24.1.2垂直于弦的直径(1)

问题：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，,问题情境:你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,A,B,37.4,7.2,24.1.2垂直于弦的直径,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?,观察思考,圆是中心对称图形，,它的对称中心是圆心.,圆还是旋转对称图形,它的旋转中心是圆心,旋转角任意角度,O,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB于E把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆是否能重合?图中有相等的线段吗？（半径除外）,O,A,B,C,D,E,活动二,（1）相等线段：AE=BE,图中有相等的弧吗？（半圆弧除外）,即点E平分弦AB或直径CD平分弦AB,即直径CD平分弦AB所对的两条弧,验证发现,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：AEBE，ACBC，ADBD。,叠合法,O,A,B,C,D,E,归纳提升,垂径定理:垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理用几何语言怎样表达?,当直径CD弦AB时,则CD平分弦AB，并且平分AB及ACB,在O中,及时巩固,1.判断下列图形，能否满足垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,(),(),(),(),M,O,A,C,B,N,D,2.如图，在圆O中，直径MNAB，垂足是C，则下列结论中错误的是（）A.AC=CBB.AN=BNC.AM=BMD.ON=CN,例1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,例题讲解：,(1)若弦AB长为8cm，O半径为5cm，求圆心O到AB距离；（2）若圆心O到AB距离为3cm，O半径为5cm求弦AB长.,变式训练：,总结归纳,若圆心到弦的距离用d（弦心距）表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?,r=d+h,d,r,a,h,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题？,在RtOAD中，由勾股定理，得,即R2=18.72+（R7.2）2,因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,AB=37.4，CD=7.2，,OD=OCCD=R7.2,解:在图中,如图，用AB表示主桥拱，线段AB表示水面，设AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足,OC与AB相交于点C。根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高,例2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ABOE是正方形,O,A,B,C,D,E,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,课堂小结、各抒己见,同学们在获取新知的方面有哪些收获,?,今天有收获吗？,我发现了我学会了我的体会是我的困难是,除此外，你还能写出以其中两个为条件，其余的做结论的真命题吗？,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,以哪些为条件,哪些为结论，可得到垂径定理？,CD是直径,AM=BM,CDAB,拓展延伸,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,拓展延伸,强化训练:如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形这是圆中计算的两条非常重要的辅助线，将圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，把问题转化为直角三角形的问题。,O,B,A,