第7章多元函数积分学8-16(重积分的物理应用 习题课)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 第第7 7章章 多元函数积分学多元函数积分学 高等数学高等数学A A 7.1.5 7.1.5 重积分的物理应用重积分的物理应用 7.1 7.1 重积分重积分 7.1 7.1 重积分重积分 7.1.5 7.1.5 重积分的物理应用重积分的物理应用 一一. 平面薄片平面薄片D的质量的质量 二二. 物体物体 的质量的质量 四四. 物体物体 的重心的重心 三三. 平面薄片平面薄片D的重心的重心 五五. 平面薄片平面薄片D关于坐标轴与原点的转动惯量关于坐标轴与原点的转动惯量I 六六. 物体物体 的关于坐标轴与原点的转动惯量的关于坐标轴与原点的转动惯量I 七七. 平面薄片平面薄片D关于质点的引力关于质点的引力 八八.物体物体 关于质点的引力关于质点的引力 例例1 例例2 例例3 例例4 例例5 重积分内容小结重积分内容小结 重 积 分 的 物 理 应 用 重 积 分 的 物 理 应 用 一一. 平面薄片平面薄片D的质量的质量 .),(求其质量求其质量的面密度为的面密度为设平面薄片设平面薄片yxD x y o d dyxdm),( D dyxm ),( 二二. 物体物体 的质量的质量 .),(求其质量求其质量的体密度为的体密度为设物体设物体zyx dvzyxdm),( dvzyxm),( .1, 5 , ,8 4 . 1 求此物体的质量处的密度为离球心为 而且已知心的距离成反比一点的密度与该点到球 其上任的两个同心球所围成和一物体由半径为例 解解 o x y z 物体为两球面围成物体为两球面围成, 即即 为为 22222 84 zyx , 5 ),( 222 zyx zyx 且且 dv zyx m 222 5 dddsin5 8 40 2 0 5sin ddd.480 ( , )Dx y平平面面薄薄片片 的的重重心心 ).,( ),( yx yxD 求其重心 的面密度为设平面薄片 ,),( dyxxdM y ,),( D y dyxxM ,xmM y 又又 三三.平面薄片平面薄片D的的重心重心 x y o d D dyxx m x ),( 1 D D dyx dyxx ),( ),( D dyxy m y ),( 1 D D dyx dyxy ),( ),( 若分布均匀若分布均匀,则则 D xdx 1 D ydy 1 例例2. 在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重 合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰 好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少? 解解 x y o 设半圆的半径为设半圆的半径为R, 矩形的另一边长为矩形的另一边长为h. R h ,0, 0得得由由 yx , 0 D xdxdy, 0 D ydxdy 22 xR h R R D ydydxydxdy而而 R R dxhxR)( 2 1 222 RhR 23 3 2 , 0 . 3 2R h ).,(),(zyxzyx求其重心求其重心的体密度为的体密度为设物体设物体 dvzyxx m x),( 1 vdzyx vdzyxx ),( ),( dvzyxy m y),( 1 vdzyx vdzyxy ),( ),( dvzyxz m z),( 1 vdzyx vdzyxz ),( ),( 若分布均匀若分布均匀,则则 xdv V x 1 ydv V y 1 zdv V z 1 四四. 物体物体 的重心的重心 ., 2. 3 222 试求球体的重心平方该点到坐标原点的距离 于内各点处的体密度都等球体例Rzzyx 解解 o x y z ,),( 222 zyxzyx dvzyxm)( 222 2 0 d 2 0 d cos2 0 4 sin R d 5 15 32 R , 0)( 222 dvzyxx而而 , 0)( 222 dvzyxy dvzyxz)( 222 cos2 0 5 2 0 2 0 cossin R ddd 6 3 8 R dvzyxx m x),( 1 , 0 dvzyxy m y),( 1 , 0 dvzyxz m z),( 1 . 4 5 15 32 3 8 5 6 R R R ). 4 5 , 0 , 0(R所求重心坐标为所求重心坐标为 .,),( oyx IIIyxD求求的面密度为的面密度为设平面薄片设平面薄片 x y o 2 mdI d dyxydI x ),( 2 D x dyxyI ),( 2 D y dyxxI ),( 2 D o dyxyxI ),()( 22 五五. 平面薄片平面薄片D关于坐标轴与原点的转动惯量关于坐标轴与原点的转动惯量I .1 ),1 (1 . 4 2 的转动惯量对于直线密度为 面所围的均匀薄片及直线求由抛物线例 y yxy 解解 x y o 1 11, 1| ),( 2 xyxyxD D dyI 2 )1( 1 2 1 1 2 )1( x dyydx. 105 368 .,),( ozyx IIIIzyx求求的体密度为的体密度为设物体设物体 dvzyxzyI x ),()( 22 dvzyxzxI y ),()( 22 dvzyxyxIz),()( 22 dvzyxzyxIo),()( 222 六六. 