第8讲欧氏空间、正交基.ppt

,高等院校非数学类本科数学课程,线性代数,大学数学（3）,第八讲欧氏空间,脚本编写：彭亚新,第三章向量空间,第四节欧氏空间,本节教学要求：,了解向量的内积和向量正交的概念。知道欧氏空间的概念。了解向量空间的正交基的概念。能熟练地将向量空间的一般基转换为相应的正交基。,一.欧几里得空间,二.向量的正交性,第四节欧几里得空间,一.欧几里得空间,证,二.向量的正交性,解,规定零向量与任何向量正交。,证,证,证,证,请翻开书,看P131倒数第4行的定理2及其证明。,解,第五节线性变换,一、线性变换的定义,二、线性变换的矩阵,三、线性变换在新基下的矩阵,四、线性变换的特征值与特征向量,一、线性变换的定义,定义1,(1)对任意,V,有,T(+)=T()+T(),(2)对任意V,及任意实数k，有,T(k)=kT(),则称T为V的一个线性变换.,若T满足：,向量在T下的像，记为T()或T.,它构成一个线性空间，,全体的集合，,对,注1：定义式中（1），（2）可表示为,例2：,证：,T(+)=(+)A,设A为一n阶实矩阵，对任意Rn，令T=A,则T为Rn中的线性变换.,=A+A,=T+T,T(k)=(k)A,=k(A),=k(T),故T为Rn中的线性变换.,V中两类特殊的线性变换：,1.恒等变换E,E=,V,2.零变换O,O=0,V,定理1,设T是V的一个线性变换，则,(1)T把零向量变到零向量，把的负向量变到的像的负向量，即,T0=0；T()=T.,(2)T保持向量的线性组合关系不变,即,T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.,(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.,加法:(T1+T2)=T1+T2;,数乘:(kT)=kT,乘法:(T1T2)=T1(T2),对V,kR.,均为V的线性变换.,可证:若T1,T2均为V的线性变换，则,二、线性变换的矩阵,T为V的一个线性变换.,T=k1T1+k2T2+kmTm,设V为向量空间,dim(V)=m.,1,2,m为V的一组基，,=k11+k22+kmm,T1=a111+a212+am1m,T2=a121+a222+am2m,Tm=a1m1+a2m2+ammm,=(1,2,m)A,其中,（1）,（2）,给定V的基1,2,m,线性变换T,矩阵A,定理3,设V的线性变换T有,(T1,T2,Tm),=(1,2,m)A,向量在基1,2,m下的坐标为(x1,x2,xm)，,T在此基下的坐标为(y1,y2,ym),则,=(1,2,m)A,=x11+x22+xmm,T=x1T1+x2T2+xmTm,=(1,2,m),证明：,所以,例3：,设R3的线性变换T,T(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3),求T在标准基1,2,3下的矩阵.,解：T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)=a111+a212+a313,T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)=a121+a222+a323,T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)=a131+a232+a333,故T在标准基1,2,3下的矩阵为,特例：,线性变换T=k数量矩阵kE,恒等变换T=单位矩阵E,零变换T=0零矩阵O,定理4,三、线性变换在新基下的矩阵,设向量空间V有两组基，分别为,证明：,B=C1AC.,故,定义5,设A,B为两n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使B=C1AC,则称方阵A与B相似，记为AB.,性质：,(1)AA(反身性),(2)ABBA(对称性),(3)AB,BCAC(传递性),解：从e1,e2,e3到1,2,3的过渡矩阵,例5线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为,故线性变换T在1,2,3下的矩阵,B=C1AC,四、线性变换的特征值与特征向量,定义6,问题:线性变换在何种基下对应对角矩阵?,T=,成立，则称为T的一个特征值，而称为T对应于特征值的一个特征向量。,如果存在数及n维非零向量，使得,设T是向量空间V的一个线性变换,注：若为T的属于特征值的一个特征向量,则k(k0)也为T的属于特征值的特征向量.,T(k)=kT=k=(k),若1,2,m为T的特征向量，且构成V的基,由Ti=ii,T在特征向量这组基下,定理5,设V为m维向量空间，T为V的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是T有m个线性无关的特征向量.,对角矩阵,特征值，特征向量的求法：,设1,2,m为V的一组基,(T1,T2,Tm),=(1,2,m)A,=(1,2,m)A,=x11+x22+xmm,T=x1T1+x2T2+xmTm,=,=(1,2,m),=(1,2,m),满足：,即(AE)X=0,T=,注：,AX=X,的坐标,(AE)X=0,定义3,欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，若对任意,V,均有(T,T)=(,),定理2,设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个