第2章 近世代数.ppt

1,第2章近世代数简介,线性分组码中最重要的一个子类-循环码(RS、BCH码)，它的结构完全建立在有限域的基础之上，被称为代数几何码。有限域以近世代数为基础。近世代数的运算对象：整数、多项式、矩阵等。,2,2.1几个概念,1.质数（素数）一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除。2.合数一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除以外，还能被其他的正整数整除。例2-12，3，5，7，9，11，13，17，19都是质数；4，6，8，9，10，都是合数；这样，全体正整数又分为：全体素数和全体合数。,3,3.群(Group)设G是非空集合(set)，并在G内定义了一种代数运算(operation)“。”，若满足下述公理：（1）具有封闭性(isclosed)；（2）结合率成立(isassociative)；（3）G中有一个恒等元e存在(existanidentityelement)；（4）有逆元存在(containaninverseelement)。称G构成一个群。,4,（1）加群(additiongroup)、乘群(multiplicationgroup)（针对群中的运算）（2）群的阶（针对群中元素的个数）（3）有限群(finitegroup)、无限群(infinitegroup)（针对群中元素的个数）（4）交换群(commutativegroup)或阿贝尔群(Abelgroup)（针对群中的运算）,5,例2-2G1：整数全体。对加法构成群，无限加群；对乘法不够成群。Why?G2：实数全体。对加法构成群；除0元素之外的全体实数，对乘法构成群。单位元e=1。G1和G2有都是阿贝尔群，且都是无限群。群将和联系在一起？,6,4.域(Field)对于非空元素集合F，若在F中定义了加法(addition)和乘法(multiplication)两种运算，且满足下面的公理：（1）F关于加法构成阿贝尔群，其加法恒等元记为0；（2）F中非0元素全体对乘法构成阿贝尔群，其乘法恒等元（单位元）记为1。（3）加法和乘法之间满足如下分配率(distributive)：则称F是一个域。,7,（1）域的阶（针对群中元素的个数），记为q。（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：GF(q)。域将和联系在一起？,8,例2-3F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都分别构成域，分别称为有理数域和实数域。F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域中只有两个元素，记为GF(2)。,9,定理：设p为质数，则整数全体对p取模的剩余类：0，1，2，p-1，在模p的运算下（p模相加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。例2-4验证以p=3为模的剩余类全体：0，1，2构成一个有限域GF(3)。,10,5.循环群如果一个元素的各次幂0，1，2，的全体构成了一个群，称为循环群（cyclegroup），元素称为生成元或者本原元（primitiveelement）。记作：G=0，1，2，其中0=e是单位元。可以证明，有限域GF(q)的q-1个非0元素，在模q乘运算下，可以构成一个循环群（幂群），即G上的所有非0元素可以由一个元素的各次幂0，1，2，q-1生成。,11,例2-5q=5的伽逻华域GF(5)=0,1,2,3,4，非零元素为1,2,3,4模5乘运算。恒等元？加法恒等元？乘法恒等元？为了弄清那些元素是本原元，分别计算各元素的各次幂。,12,GF(5)中非零元素的幂、阶及其逆元,（1）元素的阶（能产生域元素的个数）：（2）2、3都是本原元；（3）1、4不是本原元（生成元）。,13,6.环（Ring）定义：在非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足：（1）集合R在加法运算下构成阿贝尔群；（2）乘法有封闭性，对于任何a,bR，有abR；（3）乘法结合率成立，且加法和乘法之间分配率成立，即对任何a,bR，有a(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca则称R是一个环。,14,环将和联系在一起？WhatistherelationshipwithGroup,FieldandRing?WhatisthedifferencebetweenFieldandRing?,15,2.2多项式剩余类环,1.域上多项式的定义多项式与码字的关系：桥梁；多项式的系数表示；x的幂次表示；域上的多项式针对系数定义；例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的多项式。q进制系数的多项式，称为q元域GF(q)上的多项式。群、环、域对多项式也成立。,16,域上多项式：GF(q)上多项式的定义：,17,(1)多项式两要素：系数和幂次(2)多项式幂次(3)首一多项式(4)最简首一多项式(5)多项式的有限性分析,18,2.多项式剩余类环存在定理有限域GF(q)上多项式若以f(t)为模，对全体多项式做模乘运算，q为模，对系数做模加运算，得到的多项式剩余类的全体，可以构成一个交换环，称为多项式剩余类环，记为Rq(x)f(x)。,19,系数对q模加，多项式对f(x)模乘运算：A(x)、B(x)是两个环元素，用q模加用f(x)模乘,20,若多项式f(x)的最高次幂n=m，有限域为GF(q)。多项式剩余环类Rq(x)f(x)中环元素的最高次数为；多项式的一般形式为：这个环中共有个元素？