第五讲 温度场的有限元分析 - CMS

第五讲第五讲 温度场的有限元分析 传热基本原理传热基本原理 稳态热传导问题有限元稳态热传导问题有限元 瞬态热传导问题有限元瞬态热传导问题有限元 热应力的计算热应力的计算 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 焊接焊接 汽车各个典型部件的加工方法 注塑注塑 冲压 铸造 冲压 铸造 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 焊接焊接焊接焊接 注塑注塑注塑注塑 铸造铸造铸造铸造 锻压锻压锻压锻压 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 注塑 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 焊接 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 铸造 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 锻压 冷冲 热冲 1.1 典型加工方法中的传热问题典型加工方法中的传热问题 传热问题广泛出现在材料加工领域 温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 一般三维问题，物体各点的温度 是坐标和时间变化的，即 z z q qdz z y y q qdy y 热平衡原理：任一dt时间内，物 x x q qdx x zy q ( , , , )TT x y z t 体内任一微元体所积蓄的热量（ 即温度升高所需的热量）等于传 入该微元体的热量与微元体内热 x z d z d Q y q x q 入该微元体的热量与微元体内热 源所产生的热量之和。 x y z d z d y y z q x 微元温度传入微元微元内微元温度传入微元微元内 升高升高的的产生产生升高升高=的的+ 产生产生 所需热量净热量的热量所需热量净热量的热量 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 设微元在dt内温度升高为： T TTdt t 相应所积蓄的热量增量为： T d d dd 相应所积蓄的热量增量为： c dxdydzdt t 同一时间内，微元体沿x方向传入和传 出的热量之差，即净热量为 () xx xx qq q dydzdtqdx dydzdtdxdydzdt xx 出的热量之差，即净热量为xx 类似地，y，z方向的净热量：, y z q q dxdydzdtdxdydzdt yz 即传入微元体的净热量为 q qq 即传入微元体的净热量为： () y xz q qq dxdydzdt xyz 由热传导定律：热流密度与温度梯度 成正比而方向相反即 TTT qkqkqk 成正比，而方向相反，即： , , xxyyzz qkqkqk xyz 代入上式得传入微元体净热量为： ()()() xyz TTT kkkdxdydzdt 传()()() xyz y xxyyzz 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的 热量为：热量为： Qdxdydzdt 据热平衡得一般热传导微分方程据热平衡得一般热传导微分方程： ()()() xyz TTTT c dxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdt txxyyzz txxyyzz 微元体温度升 高所需的热量 三个方向传入微 元体的净热量 微元体内热源 产生的热量 高所需的热量元体的净热量 产生的热量 物体密度 c 比热，单位质量物体温度升高1度所需的热物体密度 c比热，单位质量物体温度升高1度所需的热 量； 热传导系数 , xyz k kk 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 整理得到温度场的基本方程如下： ()()()0 xyz TTTT ckkkQ txxyyzz 二维情况下，退化为 ()() xy TTT ckk 0Q()() xy txxyy 0Q 二维稳态情况下，退化为 TT 二维稳态且无热源项，退化为 ()() xy TT kk xxyy 0Q 0 维稳态且无热源项，退化为 ()() xy TT kk xxyy 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 稳态热传导问题，温度场不随时间变化，仅仅是空间坐标的 关系类似于力学问题中的弹性静力学问题关系，类似于力学问题中的弹性静力学问题。 z,y,xfT 瞬态热传导问题，温度场不仅在空间上变化，还随着时间变 化这种在空间域有限元离散后得到的是一阶常微分方程 化。这种在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程 组，不能对它直接求解。 fTt ,z,y,xfT 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场， 必须知道物体初始瞬态的温度分布，即初始条件初始条件。 0 ( , , , )( , , ) t T x y z tT x y z 0t 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即 边界条件边界条件，有三类边界条件。边界条件边界条件，有三类边界条件。 