题10.【考点定位】函数的图象和性质【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题11.【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题12.【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递增，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题13.14.【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为【考点定位】线性规划【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题15.16设是数列的前n项和，且，则_16.【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项与的关系，从而转化为与的递推式，并根据等差数列的定义判断是等差数列，属于中档题17.18.【答案】（）详见解析；（）【解析】（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散【名师点睛】本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率19.【答案】（）详见解析；（）【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面的法向量，利用求直线与平面所成角的正弦值20.【答案】()详见解析；（）能，或【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系【名师点睛】()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；（）根据()中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值21.【答案】()详见解析；（）【解析】()若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增【考点定位】导数的综合应用【名师点睛】()先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（）恒成立，等价于由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由()可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解22.【答案】（）详见解析；（）【考点定位】1等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质【名师点睛】平面几何中平行关系的证明往往有三种方法：由垂直关系得出；由角的关系得出；由平行关系的传递性得出；除了用常规方法求面积外，通过割补法，将所求面积转化为易求面积的两个图形的和或者差更简洁23.【答案】（）和；（）【名师点睛】（）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交