物体物体 的关于坐标轴与原点的转动惯量的关于坐标轴与原点的转动惯量I ).1( , . 5 量行于母线的轴的转动惯 心而平的均匀圆柱体对于过中高为求半径为例ha 解解 o x y z h a 如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系， 则柱面方程为则柱面方程为 222 ayx dvyxIz)( 22 dzrdrdr 2 ha dzdrrd 00 3 2 0 . 2 1 4 ha 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域 D， 在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在 D上连续，计算该平面薄片对位于 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点轴上的点 ), 0 , 0( 0 aM 处的质量为处的质量为 m 的质点的的质点的引力引力 )0( a o y z x d F 薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z, zyx FFFF , ),( 222 ayx dyxm kdF ,ayxs ,cos 222 ayx x ,cos 222 ayx y .cos 222 ayx a )0 ,(yx 七七. 平面薄片平面薄片D关于质点的引力关于质点的引力 , )( ),( cos 2 3 222 ayx xdyxm kdFdFx , )( ),( cos 2 3 222 ayx ydyxm kdFdFy , )( ),( cos 2 3 222 ayx dyxam kdFdFz D x d ayx xyx kmF 2 3 )( ),( 222 D y d ayx yyx kmF 2 3 )( ),( 222 D z d ayx yx kmaF 2 3 )( ),( 222 设有一物体，占有空间内的闭区域设有一物体，占有空间内的闭区域 ，在点，在点 ),(zyx处的体密度为处的体密度为),(zyx ，假定，假定),(zyx 在在 上连续，计算该物体对位于上连续，计算该物体对位于 z 轴上的点轴上的点), 0 , 0( 0 aM处处 的的质量质量为为 m 的的质点的质点的引力引力)0( a , )( ),( 222 azyx dvzyxm kdF ,azyxs dv azyx xzyx kmFx 2 3 )( ),( 222 dv azyx yzyx kmFy 2 3 )( ),( 222 dv azyx azzyx kmFz 2 3 )( )(,( 222 八八.物体物体 关于质点的引力关于质点的引力 一、重积分内容小结一、重积分内容小结 二重积分的定义 二重积分的定义 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 二重积分的性质二重积分的性质 分分直角坐标下计算二重积直角坐标下计算二重积 极坐标下计算二重积分极坐标下计算二重积分 的计算的计算的奇偶性简化二重积分的奇偶性简化二重积分用区域的对称性和函数用区域的对称性和函数 用换元法计算二重积分用换元法计算二重积分 三重积分的定义 三重积分的定义 三重积分的性质三重积分的性质 分分直角坐标下计算三重积直角坐标下计算三重积 计算三重积分计算三重积分先二后一先二后一用用 分分柱面坐标下计算三重积柱面坐标下计算三重积 分分球面坐标下计算三重积球面坐标下计算三重积 的计算的计算的奇偶性简化三重积分的奇偶性简化三重积分用区域的对称性和函数用区域的对称性和函数 用换元法计算三重积分用换元法计算三重积分 求平面区域的面积求平面区域的面积 求立体的体积求立体的体积 求曲面的面积求曲面的面积 的质量的质量求平面薄片和空间物体求平面薄片和空间物体 的重心的重心求平面薄片和空间物体求平面薄片和空间物体 的转动惯量的转动惯量求平面薄片和空间物体求平面薄片和空间物体 对质点的万有引力对质点的万有引力求平面薄片和空间物体求平面薄片和空间物体 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序 积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 . 图示法图示法 列不等式法列不等式法 (从内到外从内到外: 面、线、点面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法 二重积分计算的基本技巧二重积分计算的基本技巧 分块积分法分块积分法 利用对称性利用对称性 1. 交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号 4. 利用重积分换元公式利用重积分换元公式 二、二重积分典型例题二、二重积分典型例题 例例1 1 22 ()2222 .: xy D edD axyb 计算其中 (1)恰当选择坐标系恰当选择坐标系 此题用直角坐标系不可积此题用直角坐标系不可积. 例例2 2 计算计算 sin ,:,2,1 1 D x Idxdy D yx xy x 所围所围. . (2)积分次序不容忽略积分次序不容忽略 此题先对此题先对x积分不可积积分不可积. D 例例3 3 解解 围成围成 由由其中其中计算计算2, 1 ,. 