第二节 根轨迹方程.ppt

第二节根轨迹方程,采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根轨迹图，用数学解析法去逐个求出闭环特征方程的根再绘制系统的根轨迹图，十分困难且没有意义。重要的是找到一些规律，以便根据开环传递函数与闭环传递函数的关系以及开环传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。这种作图方法的基础就是根轨迹方程。,根轨迹分析法根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和瞬态响应的关系。,第二节根轨迹方程,一、系统闭环零、极点与开环零、极点的关系。控制系统结构如图,Y（s）,R（s）,-,第二节根轨迹方程,其闭环传递函数,第二节根轨迹方程,第二节根轨迹方程,比较（1），（2）式可看出闭环零点是前向通路的零点和反馈通路的极点构成，对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点、开环极点以及开环增益均有关系，且k变化，闭环极点也发生变化。开环零、极点非常容易得到，因而闭环零点也不难确定，而闭环极点却不易求出。,第二节根轨迹方程,二.根轨迹方程1.什么是根轨迹方程？控制系统的一般结构图,G（s）,H（s）,-,R（s）,Y（s）,绘制根轨迹的实质就是求解闭环特征根的过程，因此，根轨迹上的点应该满足特征方程,第二节根轨迹方程,第二节根轨迹方程,根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子分母的最高阶次项的系数为1的比例因子,第二节根轨迹方程,第二节根轨迹方程,开环系统的根轨迹增益k与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。,第二节根轨迹方程,2.绘制根轨迹的两个基本条件我们可以看出根轨迹方程是一个复数方程式，根据等式两边幅值和相角分别相等的条件，可以得到绘制根轨迹的两个基本条件。,第二节根轨迹方程,第二节根轨迹方程,b：相角条件的含义对于任何正k值，在s平面上从开环传递函数G（s）H（s）的各零点和极点分别向某点s引向量，如果从各零点所引向量的相角之和减去从各极点所引向量的相角之和等于180的奇数倍时，那么该点就是根轨迹上的点。,第二节根轨迹方程,c：幅值条件与k有关相角条件与k无关，因此把满足相角条件的s值代入到幅值条件中，总可以求出一个对应的k值。表明如果s值满足相角条件，则必定满足幅值条件。因此相角条件是决定根轨迹的充分必要条件。幅值条件主要用来确定根轨迹各点对应的放大系数，进而得到开环放大系数的k值。,复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足幅值条件和相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益k有关，而相角条件与k无关。所以在绘制根轨迹时，一般先用相角条件确定轨迹上的点；然后利用幅值条件确定根轨迹上该点对应的k值；最后将复平面上所有满足相角条件的点s顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。,根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要在s平面上任选足够多的实验点，来根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。,第二节根轨迹方程,三。根轨迹方程的应用1.用相角条件求根轨迹曲线根据相角条件可判断s平面上的点是否在根轨迹上，这样就可以用试探法绘制根轨迹。,第二节根轨迹方程,解：将开环零点、极点表示在图上，其中p1=0，p2=-1作p1，p2引向s1的矢量（s1-p1），（s1-p2）。,135,s2-p1,s2-p2,s1,s1-p1,s1-p2,s2,p1,p2,第二节根轨迹方程,第二节根轨迹方程,第二节根轨迹方程,从这个例子可以看出：通过选择若干试验点，检查这些点是否满足相角条件。由那些满足相角条件的点可连成根轨迹。这就是绘制根轨迹的试探法。2.用幅值条件确定k值：幅值条件可确定根轨迹上各点多对应的k值。求上例中根轨迹上s2点（-0.5，-j1）对应