1.2 温度场基本方程温度场基本方程 常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件： 给定物体表面温度随时间的变化关系第类边界条件： 给定物体表面温度随时间的变化关系 )(tfTw 第二类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系 tzyxq n T , 第三类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热 系数 n 上述三类边界条件中以第三类边界条件最为常见 n T fw TT 上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。 1.3 基本概念基本概念 等温面：空间具有相同温度点的组合面。 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或等温线某法线方 向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（ 或等温线）越密集。或等温线）越密集 1.3 基本概念基本概念 热能传递的三种基本方式： 热传导：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及 自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递称为热传导简称 导热导热。 傅立叶定律（导热基本定律） , , xxyyzz TTT qkqkqk xyz 傅立叶定律（导热基本定律） xyz 1.3 基本概念基本概念 热能传递的三种基本方式： 热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生 相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。热对流 仅能发生在流体中包括自然对流与强制对流前者是由于流体仅能发生在流体中。包括自然对流与强制对流，前者是由于流体 冷、热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其 他压差作用所造成的。他压差作用所造成的。 Thq牛顿冷却公式 为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等， 还与流体速度有密切关系。 h 1.3 基本概念基本概念 1.3 基本概念基本概念 热能传递的三种基本方式： 热辐射： 物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。物体会 因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称 为热辐射为热辐射。 Stefan-Boltzmann定理 其中为热力学温度（K）， 为环境温度， 为Stefan-Boltzmann常 量为物体的发射率(黑度ii it )理想黑体其值等于1般量。 为物体的发射率(黑度emissivity)，理想黑体其值等于1，一般 物体小于1。 1.3 基本概念基本概念 思考：热冲压过程中存在哪些传热方式？ 2.1 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元 形函数 形函数：温度场形函数的构造与弹性力学有限元中形函数的构造 本质上是致的仅由于节点自由度的不同形函数矩阵形式上本质上是一致的。仅由于节点自由度的不同，形函数矩阵形式上 有所差异。 以3节点三角形单元为例以3节点三角形单元为例： mji NNNN mji NNN N 000 mji mji NNN N 000 二二维弹性力学形函数矩阵维弹性力学形函数矩阵二二维温度场形函数矩阵维温度场形函数矩阵维弹性力学形函数矩阵维弹性力学形函数矩阵维温度场形函数矩阵维温度场形函数矩阵 )ycxba(N 1 )ycxba( A N iiii 2 完全一致完全一致 i N 2.2 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-加权余量法加权余量法 以伽辽金以伽辽金(Galerkin)法推导二维稳态温度场的有限元离散形式法推导二维稳态温度场的有限元离散形式 ()()0 ()() xy TT kkQ xxyy T x y tTt 在内 在上 11 2 ( , , )(, ) () a T x y tTt T kTT n 在上 在上 为方便起见，不考虑内部热源项，并假设为常数，则控制方程简化为kkk yx TT 0 y T yx T x k 2.2 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-加权余量法加权余量法 将温度T在单元内离散，写成如下形式 其中N为形函数，为节点上的温度值，代入控制方程，得到余量为 TNT T T y N yx N x k y TN yx TN x kR 同理，边界方程的余量为 N k a TTN n N kR 2.2 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-加权余量法加权余量法 根据加权余量法，控制方程的离散形式如下 0 RdWRdW ii 此处采用伽辽金(Galerkin)法，权系数取，并写成矩阵形式，得到 ii NW ii NNN 0 dTTN n N kNTd y N yx N x Nk a TT 对前半部分采用分部积分，得到 Td y N yx N x Nk T Td y