,21,例2-6剩余类环为Rq(x)f(x)，q=2，f(x)=x3+x+1。若A(x)=x2+x+1，B(x)=x2+1是两个多项式。求（1）求对A(x)B(x)取模的剩余多项式？（2）A(x)B(x)构成的剩余类环最多有多少个元素？解：（1）多项式乘法运算,22,（2）用f(x)除上面的多项式，有,23,得到，A(x)B(x)modf(x)=x2+x。一般形式式：由于环元素只有3个系数，最多的不同组合有23种。因此该剩余类环最多只有8个环元素（包括多项式和常数）。,24,2.3多项式域和循环群1.既约多项式（Irreduciblepolynomials）定义：设Pl(x)是次数大于0的多项式。如果除常数C和CPl(x)之外，不能被域GF(q)上的其它多项式整除，则称Pl(x)是域GF(q)上的既约多项式。,25,(1)常数总是多项式的因子。(2)一个多项式f(x)是否为既约多项式与所定义的域有关。(3)一个多项式既约的充要条件：多项式Pl(x)不能分解成两个次数低于Pl(x)的多项式的乘积。(4)完全分解：n次多项式最多能分解成n个一次多项式的乘积，被称为完全分解。(5)一次多项式一定是既约的。,26,2.本原多项式（PrimaryPolynomials）定义：对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能被它整除的最简首一多项式（xn-1）的次数为：则称这个多项式P(x)为本原多项式。本原多项式一定是既约的；但既约多项式不一定是本原的。,27,3.多项式循环群（CycleGroup）定义：群内的所有元素由多项式的各次幂构成，称为多项式循环群。多项式是一个群元素，被称为循环群的生成元。例2-7，1，1，2，3，4，5，构成无限循环群；若7=1，以1，1，2，3，4，5，6为周期，则称0=1，1，2，3，4，5，6为7阶有限循环群。,28,域存在定理定理2.1若Pl(x)是有限域GF(q)上的m次既约多项式，则GF(q)域上次数小于m的多项式的全体，在模q加、模Pl(x)乘运算下构成一个qm阶有限域。扩展域：GF(qm)基域：GF(q),29,例2-8二元域GF(2)上，模2加、模x2+x+1(m=2)乘运算下构成一个扩展域：GF(22)=0,1,x,x+1，基域：GF(2)=0,1,30,基域GF(q)是数域，有q个域元素；扩展域GF(qm)则是多项式域，有qm个域元素；m个基域的元素对应扩展域的一个元素：,31,循环群存在定理定理2.2若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(qm)域上幂次小于m的非0多项式的全体（共有qm-1个），在模q加、模P(x)乘运算下构成一个多项式循环群。在扩展域GF(qm)里，至少存在一个本原元，其各次幂能构成扩展域GF(qm)的全部非0的域元素。,32,总结GF(q)上多项式若为：（1）一般多项式f(x)，构成qm阶。（2）既约多项式Pl(x)，构成qm阶。（3）本原多项式P(x)，构成qm-1阶。对多项式的限制越多，扩展域具备的性质也就越多。如何找到构成循环群的生成元？,33,2.4循环群的生成元定理2.3GF(q)上的m次本原多项式P(x)的根，一定是扩展域GF(qm)上的本原元。证明：,34,构成循环群的步骤：找到GF(q)上的一个m次本原多项式；取其根，并计算的各次幂得到扩展域的所有非0元素，即循环群。,35,2.5域元素的性质本原元，用表示，各次幂可以生成扩展域GF(qm)中全部qm-1个非0域元素；非本原元，用表示，只能生成部分域元素。下面的定理回答：什么样的域元素是本原元？什么样的域元素是非本原元？对于非本原元，它们的阶又是多少？,36,定理2.4扩展域GF(qm)上的非零元素k的阶一定是qm-1的因子，其值为：GCD表示最大公约数（GreatestCommonDivisor）。,37,如果n=qm-1，本原元；如果nqm-1，非本原元，n一定是qm-1的一个因子，一定能够整除qm-1。推论2-4在循环群中，n阶域元素的n次幂恒等于1。证明：,38,例2-9P(x)=x4+x+1是GF(2)上的本原多项式，试用本原元的各次幂生成二元扩展域GF(24)的全部域元素，并计算域元素的阶。解：,39,用本原多项式P(x)=x4+x+1生成的循环群,40,41,结论：（1）本原元不是唯一的，共有8个本原元。（2）不是所有的元素都是本原元。（3）以7为例，可以生成15个域元素。,42,2.6域元素、根、最小多项式的关系,定理2.5扩展域GF(qm)上的所有非零域元素0，1，2，qm-2都是GF(q)上多项式的根，即可完全分解为一次项的乘积。有，证明：,43,定理2.6扩展域GF(qm)上域元素和的ql次幂等于元素ql次幂的和，即有：i是域元素。,44,定理2.7如果是GF(q)上的m次多项式f(x)的根，那么的qli(li=1,2,lm)次幂也一定是f(x)的根。即：如果是f(x)的根，那么也一定是f(x)的根；m是多项式的次数，li是小于m的数。证明：,45,费尔马(Fermat)定理：由定理2.5，GF(qm)上的任意一个域元素一定是所以有，,46,由定理2.7：共轭元具有相同的基底q(是一个域元素，q是基域的阶)；费马定理限制了共轭根系的个数（最多m个）。,47,根据费尔马定理，共轭元可构成循环：一个多项式的根，可以来自多个不同的根系；如果一个多项式的所有根由同一个基底为q的根系构成，称这样的多项式为的最小多项式。,48,两个重要的性质：最小多项式在GF(q)中一定是既约的；本原元共轭根系对应的最小多项式的次数一定等于m。反之不成立。,49,定理2.8：GF(q)上的多项式一定可以分解成若干个最小多项式之积，即有，最小多项式必然以同一个根系的li个共轭元为根(这里