2 2 x x yxyDd y x D X-型型 x x D dy y x dxd y x 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 )(dx y x x x 2 1 3 )(dxxx. 4 9 , 1 21 : xy x x D 例例4 4 更换积分次序更换积分次序 2 1 13(3) 2 0010 ( , )( , ) xx Idxf x y dydxf x y dy 例例5 5 解解 . 10, 11:. 2 yxDdxy D 其中其中计算计算 1 D 2 D 3 D 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyx dxy DDD D 321 )()( 22 2 1 2 1 10 2 1 1 2 2 )()( x x dyxydxdyyxdx. 15 11 (3)注意分段函数注意分段函数 例例6 6 解解 ）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆 是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算 arar Ddyx D )cos1( . 22 )cos1( 2 2 22 a a D rdrrd dyx 2 2 33 1)cos1( 3 1 da ). 29 22 ( 3 a (4)对称性的利用要慎重对称性的利用要慎重 考虑两点考虑两点: 积分区域积分区域D的形状的形状; 被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性 例例7 7 1 (4)4(4) DD xy dxy d 其中其中 2222 1 :1;:1,0,0D xyDxyxy 例例8 8 解解 所围成所围成及及 由由其中其中计算计算 00 , 1.)cos( yx yxDdxdy yx yx I D ,yxvyxu 令令 . 2 , 2 uv y vu x 则则 ,DD D x y o 1 yx D u v o vu vu 1 v . 11 ;0 ;0 vyx vuy vux即即 (5)换元法简化积分计算换元法简化积分计算 ),( ),( vu yx J , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D dudvJ v u Icos故故 v v du v u dvcos 2 1 1 0 . 1sin 2 1 1sin2 2 1 1 0 vdv 三重积分复习及典型题型三重积分复习及典型题型 dvzyxf),( iii n i i vf ),(lim 1 0 . 重点：重点：1.计算；计算； 2.应用应用 上边界曲面（上边界曲面（上顶上顶） x y z o D 1 z 2 z 2 S 1 S ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz ),(yx ( , , )df x y zv 2 1 ( , ) ( , ) ( , , )dd . xy zx y zx y D f x y zz 下边界曲面（下边界曲面（下底下底） xOy 坐标面上的坐标面上的投影区域投影区域 利用直角坐标系计算三重积分利用直角坐标系计算三重积分 “先一后二”先一后二” （一）先投影，再确定上、下面（一）先投影，再确定上、下面 x 0 z y c1 c2 d 2 1 c c z ()d d z D f x,y,zx y “先二后一”先二后一” zDz （二）（二）截面法截面法 zyxzyxfIddd ),( z Dyxczczyx ),( ,| ),( 21 c1, c2: 向向 z 轴的投影区间轴的投影区间 Dz: 过过 z c1, c2且垂于且垂于z轴轴 的平面截的平面截 得到的截面得到的截面 0 x z y M(x, y, z) M(r, , z) z r P(x, y, 0) cosrx x y z sinry 柱面坐标柱面坐标 M(x, y, z) M(r, , z) z = z . . （三）利用柱面坐标计算三重积分（三）利用柱面坐标计算三重积分 x z y 0 r d z 底面积底面积：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成： 半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为 r 及及 r+dr 的圆柱面的圆柱面； 平面平面 z及及 z+dz； dz ),sin,cos(zrrf dV = zrrddd . 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素 . zyxzyxfddd ),( dV zrrddd 0 x z y M(x, y, z) M(r, , ) r P y x z . cos sinrx sin sinry cosrz . . 球面坐标球面坐标 （四）利用球面坐标计算三重积分（四）利用球面坐标计算三重积分 r d x z y 0 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成： rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 . 