N y N x N x N kTd y N x N Nk yyxx TT T Td y N y N x N x N kTd n N Nk TT T 2.2 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-加权余量法加权余量法 将前半部分与后半部分合并后，得到 NNNN TT 简成 不同的边界条件，此 项形式有所不同 dTNTNNTd y N y N x N x N k a TT 简写成 其中 项形式有所不同 PT K 21KKK dTNN T 2K边界单元温度刚度阵 其中即为内部单元温度刚度阵， d y N y N x N x N k TT 1K 以平面三角形单元为例（在前文中已经介绍） A2A2 iiii cNbN 注意到采用三角形单元后，温度刚度阵各个部分均与坐标变量无关，即在单元内为常数。 将上述公式代入刚度阵后，得到 A2A2yx 2.2 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-加权余量法加权余量法 ii cb 1 A2A2A2A2 A2 A2A2A2A2 A2 A k j i j k j i j c c c c b b b b kK 22 A2A2 kk bbbbb cb 22 22 22 A4 kjkjjj kikijijiii cb ccbbcb ccbbccbbcb k kk cb 不同的单位类型，得到的温度刚度阵形式不一 2.2 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-加权余量法加权余量法 对于边界条件的处理 )(tfT第一类边界条件 tzyxq T )(tfTw第一类边界条件 第二类边界条件 tzyxq n , T fw TT第三类边界条件 n fw 第一类边界条件也称为强制边界条件，要求场函数在构建时就必须满足， 通常通过降阶法乘大数法等令相应节点强制满足通常通过降阶法、乘大数法等令相应节点强制满足。 第二类边界条件也称为自然边界条件，在有限元推导过程中，以弱形式 满足，通常与内部项分部积分后导出的边界项，累加后形成外力项。 第三类边界条件与第二类条件有相似的处理方法，但边界项除了外力项， 还出现待求函数本身，具有一定的非线性性质。 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 参曾攀书 x A 设AB间有n条曲线， ( ) 1,2,. i y xin 参曾攀书 p 每条曲线对应一个时间， 要求一条曲线使重物靠自重由A沿此曲 线滑到B所需的时间最短，即求最速下 1,2,. i T in y v p B 线滑到 所需的时间最短，即求最速下 降曲线。显然，AB间直线路径最短，但 重物运动的速度增长并不是最大，即下 滑的时间并非最短。 泛函与变分 T是y(x)函数，即泛函，求变分的极值则 可得最速下降曲线 泛函与变分 函数 y=f(x) 求y 的极值，即求微分，由dy=0 可得。 泛函J=J y(x) 函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的 泛函求泛函的极值即求变分由可得0J泛函，求泛函的极值，即求变分， 由可得。0J 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 采用变分法推导的有限元分析列式与伽辽金(Galerkin)推导的形式是一样的。 但采用变分法，从理论上更加严谨。 泛函的极值性对判断解的近似性质有意义泛函的极值性对判断解的近似性质有意义利用可以对解的上下解做出估计利用可以对解的上下解做出估计泛函的极值性对判断解的近似性质有意义泛函的极值性对判断解的近似性质有意义，利用可以对解的上下解做出估计利用可以对解的上下解做出估计。 对于利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是真解变形能的下界，即近似的位 移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚便；而利用最小余能原理得到 的应力近似解的弹性余能是真实解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的的应力近似解的弹性余能是真实解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的 计算模型偏于柔软。当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，我们将获得这个问题 的上界和下界，可以较准确地估计所得近似解的误差。 （以温度为基本变量的有限元列式具有下界特征）（以温度为基本变量的有限元列式具有下界特征） 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 kTT 第一类边界条件平面稳态温度场第一类边界条件平面稳态温度场 22 ( , )()() 2 kTT J T x ydxdy xy ( , )( , )T x yf x y 部分边界上的温度为已知部分边界上的温度为已知 22 22 0 TT xy ( , )( , )T x yf x y xy 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 kTT 第二类边界条件平面稳态温度场第二类边界条件平面稳态温度场 1 22 ( , )()() 2 kTT J T x ydxdyqTds xy ? 