第四、五讲+地质统计学理论基础.ppt

第三章区域化变量与变差函数,区域化变量及其基本特征变差函数的定义变差函数曲线变差函数的理论模型变差函数的结构分析,第一节区域化变量,区域化变量（RegionalizedVariable)是地质统计学研究的对象,它是一种在空间上具有数值的实函数(GMatheron),也就是说,它在空间的每一个点取一个确定的数值,即当由一个点移到下一个点时,函数值是变化的,区域化变量图示,区域化变量是以空间点x的三个直角坐标（xu,xv,xw)为自变量的随机场Z(xu,xv,xw)=Z(x)当对它进行一次观测后观测后，就得到了他的一个实现z(x),它是一个普通的三元实值函数或空间点函数,区域化变量的两重性,观测前是一个随机场，依赖于坐标（xu,xv,xw)观测后是一个空间点函数，在具体的坐标上有一个具体的值,Z(x2),Z(x1),Z(x6),Z(x3),Z(x5),Z(x8),Z(x4),Z(x7),z(x2),z(x1),z(x6),z(x3),z(x5),z(x8),z(x4),z(x7),随机性,确定性,观测前随机变量的集合,观测后实数（实现）的集合,区域化变量举例,在地质、采矿领域中许多变量都可看成是区域化变量：资源储量、储层厚度、地形标高、矿石内有害组分含量、岩石破碎程度、孔隙度、渗透率、泥质含量等。有的是二维的，有的是三维的。区域化变量正是地质统计学研究的对象。,区域化变量的功能,由于区域化变量是一种随机函数，因而能同时反映地质变量的结构性与随机性。当空间一点x固定之后，Z(x)（表示x点处的矿石品位）就是一个随机变量，体现了其随机性。在空间两个不同点x及x+h(此处h也是个三维向量(hu,hv,hw)。它的模表示x点与(x+h)点的距离）处的品位Z(x)与Z(x+h)具有某种程度的相关性，这就体现了其结构性的一面。,区域化变量的属性,1、空间局限性2、连续性3、异向性4、相关性5、叠加性,1、空间局限性,区域化变量被限制于一定的空间，该区间称为区域化变量的几何域。例如，矿体的范围，油藏的范围，断块的范围等都可以看成是区域化变量的几何域。,、连续性,不同的区域化变量具有不同程度的连续性，这种连续性是通过区域化变量的变差函数来实现的,、异向性,区域化变量在各个方向具有不同的性质时称为各向异性，否则称为各向同性。在地质上，各向异性是绝对的，而各向同性是相对的,4、相关性,区域化变量在一定的范围之内呈现一定程度的空间相关性，当超出这一范围之后，相关性变弱以至消失,5、叠加性,对于任一区域化变量而言，特殊的变异性可以叠加在一般的规律之上,二、地质统计学的若干基本假设,平稳假设内蕴假设,平稳假设(stationaryassumption),任何统计的推断,不论是单变量的累积概率分布函数(cdf)或是它的任何阶矩（均质、方差），还是多变量的cdf及其任何阶矩（协方差），都需要重复取样。但是在许多情况下，在某一个位置（u)只有一个样品,那么z(u)是已知的。也就是说，区域化变量的取值是唯一的，不能重复，为了克服这个困难，提出了如下的平稳假设。,平稳假设,假设区域化变量Z(x)的任意n维分布函数均不因空间点x发生位移h而改变，即：这种假设要求的条件太强了，实际上很难满足。在地质统计学中，只需要假设Z(x)的一阶、二阶矩存在且平稳就够了，也就是二阶平稳假设,二阶平稳假设,当区域化变量Z(x)满足下列两条件时，称其为二阶平稳的：1、在整个研究区内Z(x)的数学期望均存在，且等于常数，即E(Z(x)=m（常数）x2、在整个研究区内Z(x)的协方差函数存在且平稳（即只依赖于基本步长h，而与x无关，即：CovZ(x),Z(x+h)=EZ(x)Z(x+h)-EZ(x)EZ(x+h)=EZ(x)Z(x+h)-m2=C(h)xh当h=0时，上式变为VarZ(x)=C(0)x此式说明：方差函数也存在，且为常数C(0),本征假设（内蕴假设）,在实际应用中，有时连二阶平稳假设的要求也不能满足，（如协方差函数不存在或方差函数不存在等）。这时，可以再放宽条件，得到本征假设当区域化变量Z(x)的增量Z(x)Z(x+h)满足下列两条件时，称其满足本征假设：1、在整个研究区内有EZ(x)-Z(x+h)=0，x，h若Z(x)，x存在，则此条件等于EZ(x)EZ(x+h)=m(常数）x，h2、增量Z(x)Z(x+h)的方差函数存在且平稳(即方差函数不依赖于x)VarZ(x)-Z(x+h)=EZ(x)-Z(x+h)2-EZ(x)-Z(x+h)2=EZ(x)-Z(x+h)2=2(x,h)=2(h)x，h,三、变差函数,变差函数是地质统计学所特有的基本工具，它既能描述区域化变量的结构性变化，又能描述其随机性变化。是地质统计学计算的基础。,、变差函数的定义,设区域化变量Z(x)定义在一维数轴x上，把Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义为Z(x)在x轴方向上的一维变差函数,记为:,地质统计学上把2(x,h)定义为变差函数,(x,h)称为半变差函数。一般情况下把(x,h)称为变差函数,在二阶平稳假设或本征假设（内蕴假设）的条件下，有：EZ(x)EZ(x+h)x，h于是变差函数可以简化为：,变差函数的简化,在内蕴假设的条件下，变差函数(x,h)与x无关,只与分隔两个两个样品之间的距离h有关,(x,h)可以改写为:,变差函数定义,变差函数是在任一方向，相距|h|的两个区域化变量值Z(x)及Z(x+h)的增量的方差，它是h和的函数，其通式为：,连续情况下,离散情况下,理想的变差函数曲线图,C0:块金效应，它表示h很小时两点间的样品的变化。可以为0，称为无块金效应a:变程，当ha时，样品间就不存在相关性。a的大小反映了研究对象(如油藏)中某一区域化变量(如孔隙度)的变化程度，可以用在a范围以内的已知信息对待估区域进行预测。CC0+C1，称为总基台值。