半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面； 圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2 sin drd d dV dV = dddsin)cos,sinsin,cossin( 2 rrrrrf ( (一一) )平面区域的面积平面区域的面积 设有平面区域设有平面区域D, D D d ( (二二) )体积体积 设曲面方程为设曲面方程为.),( , 0),(Dyxyxfz 则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为: D yxfV d),( 则其面积为则其面积为: 占有空间有界域占有空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为: : zyxVddd 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用 d ),(yx M Ad s x y z o Sd d 22 1 1 cos yx ff d1d 22 yx ffA 曲面曲面S的面积的面积元素元素 cosd A xy D yx ffA d1 22 曲面曲面S的面积的面积公式公式 )1 ,( yx ffn ),(yxfz n M Ad z d n ( (三三) )曲面的面积曲面的面积 ox y D ),(yx (1) (1) 平面薄片的质心平面薄片的质心 d x y 三、重积分在物理上的应用三、重积分在物理上的应用 ( (一一) )质质( (重重) )心心 , d),( d),( D D y yx yxx M M x D Dx yx yxy M M y d),( d),( (2) (2) 空间物体的重心空间物体的重心 设物体占有空间域设物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数),(zyx o x y z dV z x y 重心重心 , d),( d),( Vzyx Vzyxx M M x yz , d),( d),( Vzyx Vzyxy M M y zx Vzyx Vzyxz M M z xy d),( d),( D y yxI d),( (1) (1) 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量 ox y D ),(yx d x y D x yxI d),( D o yxI d),( 2 y 2 x)( 22 yx ( (二二) ) 转动惯量转动惯量 vzyxI x d),( )( 22 zy (2)(2)空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量 则则转动惯量转动惯量为为 vzyxI y d),( )( 22 zx vzyxI z d),( )( 22 yx vzyxId),( 0 )( 222 zyx 设物体占有空间域设物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数),(zyx o x y z dV z x y x y z 设物体占有空间区域设物体占有空间区域V, 体密度为体密度为 ),(zyx 区域区域 V 之外有一质量为之外有一质量为 m 的质点的质点 A(a, b, c), 求物体求物体 V 对质点对质点 A 的引力的引力. ( (三三) ) 引力引力 于是引力于是引力F在三个坐标方向上的分量为在三个坐标方向上的分量为 , )(,( 3 dv r axzyxm GF V x , )(,( 3 dv r byzyxm GF V y . )(,( 3 dv r czzyxm GF V z 其中其中G为万有引力系数，为万有引力系数， ,)()()(| 222 czbyaxAMr 例例1 1 22 22 ()d 11 xzvzxy zxy 计计算算， 其其中中由由与与 所所围围成成的的 解解 利用球面坐标利用球面坐标 奇函数，奇函数， 的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),( d0.x v 有有 ()ddxzvz v 22cos 2 4 000 ddcossin drrr . 6 7 例题例题 （画图画图） z 0 x y 1 化为球系下的方程化为球系下的方程 r=2 cos 4 . M . : 20 4 0 r cos20 r z =0 y = 0 x =0 0 y x 画图画图 x 0 z y 1 1 2 1 Dxy Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成 ：上顶上顶 yxz21 ：下底下底 1 2 1 2 1 0 1 0 d)21(d x yyxxx 48 1 . . . x + 2y + z =1 Dxy d d d 0, 0 , 02 1 . Ixx y z xyzxyz 计计算算三三重重积积分分，其其中中 由由及及围围成成 yx D zxyx xy 21 0 dddI = 0 z 例例2 2： x 0 z y 1 1 1Dyz 21 1- -(1-) 00 d(1)(1)d y y-z yyyz ez e4 1 . . . 