边界面上的热流密度边界面上的热流密度qw/m2为已知为已知 T 22 1 0 T kq n 22 22 0 TT xy 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 222 1kTT 第三类边界条件平面稳态温度场第三类边界条件平面稳态温度场 1 222 1 ( , )()() () 22 a kTT J T x ydxdyTT T ds xy ? 式中介质温度Ta, 换热系数a,固体导热系数k均为常数 22 TT 在内 22 0 TT xy T 在内 1 () a T kTT n 在上 2.3 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-变分法变分法 22 kTkT 具有内热源的平面稳态温度场具有内热源的平面稳态温度场 22 ( , )()() 22 1 kTkT J T x yqT dxdy xy 1 2 1 () 2 a TT T ds ? 22 TT 22 22 ()0 TT kq xy 在 内 1 () a T kTT n 在上 2.4 二维稳态温度场有限元二维稳态温度场有限元-流程流程 在得到有限元列式后，温度场有限元的后续过程与弹性力 学有限元基本一致学有限元基本一致。 1. 模型选取； 2单元的选取结构的离散化2. 单元的选取、结构的离散化； 3. 选择单元的插值模式（形函数）； 4建立单元刚度阵4. 建立单元刚度阵； 5. 建立整体刚度阵； 6求解修改后的整体结构刚度方程得到温度场分布6. 求解修改后的整体结构刚度方程，得到温度场分布； 7. 计算结果输出。 3.1 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-概述概述 稳态热传导问题，即稳态温度场问题与时间无关。和以前各 章所讨论的弹性静力学问题相同采用C 型插值函数的有限单元章所讨论的弹性静力学问题相同，采用C0型插值函数的有限单元 进行离散以后，可以直接得到有限元求解方程。 瞬态热传导问题即瞬态温度场问题是依赖于时间的在空瞬态热传导问题，即瞬态温度场问题是依赖于时间的，在空 间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程组，不能对它直 接求解。如何进行求解，原则上和动力学问题类同，可以采接求解。如何进行求解，原则上和动力学问题类同，可以采 用模态叠加法或直接积分法。 ()() xy TTT ckk txxyy 0Q()() xy TT kk xxyy 0Q 瞬 态稳态瞬 态稳态 3.2 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-离散形式离散形式 瞬态热传导有限元的一般格式瞬态热传导有限元的一般格式 瞬态温度场的场函数温度不仅是空间域的函数，而且还是时间域的函瞬态温度场的场函数温度不仅是空间域的函数，而且还是时间域的函 数。但是两种域并不耦合，可以采用部分离散的方法。 等效积分形式为 令 3.2 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-离散形式离散形式 分部积分得 温度插值中结点温度是时间的函数度插值中结点度时间的函数 有限元求解方程是一组以时间t为独立变量的线性常微分方程组有限元求解方程是一组以时间t为独立变量的线性常微分方程组 一阶常微分方程一阶常微分方程 其中热容矩阵 3.3 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间有限元时间有限元 1. 利用加权余量法建立两点循环公式利用加权余量法建立两点循环公式 基于2个基本概念：基于2个基本概念： 1）将时间域离散化，假设t内的函数关系； 2）用在离散的时间点上满足方程组代替在时间域内处处满足方程组。 采用线性插值采用线性插值 3.3 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间有限元时间有限元 对于个单元建立典型的加权余量格式 代入插值函数得 表达为任何权函数都适用的一般形式表达为任何权函数都适用的般形式 假定 3.3 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间有限元时间有限元 可得两点循环公式 参数参数 的选择的选择 3.3 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间有限元时间有限元 配点法：n上加权配点法：n上加权 配点法：n+1/2上加权 配点法：n+1上加权 权函数为常数权函数为常数 权函数为伽辽金型 权函数为伽辽金型 3.3 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间有限元时间有限元 算法步骤 3.4 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间差分时间差分 根据差分方法 PKC 根据差分方法 nn t - 1 令 nn n t t PKC ：时刻建立平衡方程如下在 nnnnnn )()(PPP -1-1 11 代入后得到 ；其中 nnnn )( tt PPK C K C -11 111 可以看到，采用差分法推导的时间域离散格式与有限元推导的是一致的 3.4 瞬态温度场有限元瞬态温度场有限元-时间差分时间差分 采用差分法推导的时间域离散格式与有限元推导的是一致的 推导过程加简单 推导过程更加简单； 的意义比较直观 说明平衡位置建立在时刻称为向前差分法 0