1.2 数轴、相反数与绝对值

数轴、相反数与绝对值,1.2,1.2.1数轴,我们看到的刻度尺的边缘上都有一些点，并且这些点在一条直线上，它们分别表示一些数.由此联想，能不能用一条直线上的点来表示数？,小丽从点O出发，沿一条笔直的东西向人行道行走的示意图.由图你能受到什么启发？,让出发点O表示0，向东走1m到达点A，就让点A表示1；,向东走3m到达点C，就让点C表示3；,向西走1m到达点B，就让点B表示-1.,向西走3m到达点D，就让点D表示-3.,从上面的例子受到启发，我们可以用一条直线上的点来直观地表示数.,画一条直线(通常把它水平放置)，,0,在直线上取一点O，把点O叫做原点，,用原点表示数0.,规定直线的正方向（标上箭头）.,通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向.,选取适当的长度为单位长度.,从原点向右，距原点1个单位长度的点表示数1，,距原点2个单位长度的点表示数2，；,从原点向左，距原点1个单位长度的点表示数-1，,距原点2个单位长度的点表示数-2，.,像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.,任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.,例1如图1-7，数轴上的点M，P，Q分别表示哪个有理数？,图1-7,解：M，P，Q分别表示-3，-0.5，2.5.,举例,例2画一条数轴，并标出表示下列各数的点：,解：所画数轴及各数在数轴上对应的点如图.,1.把下列各数和数轴上对应的点用线连起来：,0,-2,3,-3.5,4.25,2.填空：,（1）数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示的数是；,（2）数轴上在原点左边距原点个单位长度的点表示的数是；,（3）数轴上距原点2个单位长度的点有个，它们分别表示数.,3.7,2和-2,两,3.画一条数轴，并标出表示下列各数的点：-2，-0.8，0.8，2.,1.2.2相反数,如图1-9，点A和点B表示的有理数之间有什么关系？,图1-9,点A与原点的距离是5，点B与原点的距离也是5.,点A表示-5，点B表示5，它们只有符号不同.,像5和-5这样，如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.,例如，2.6的相反数是-2.6，-2.6的相反数是2.6.,我们把数a的相反数记做-a于是“-2.6的相反数是2.6”就可以记做“-(-2.6)=2.6”,0的相反数是0.,表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.,例3画一条数轴，并标出表示下列各数的相反数的点：,解：3的相反数是-3；1.5的相反数是-1.5；-6的相反数是6，且-3，-1.5，6在数轴上对应的点分别为A，B，C，如图所示,3，1.5，-6.,-(+1)=?,-(-1)=?,因为+1的相反数是-1，所以-(+1)=-1.,因为-1的相反数是1，所以-(-1)=1.,例4填空：,-(+0.8)=；-(-3)=.,1.把右边各数中互为相反数的两个数用线连起来，并在一条数轴上标出表示它们的点.,2.填空：,-(+6.7)=；-(+8）=；-(-4)=；=.,-6.7,-8,4,3.已知a的相反数是3.5，则a等于多少？,答：a是-3.5.,1.2.3绝对值,小明家、学校、小李家在数轴上的位置分别如图中点A，O，B所示.,若数轴的单位长度表示1km，则A，B两点表示的有理数分别是多少？,小明、小李各自从家到学校要走多远？,点A表示-4，小明从家到学校要走4km,点B表示2，小李从家到学校要走2km.,我们把4叫做-4的绝对值，记做“|-4|=4”；,把2叫做2的绝对值，记做“|2|=2”.,正数的绝对值是它本身.,负数的绝对值是它的相反数.,0的绝对值是0.,从而，互为相反数的两个数的绝对值相等.,从上述例子看到，-4的绝对值等于数轴上表示-4的点A与原点之间的距离，,2的绝对值等于数轴上表示2的点B与原点之间的距离，如图所示.,一般地，有下述结论：,一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离.,例5求下列各数的绝对值：12，-7.5，0.,举例,解,|12|,12是正数，正数的绝对值等于它本身.,=,12,是负数，负数的绝对值等于它的相反数.,=,|-7.5|,-7.5是负数，负数绝对值等于它相反数.,=,7.5,|0|,0的绝对值等于0.,=,0,如果a表示一个数，则|a|等于多少？,（1）当a是正数时，|a|=a；,（3）当a是负数时，|a|=-a.,（2）当a=0时，|a|=0；,一般地，如果a表示一个数，则,即|a|是指a和-a中非负数的另一个.,例6若|a|=8.7,求a.,解,互为相反数的两个数的绝对值相等.,因为绝对值等于8.7的有理数有8.7和-8.7两个，,所以a=8.7或a=-8.7.,1.求下列各数的绝对值：3，3.14，-2.8.,解,|3|=3；|3.14|=3.14；|-2.8|=2.8.,2.填空：,-|-2010|=；-|-2.8|=；=.,-2010,-2.8,3.画一条数轴，并标出表示绝对值等于2，3.5的数的点.,例1,在一条东西走向的马路上，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所.已知青少年宫在学校东300米，商场在学校西200米，医院在学校东500米.若将马路近似地看成一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100米.1.在数轴上表示出四家公共场所的位置.2.列式计算青少年宫与商场之间的距离.,画数轴要注意数轴的三要素，选择适当的点（学校）为坐标原点，求数轴上两点的距离时要利用数形结合思想.,分析,青少年宫与商场之间的距离为500米.,解,(1),(2),例2,点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的实数为（）.A.2B.-6C.2或-6D.不同于以上答案,利用数轴，可以直观地看到问题的答案.,分析,如果点A是向左移动