例例3 3： x + y + z =1 2 (1) 111 000 dd(1)d . y z xx z Ixzy ey 计计算算三三重重积积分分 zy zy D xeyzy yz 1 0 )1( d)-1(dd 2 I = 解解直接积分困难，考虑改变积分次序直接积分困难，考虑改变积分次序 2 111 (1) 000 dd(1- )d yy z y z yzy ex 21 -(1- ) 0 1 (1)d 2 y y ey 例例4 4 2222 222 ()d: 2. zxvxyzR xyzRz 计计算算，与与 所所围围的的公公共共部部分分 解解 为方便为方便采用先二后一法较采用先二后一法较 为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为又又)(zDz 面为对称，面为对称，关于关于 yoz d0.x v 2d Izv 222 2 2 0 :2 dd d z R D xyRz z zzx y 2222 2 2 : dd d z R R D xyRz zzx y . 480 59 5 R 例例5 5 222 d:1. z evxyz 计计算算， 解解 法法，故采用先二后一，故采用先二后一 为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为 222 1 )( zyx zDz d2d zz evev 上上 1 0 ( ) 2d d d z D z x y ez 1 2 0 2(1) d z z ez .2 例例6 6 222 d:2 0,0,2. z xyvyxx yzz 计计算算，与与 围围成成 解解 2 0 22 dddzzyxyxI xy D 2cos 0 2 0 dd2rrr . 9 32 0 y x Dxy 轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设z x zy 0 2 2 .d)( 22 vyx 求求 解解轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的绕绕由曲线由曲线z x zy 0 2 2 旋转曲面方程为：旋转曲面方程为：zyx2 22 8 x y z O 例例7 7 .8围成的空间区域围成的空间区域的曲面与平面的曲面与平面 z 8 0 2 0 4 2 0 d) 4 (dz r z 法法1 vyxd)( 22 yxyxdd)( 22 zyx2 22 先二后一先二后一 8 0 dz rrr z dd 2 0 2 2 0 8 0 dz 8 0 2 2 0 ddzz . 3 1024 8 x y z O 法法2vyxd)( 22 轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设z x zy 0 2 2 围成的空间区域，围成的空间区域，的曲面与平面的曲面与平面8 z 旋转曲面方程为：旋转曲面方程为：zyx2 22 zrdrr r dd 8 2 2 4 0 2 0 2 3 1024 8 x y z O 柱柱面坐标面坐标 解解 2 )(zyx )(2 222 zxyzxyzyx yzxy 是是y的奇函数的奇函数, 关于关于xoz面对称面对称, ()d0 xyyzv . d0.xz v 同同理理亦亦有有 例例8 8 2 () d d d ,Ixyzx y z 22 yxz 2 222 zyx 计算计算 其中其中 是由抛物面是由抛物面和球面和球面 所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域. 于是于是 dxdydzzyxI)( 222 投影区域投影区域 xy D： 在在柱柱面坐标下：面坐标下： ,20 , 10 r ,2 22 rzr ,),(: xy Dr 2 212 002 22 dd()d r r Ir rrzz ).89296( 60 a 所围成立体的表面积.所围成立体的表面积. 与旋转抛物面与旋转抛物面半球面半球面 2 3 22 222 azyx yxaz 求求 y x z o 例例9 9 x y z o D S = 1 S 2 S D : azyx yxaz 2 3 22 222 a2 0 2 222 z ayx 即即 2 S2S 2 S 1 S . . 1 S . 所围成立体的表面积.所围成立体的表面积. 与旋转抛物面与旋转抛物面半球面半球面 2 3 22 222 azyx yxaz 求求 例例1010 azyx yxaz 2 3 22 222 0 2 : 222 z ayx D即即 22 1 1d d xy D Szzx y . . . 所围成立体的表面积.所围成立体的表面积. 与旋转抛物面与旋转抛物面半球面半球面 2 3 22 222 azyx yxaz 求求 解解 222 3 d d 3 D a x y axy 22 2200 1 3dd 3 a ar r ar 2 )13(32a 22 2 1()() d d D xy Sx y aa 22 22 00 1 dd a ar r r a 2 ) 3 2 32(a S= 21 SS 2 3 16 a 例例1010 z = 0 的重心的重心求均匀半球体求均匀半球体 0 , : 2222 zazyx y x z o yx 则则,zyx)，（设重心为设重心为 zyxz V z ddd 1 球面坐标球面坐标 a 3 3 2 a V . a 8 3 . ) 8 3 , 0 , 0a( ( 故重心为故重心为 . 用哪种坐标？用哪种坐标？ r = a a rrr V 0 2 2 0 2 0 dsincosdd 1 .