C1:基台值，是先验方差与块金效应之差C1=C-C0,a,理想的变差函数曲线图,Thenuggeteffectisameasureofshortscalevariability,anyerrorinthemeasurementvalueorthelocationassignedtothemeasurementcontributestothenuggeteffect.Therangeshowstheextentofcorrelation,andthesillindicatesthemaximumvariability,orthevarianceofthedata.,AVariogramisamethodfordescribingspatialvariationofsamples.Itisbasedontheprinciplethatcloselyspacedsamplesarelikelytohaveagreatercorrelationthanthoselocatedfarfromoneanother,andthatbeyondacertainpointaminimumcorrelationisreachedandthedistanceisnolongerimportant.Thisspatialcorrelationmayofcoursebeanisotropicandseveralvariogramsorientatedindifferentdirectionsmaythereforeberequiredtodescribethevariationinaproperty.Bygeneratingavariogramfrominputdataitispossibletothenusethisvariogramwhenmodelingpropertiesandthuspreservetheobservedspatialvariationinthefinalmodel.Variogramanalysisrequiresthatthedataisstationary.Inanotherwords,thelocalmeanisequaltoglobalmean,EssentialofVariograms,实验变差函数（Experimentalvariogram),在实际应用中，样品的数目总是有限的。把由有限实验样品值构成的变差函数称之为实验变差函数，记为*(h),PrincipalofExperimentalvariogram,Avariogramisaplotofvariabilityintermsofsemi-varianceagainstseparationdistance.Itisgeneratedbyfindingpairsofdatawithsimilarseparationdistancesandthencalculatingthedegreeofdissimilaritybetweenthesepairs.,试验变差函数数据特征,Thevariogramisnotcalculatedfromonesinglepointovervaryingdistancesh,ratheritmovesfrompointtopointandcalculatesthevariogramforeachdistancehateachdatalocation.,试验变差函数数据特征,AScatterplotshowsthatatshortdistancescorrelationishigh.Scatterplotbshowsthatasdistanceincreasesthecorrelationdecreases,andscatterplotcshowsatsomedistancethereisnocorrelationamongthedata.,variogramexamples,Avariogramwithnorangeisshowninimagea,imagebhasanintermediaterange,andimagechasalongrange.Imagesd,e,andfshowtheeffectofincreasingnuggeteffect.Imagedshowstheeffectofnonuggeteffect,ornoshortscalevariability,imageeshowsanintermediateamountofnuggeteffect,andimagefshowspurenuggeteffect,orcompleteshortscalevariability.,VariogramCalculationandinterpretation,h=50mNE/SW,Cov(h=50)(h=50),Map,h=100mNE/SW,h=200mNE/SW,Cov(h=100)(h=100),Cov(h=200)(h=200),50,100,200,150,(h),h,h-scatterplots,Variogram,h-scatterplots,Avariogramvalueiscalculatedforeachlagh,Lag0Lag1Lag2Lag3Lag4Lag5Lag6Lag7LagincrementsLagrangeLagtoleranceLagsearchintervals,0,4,3,2,1,7,6,5,Lagrange=MaximumlagLagincrement=Lagtolerance=,Lagrange,No.oflags,Lagincrement,2,Variogrammodellingdefinitions,Becauseofirregularspacingofinputpoints,asearchareamustbedefinedinthesearchforpointslyingadistancehfromthetailpoint,Variogrammodelling2Dsearcharea,Samplevariogram:Variogramcalculatedforasampledatasetusingadirectionandseparationdistance.Variogrammodel:AcontinuousmathematicalexpressionusedtodescribetheRange:Describeswherethevariogrammodelreachesitsplateau(i.e.theseparationdistancewherethereisnolongeranychangeinthedegreeofcorrelationbetweenpairsofdatavalues).Sill:Thesemi-variancewheretheseparationdistanceisgreaterthantherange(ontheplateau).Describesthevariationbetweentwounrelatedsamples.Transformeddatashouldhaveavalueof1andvaluesmuchhigherorlowerthanthis(e.g.0.3)mayindicateaspatialtrend.Nugget:Thesemi-variancewheretheseparationdistanceiszero.Describestheshortscalevariationinthedata.Thisisoftenmostaccuratelyidentifiedfromverticaldatawherethesamplingintervalisusuallymuchlower.Plateau:Thepartofthevariogrammodelwhereanincreaseinseparationdistancenolongerincreasesthevariogramvalue.,glossary,Variogramsamplingorientations,Becausegeologicaldataisusuallyanisotropic(atleastbetweentheverticalandhorizontaldirections),variogramscanbecalculatedinseveraldifferentdirections.ThesearecommonlychosenastheMajorandMinordirectionsintheXYplaneandtheVerticaldirection.TheMajordirectionmaynotnecessarilyfollowthegeologicallayers.Majordirection:Themajordirectiondefinesthedirectionwherethesamplepointshavethestrongestcorrelation.Theangleofthismajordirectioncanbechangedinteractivelybyeditingthedirectioninthesearchcone.Theangleisspecifiedastheclockwiseanglefromnorth(indegrees)forthemainsearchdirection.Minordirection:Thisistheminorsearchdirectionandisperpendiculartothemajordirection.Variogramdip:Thedipisspecifiedastheinclination(upwardangle)indegreesbetweenthemajordirectionandthehorizontal.Theprocedurefordatasamplingindifferentdirectionsisapproximatelythesame,exceptthattheverticalsamplevariogramsalwaysarecalculatedisotropically(i.e.orientationisnotused).Nugget,sillandvariogramtypevalueswillbethesameinallthreedirectionswhilsttherangewillvary.,Orientation:Thedirectionusedinthesearchforsamplepairsforconstructionofadirectionalsamplevariogram.Theorientationisdefinedpositivelyclockwisefromthenorthdirection.Tolerance:Thetoleranceindegreesfromtheorientationforthesearchofsamplepairs.Bandwidth:Cutofftopreventthesearchareafrombecomingtoowideatlargeseparationdistances.Searchdistance:Themaximumseparationdistanceusedinthesearchforsamplepairs.Lag:SubdivisionsoftherangeLagTolerance:Distancefromthelagatwhichdatawillbeconsideredasbelongingtothatlag.Thisisquotedasapercentageofthelagdistancei.e.50%meansthatallpointswillbelongtoonelag,greaterthan50%meansthatsomesamedatamaybeconsideredintwolags,lessthan50%meansthatsomedatamaynotbeconsidered.,parameters,、变差函数的性质,在二阶平稳假设下：,这是一个非常重要而且极为有用的公式，它表明了在二阶平稳的假设条件下，变差函数(h)、协方差函数C(h)与先验方差函数C(0)三者之间的重要关系。,、变差函数的性质,1）协方差函数C(h)的性质,2）变差函数(h)的性质,、变差函数的理论模型,如同经典统计学那样，理论变差函数仅仅是几个简单的模型，这些理论模型将直接参与克里格和随机模拟计算,）球状模型Thesphericalmodel,Thesphericalmodelisthemostcommonvariogrammodeltype.,球状模型图示,a是变程,一个主要特点是在原点附近的小范围内表现出线性行为,但在大距离时变得平缓当h为变程a时达到基台值。模型的另一个特点是原点的切线在2/3变程时便达基台值,这个事实在拟合实验变差函数时非常有用,标准化后的球状模型,均值为0,方差为1VarZ(x)=()=1=C,球状模型可写成:,）高斯模型TheGaussianmodel,高斯模型图示,式中a不是变程，由于当时,即当时(h)C0+C所以该模型的变程为,h,C,高斯模型,TheGaussianmodelistypicallyusedformodelingverycontinuousexperimentvariograms.,标准化后的高斯模型,高斯模型是一种连续性好但稳定性差的模型,）指数模型Theexponentialmodel,即当h=3a时，(h)C0+C，所以该模型的变程约为3a,指数模型图示,当h=3a时，,即当h=3a时，(h)C0+C，所以该模型的变程约为3a,Theexponentialmodelissimilartothesphericalmodelbutitapproachesthesillasymptotically,标准化后的指数模型,三种变差函数的比较,、变差函数的功能,变差函数在地质统计学中占有非常重要的地位，它不仅是许多地质统计学计算的基础，而且变差函数能够反映区域化变量的许多重要性质。,1、通过变程反映变量的影响范围2、变差函数在原点处的形状可以反映变量的空间连续性。（1）抛物线型：反映变量具有高度的连续性。（2）直线型：反映区域化变量具有平均的连续性（3）间断型（有块金效应型）：反映变量的连续性很差3、不同方向上的变差图可反映区域化变量的各向异性4、变差函数如果是跃迁型的（一个变程和一个基台值），其基台值的大小可反映变量在该方向上变化幅度的大小5、块金常数的大小可反映区域化变量的随机性大小,、结构分析(Structureanaly